Caroline BARDINI – Université Paris 7 30 de Agosto 2004

1. Aliança sinérgica entre Epistemologia e Didática da Matemática no estudo da álgebra elementar e seus símbolos Caroline BARDINI – Université Paris 7 30 de Agosto 2004

2. Os métodos em Matemática por Jules Vuillemin • «Toda atualização dos métodos matemáticos vê-se repercutida na filosofia » - J.Vuillemin (1962) • Eco do método inventado pelos matemáticos gregos para aproximar todo irracional por uma fração contínua na Política de Platão. • Características da invenção matemática da geometria algébrica presentes no discurso metafísico de Descartes. • A evidenciação por Leibniz do princípio de continuidade e seu uso para apontar os defeitos do método metafísico de Descartes. • A filosofia pode-se permitir o uso das noções de grupo e estrutura algébrica em alguns de seus métodos?

3. Rigor Evolução ao longo do tempo, sua dependência em relação aos domínios matemáticos tratados e ao grau de elaboração dos objetos que ela manipula. Análise epistemológica e métodos em Matemática • Análise epistemológica: Adotar um recuo em relação aos objetos matemáticos (conceitos, métodos). Historicidade. Historicidade • Análise epistemológica: vigilância, distância em relação ao objeto de estudo.

4. professor conhecimento aluno(s) Epistemologia e Didática da Matemática (1/2) Adoção de uma distância indispensável no contexto do ensino da matemática onde a ficção de uma aparente transparência do conhecimento é cultivada. O didático da matemática se interessa na relação tripartite – tal como lhe é possivel observar e em seguida reconstruir, nas salas de aula – entre um professor, alunos e um conhecimento matemático.  (Yves Chevallard) Examinar de um ponto de vista externo (exterior) o sistema de ensino.

5. Conhecimento Alunos O didático é confrontado à análise da gênese do conhecimento matemático: o estudo dos mecanismos, das condições e contextos das « descobertas », das causas dos períodos de estagnação, etc. Observar e explicar os processos que intervêem no nascimento de um conceito matemático em um aluno. Epistemologia e Didática da Matemática (2/2) Didática Epistemologia (Sem procurar fazer da historia um modelo para o ensino) Provocar tais processos dentro do sistema de ensino.

6. J. Vuillemin (1962) G.G. Granger (1994) C. Babbage (1821) F. Cajori (1928) M. Dascal (1978) D. André (1909) Articulação entre epistemologia e didática Aliança sinérgica entre Epistemologia e Didática da Matemática no estudo da álgebra elementar e seus símbolos. Problemática Articulação entre filosofia e matemática Estudo epistemológico retrospectivo sobre a constituição da linguagem simbólica Notação matemática M. Serfati (1997) Análise epistemológica dos símbolos algébricos (Re)leitura epistemológica de pesquisas didáticas Desenvolver tarefas Ferramenta para analisar o acesso ao simbolismo Analisar respostas

7. René Magritte, A condição humana I (1933) Problemática • Fragilidade e irregularidade ao efetuar operações algébricas tais a fatoração. Uma tarefa efetuada às cegas, onde intervêm processos « inquestionáveis », destinados a transformar uma série de fórmulas algébricas que permanecem desprovidas de sentido. • Como os alunos entrevêem as expressões que eles manipulam? Como enxergam os diferentes elementos que as compõem? O que há , para o aluno, por trás de um símbolo?

