Programação Linear Método Simplex

1. Programação LinearMétodo Simplex Profa. Sandra de Amo Disciplina: Análise de Algoritmos Pós-graduação em Ciência da Computação

2. Programação Linear • Variáveis: x1, …, xn • Restrições: conjunto de inequações lineares em x1, …, x • Função objetivo: função linear nas variáveis x1, …, xn • Objetivo: encontrar os valores de x1,…,xn: • Verificando todas as restrições • Maximizando (ou minimizando) a função objetivo

3. Exemplo • Variáveis: x1, x2 • Restrições: m+n inequações Função objetivo: m = 3 n = 2

4. Espaço das Soluções: n-dimensional

5. Espaço das soluções • Limitado: polígono convexo • ou Ilimitado • ou Impossível Problema da Programação Linear Inteira: NP-completo

6. Idéia do método simplex • Partir de um vértice • Caminhar para o vértice vizinho que “melhora” o valor da função objetivo • Caso encontre um vértice onde todos os vizinhos tem valor igual ou pior para a função objetivo, páre. • Retorna o valor deste vértice.

7. Exemplo

8. Por que o método funciona ? • Espaço das soluções é região convexa no espaço, dilimitada por hiperplanos n-1 dimensionais. • Os pontos (x1,…,xn,y) tais que y = f(x1,…,xn), f = função objetivo, • representam um hiperplano deslocando-se no espaço • quando este hiperplano deslocante encontra um ponto P onde onde todos os outros pontos da região ficam abaixo do hiperplano, este será o valor optimal. • Se os vértices vizinhos de P ficam abaixo do hiperplano passando por P, então todos os pontos da região também ficam abaixo do hiperplano, já que a região é convexa.

9. Outro exemplo Variáveis : x1, x2, x3 Restrições : total = 4 + 3 Função objetivo

10. Questões importantes • Como determinar se um ponto é um vértice ? • Como determinar se dois vértices são vizinhos ?

11. Vértices • Cada inequação representando uma restrição corresponde a uma região n-dimensional no espaço n-dimensional das soluções • A equação correspondente representa a fronteira desta região, um hiperplano (dimensão n-1). • Chamamos tais equações de “equações fronteira” • Um vértice é o único ponto onde algum subconjunto de hiperplanos se encontram.

12. Definição de vértice e vértices vizinhos • Seja n = número de variáveis • Um vértice é a solução de n equaçõesfronteira. • Dois vértices são vizinhos se têm em comum n-1 de suas respectivas equações fronteira. • Pergunta: quantos vizinhos pode ter um vértice (em termos de m e n ?) • Resposta: m.n vizinhos !

13. Exemplo Vertice B = 2 + 3 + 4 ou = 2 + 4 + 5

14. Hipóteses • Origem O= (0,0,...0) está no espaço das soluções • Um vértice V é gerado por um único subconjunto de n inequações. • Sempre podemos supor que o objetivo é maximar a função objetivo pois: • min {f(x1,...,xn)} = max {– f(x1,...,xn)} • Se O está no espaço das soluções então • O é um vértice pois é solução de n inequações x1 ≥ 0,..., xn ≥ 0

15. Algoritmo Simplex • V = (0,0,...0) • Enquanto V não é optimal faça • Determina vértice vizinho V’ para onde se mover • V = V’

16. Como testar se O é optimal ? • f(x1,...,xn) = c1x1 + ... + cnxn • f(0,...0) = 0 Se f(0,...,0) = max{c1x1 + ... + cnxn}então • ci ≤ 0, para todo i = 1,...,n Logo, se um dos ci é positivo, O não é otimal. • Se O não é otimal, em quais das direções caminhar para aumentar o valor de f(0,...0) = 0? • Basta escolher uma direção i onde ci > 0. • Até onde podemos caminhar nesta direção ? • Até que o ponto que se desloca (0,0,...0, c , 0,...0) torna-se solução de uma das equações “fronteira”. Seja E esta equação. • Este é o próximo vértice V a ser testado. • V é solução de n equações fronteira: xj ≥ 0 (para i ≠ j) e E

17. Exemplo • Origem (0,0) não é otimal • Escolhemos a direção x2 para caminhar • Os pontos deste “caminho” são do tipo: • (0,x2) • A primeira inequação que é violada com • o crescimento de x2 é (3) já que: • x2 ≥ - 4 • x2 ≤ 4.5 • x2 ≤ 3

18. Como transformar um vértice na origem Sejam E1,...,En as n inequações que determinam um vértice u: Ei: ai1x1 + ai2x2 + ... ain xn ≤ bi (para i = 1,...,n) yi = a distância de qualquer ponto da região ao hiperplano Ei yi = bi – (ai1x1 + ai2x2 + ... ain xn) yi ≥ 0 Transformar variáveis x1,...,xn nas variáveis y1,..., yn Escrever x1,...,xn em função de y1,...,yn A origem deste novo sistema é (y1,...,yn) onde yi=0 para todo i = 1,...,n = vértice u

19. Programa transformado • Restrições são transformadas em inequações nas novas coordenadas • Acrescenta-se as restrições yi ≥ 0, para i = 1,...,n • A origem do novo programa é o vértice u • A nova função objetivo é: • Max(G) onde G é obtida substituindo as antigas coordenadas x1,...,xn por suas expressões envolvendo as novas y1,...,yn

20. Programa original Programa transformado Exemplo

21. Complexidade de Simplex • Simplex executa no pior dos casos k iterações, uma para cada vértice do poliedro fronteira • O número de vértices é • De fato: n = número de variáveis n + m = número de inequações (m restrições + as restrições xi >= 0) Cada vértice corresponde a um conjunto de n inequações Logo: número de vértices = número de subconjuntos de tamanho n em um conjunto de tamanho n+m • Existem exemplos de programas onde todos os vértices são testados • Logo: complexidade de Simplex é exponencial

22. Discussão • Simplex é um método exponencial • Somente em casos raros o pior caso é atingido • Na maioria dos casos, Simplex não verifica todos os vértices e finaliza rapidamente. • Programação Linear inteira é NP-completo • Será que Programação Linear (real) é polinomial ? • Por muito tempo pensou-se que não !

23. Histórico • 1979: Leonid Khachiyan propôs o algoritmo Elipsoid que resolve PL em tempo polinomial. • Paradoxo: Elipsoid, embora polinomial, na prática é menos eficiente do que Simplex • 1984: Narendra Kamarkar propôs o algoritmo de Karmarkar que resolve PL em tempo polinomial e é eficiente na prática. • Diferente de simplex, o algoritmo alcança o máximo atravessando o interior do poliedro através de um caminho especial. • Chamado: Método do “ponto interior” • Códigos super rápidos atuais são baseados em simplex combinado com o método do ponto interior de Karmarkar.