8. Stacey e MacGregor. Problema TRIANGLE O perimetro desse triângulo mede 44 cm. Escreva uma equação e encontre o valor de x. Alunos: x =30 2x cm x cm 14 cm (Re)leitura. Parcela desconhecida e substância desconhecida Parcela desconhecida : Algo não fornecido pelo texto. Indica que trata-se de um problema onde tudo não é dado. Substância desconhecida : Valor de uma quantidade, permanente no texto, porém desconhecida. Diofante Encontrar dois numeros cuja soma seja igual a 20 e cuja soma de seus quadrados seja igual a 208. Diofante (notação moderna): (10+x)2+(10-x)2=208 (logo x=2). Sol: 12 e 8 Stacey e MacGregor. Problema ‘BUS’ Um ônibus levou alunos numa excursão de 3 dias. A distância percorrida no 2° dia excedeu de 85 km aquela percorrida no 1° dia. A distância percorrida no 3° dia excedeu de 125 km aquela percorrida no 1° dia. A distância total percorrida foi de 1410 Km. Seja x o numero de km percorridos no 1° dia.Utilise a álgebra para determinar a distância percorrida cada dia. Alunos: x + 85 + 125 = 1410 Papel de uma incógnita operacional, porém não especificamente a incógnita (ou uma das incógnitas), mas auxiliar, cuja identificação permite determinar todas as incógnitas do problema.

9. Arithmetica Integra (1544) – Stiefel: “Itaque 2 , multiplicatae in summam extremorum, id est, in 1 A + 1 , faciunt 2 A + 2 , aequata 4335. Deinde 2 multiplicatae in 2 A seu in summam omnium faciunt 4 A aequata 6069. ” (Re)leitura - A igualdade(1/2) I – O registro retórico • Igualdade ocupa o papel central e a sua interpretação no registro retórico põe em evidência uma certa assimetria. • Afetação de um atributo a um sujeito : Dois e três fazem cinco sujeito atributo

10. Recorde (1557) :«   » • Nada é mais parecido do que dois traços paralelos • à linha de escrita « Struggle for supremacy » • Laço de Descartes (1637): « » z2 -a z + b b (Re)leitura - A igualdade(2/2) II- Registro simbólico Igualdade interpretada em termos de equivalência, com as propriedades de: - reflexividade - simetria - transitividade

11. 59 T: So you’re telling me it’s not true that six plus six equals six plus six? You say that’s not true? 60 Sh:Yeah because six plus six equals twelve. / Not six plus six. 61 T: So six plus six does not equals six plus six? 62 Sh:Yeah. 63 Ka: Yeah, it does because both of them equal the same amount. / that could be real. You could do that. 64 T: Could I put six plus six equals / six plus six? (T writes the following equality on the board : 6+6 = 6+6) 65 Ka: Yes. 66 Mi: Yes 67 S: No. 68 T: What is six plus six? Sh? 69 Sh: Six plus / six plus six equals twelve. 70 T: Oh, this is twelve (placing her hand over the left side of the equality) / And so what is this six plus six (placing her hand over the right side of the equality)? 71 Sh: Twelve. 72 T: (T writes 12 under each side of the equality 6+6 = 6+6) So you’re telling me it’s not true that twelve equals twelve? // Twelve does not equal twelve? 73 Sh: No / I don’t get it. / That’s equal. 47 T:Do you think six plus six equals six plus six? Do you think that is right? 48 Sh: I disagree. 49 T: Tell me why. 50 Sh: Because / equals doesn’t mean you put six plus six again. You’re supposed to add the numbers up. / That’s what equal means and you put the answer down. And 51 T:  What if it was six take away six? 52 Sh: Then // 53 T: Do I have to add to get on the other side? 54 Sh: No, you can subtract or add to  write the number down. 55 T: What if it was six times six? 56 Sh: Then you don’t put six times six again. Cause that wouldn’t be the answer. 57 T: Okay, so you’re saying it had to be the answer. Equals mean you have to have an answer on the other side? 58 Sh: Yeah, because / see if equals wasn’t there when you put all the / when you put all the numbers together / they want to know what’s the answer. And you just don’t put again six times six. 6+6 = 6+6 ?

12. 1526 Widmann Adicione o numero 30 ao numero 3 1608 Clavius 1 – 7 Subtraia o numero 17 do numero 4 Do valor da incógnita, subtraia o numero 7 Ex n°1 Ex n°2 Pontos de vistas autor/ leitor – Um pouco de história Intenção do autor: Fornecer ao leitor uma representação simbólica de uma instrução elementar Tradução algorítmica dos símbolos O autor de uma expressão basea-se em seu ‘significado’. sua estrutura Traduz simbólicamente a intenção do autor expressa em linguagem natural

13. Escreva algoritmos que permitam obter cada uma das seguintes expressões: a)      [5(2+x)]2 b)     +2 c)      [2(-x+3)]2 Ex. n°1 • As instruções abaixo • pegue um numero x • multiplique-o por 2 • subtraia 5 do resultado obtido • extraia a raíz quadrada do resultado • adicione 3 ao resultado • constituem um algoritmo ao cabo do qual obtemos a seguinte formula:

14. Escreva as seguintes frases sob forma de expressões algébricas a) O dobro do quadrado de a b) A soma do quadrado de 5 e do dobro de a c) A diferença de 3 e do produto de 7 por x d) O quadrado da soma de 7 e x e) O quociente da soma de 3 e a e a diferença de b e 8 Ex. n°2

15. leitor Mudança de foco Leitor Autor Pontos de vista do autor/ leitor – mudando o foco (1/2) Adicione o numero representado pelo símbolo ‘2’ ao numero cujo símbolo é x. Multiplique o resultado pelo numero representado pelo símbolo ‘5’. Eleve o ultimo resultado ao quadrado. [5(2+x)]2 Uma expressão algébrica é um conjunto de símbolos traduzindo a execução de uma série de instruções, em uma dada ordem. Para decifrar uma expressão, começa pelos símbolos operatórios mais internos (‘mais fracos’) e progressivamente re-constrói a hierarquia da expressão Baseado no ‘significado’ Intimamente ligado ao símbolo que estrutura a expressão (o ‘ mais forte’ ) Foco nos símbolos operatórios presentes na expressão e seus “status”, dependendo da perspectiva adotada.

16. Pontos de vista do autor/ leitor – mudando o foco (2/2) z2 -a z + b b Descartes (1637) : 5(cruz) 4( ) 2(ponto) 3(cruz) a 1(traço) 1 4 1 2 .a . a.a + b.b 2(ponto) 1(ponto) + 1 2 b b 1(ponto) 1(traço) a a 1 4 Examinar a ordem ao considerar os símbolos operatórios que compõem a expressão. 1 2 5 4 1 2 1 3 1

17. “ E a soma…do terço… então a soma. 1 a2 b2 2 3 3 E depois tem a ao quadrado e b ao quadrado ” 4 3 Analisando respostas de alunos (1/ 2) Exercício Aluno de 13 anos Completando o ponto de vista do autor Re-constrói uma expressão algébrica a partir de sua descrição fornecida em linguagem natural “A soma do terço dos quadrados de a e b” + Portanto duas expressões postas… a2+ b2 3 3 Significado e sintaxe do símbolo interligados Divididas por 3 com um mais no meio. + Passo-a-passo reconstrói a árvore combinatória da expressão

18. A= 1 + 1 : n°1 : O inverso do quadrado da soma de a e b a2b2 B= 1 : n°2 : A soma dos inversos dos quadrados de a e b a2 + b2 C= 1 : n°3 : O quadrado da soma dos inversos de a and b (a+ b)2 n°4 : Outro(s) : Ligue cada uma das expressões abaixo à frase que melhor a descreva. Se você escolher « outro(s) » para uma dada expressão, escreva a sua própria frase no retângulo fornecido. a e b são dois numeros não nulos.

19. 2(cruz) 1(traço) 1(traço) l 1 1 c Analisando respostas de alunos (2/ 2) (l-1) x (c-1) « subtrai um da largura, subtrai um do comprimento e depois multiplica os dois » « Pega a largura menos um e multiplica pelo comprimento menos um » Leitor « (…) fazendo largura-1 x comprimento-1 = quantidade de gotas de chocolate numa barra ». Próximo da descrição da fórmula, linear Levar em conta não somente a presença de símbolos na descrição, mas também a ordem com a qual as diferentes operações aparecem.