Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: Gimnazjum im. Noblistów Polskich w Kleczewie • ID grupy: 98/54_MF_G2 • Opiekun: Maria Kosińska • Kompetencja: mat-fiz. • Temat projektowy: Od równań liniowych do stycznych do krzywych drugiego stopnia • Semestr/rok szkolny: V 2011/2012

3. I. Równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą • Na początku naszego tematu projektowego zajęliśmy się równaniami pierwszego stopnia z jedną niewiadomą. Wyszukiwaliśmy ciekawe zadania i je rozwiązywaliśmy. • Korzystaliśmy z ciekawej książki „Lilavati” Szczepana Jeleńskiego, w której oprócz ciekawostek historycznych jest mnóstwo interesujących zadań oraz anegdot, gier, zabaw, sztuk i figlów matematycznych.

4. Strona tytułowa książki

5. O tytule… • Oto jedne z pierwszych jej słów, zaraz po wyjaśnieniu, że taki tytuł to imię • dziewczyny, córki Bhaskary, jednego z najsłynniejszych matematyków. • Żył w Indiach w XII wieku. • Lˆılˆavatˆı to znaczy urocza, czarująca! • Taka zapewne była owa dziewczyna hinduska obdarzona niepospolitym • talentem matematycznym, ale taka jest przede wszystkim sama • MATEMATYKA.

6. Zadanie 1 • W Lilavati znajdujemy – prawie na samym początku książki – zadanie, którego rozwiązanie otrzymujemy z równania, a które w niezliczonych wersjach i z rozmaitymi fabułami rozsiane jest po różnych książkach i nawet podręcznikach szkolnych. Przytoczymy je tutaj za Karolem Żerą (Wtóra próba na matematyka, XVIII wiek). • – Pomagaj Bóg stom pannom! – młodzieniec mimo idąc rzekł do panien • pracujących. • – Nie masz nas stu, jako ty powiadasz – na to jedna z panien odrzekła – • ale by nas było dwa razy tak wiele jako jest i połowica tego i czwarta • znowu część do tego i ty sam, wtedy właśnie będzie nas dopiero całe • sto.

7. rozwiązanie • Urok zadania polega oczywiście na rozwiązaniu prościutkiego równania • 2x + 0,5x + 0, 25x + 1 = 100 • 2,75x = 100 – 1 • 2,75x = 99 • x = 36

8. Wielkości wprost i odwrotnie proporcjonalne • Zadanie 2. • Pociąg przejechał 300 km w ciągu 4 godzin. Ile kilometrów przejechał w ciągu 6 godzin? • Rozwiązanie 1. • Rozwiązanie arytmetyczne (gdy dane są bardzo proste): • 300 km – 4 godz. /:2 • 150 km – 2 godz. /*3 • 450 km – 6 godz. • Rozwiązanie 2. • Rozwiązanie za pomocą proporcji – zakładamy proporcjonalność prostą i wy- • korzystujemy jej własność (stały iloraz odpowiednich wielkości): • y • =a • x • (a > 0), • ˛d • ska otrzymujemy • y = ax • (x, y > 0) • y • y = ax • 0 • x • KOMENTARZ DO ZADANIA 1. • Rozwiązanie arytmetyczne polega na tzw. „sprowadzeniu do jedności” (pociąg pokona 75 km w ciągu 1 h, • więc 6·75 km w ciągu 6 h) lub posłużeniu się odpowiednimi działaniami (jak w przykładzie). Rozwiązanie • algebraiczne polega na zastosowaniu proporcji lub ułożeniu równania. We wszystkich przypadkach należy • wyraźnie sformułować założenia.

9. Zadanie 3 • Ośmiu robotników naprawia odcinek drogi w ciągu 3 dni. W ciągu ilu dni wykona tę samą pracę sześciu robotników? • 8 rob. - 3 dni • 6 rob. - x dni • 8 : 6 = x : 3 (iloczyn wyrazów środkowych jest równy iloczynowi wyrazów • skrajnych) • 6x = 24 • x = 4

10. II. Układy równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi • Zadanie 4 • Dziadek z babcią maja razem 140 lat. Dziadek ma dwa razy tyle co babcia, ile babcia miała wtedy, kiedy dziadek miał tyle ile babcia ma teraz. Ile lat ma obecnie babcia a ile dziadek ? • Rozwiązanie: • x – tyle lat ma babcia teraz;y – tyle lat miała babcia kiedyś;x – tyle lat miał dziadek kiedyś zgodnie z treścią zadania:, „kiedy dziadek miał tyle, ile babcia ma teraz.”2y – tyle lat ma dziadek teraz: „Dziadek ma dwa razytyle lat, ile babcia miała wtedy, kiedy dziadek miałtyle, ile babcia ma teraz.”x – y – to było tyle lat temu;140 – tyle lat mają babcia z dziadkiem teraz;2y + x – tyle lat mają babcia z dziadkiem teraz;x + x – y – tyle lat ma dziadek teraz;

11. cd… • Po zrobieniu analizy możemy ułożyć układ równań,a więc wystarczy przyrównać ze sobą te same wyrażenia.{2y = x + x – y; 2y + x = 140}{2y = 2x – y; 2y + x = 140}{y = 2x; 2y + x = 140} do drugiego równania wstawiamyy = 2x i otrzymujemy:2 · 2x + x = 140(5x = 140) / 5x = 140 / 5x = 60 tyle lat ma teraz babcia; wstawiamy do równania2y + x = 140 zamiast x 60 i otrzymujemy:2y + 60 = 1402y = 140 – 602y = 80 tyle lat ma teraz dziadek;Odpowiedź na pytanie: „Ile lat ma teraz dziadek, a ilebabcia?” brzmi: • Babcia ma teraz 60 lat, a dziadek ma 80 lat.

12. Sposoby rozwiązywania układów równań METODA PODSTAWIANIA Rozwiązanie y = 8 - 2x – podstawienie 3x + 8 – 2x = 11 x = 11 – 8 x = 3 y = 8 – 2* 3 y = 8 – 6 y = 2 Metoda ta polega na wyznaczeniu z któregoś z równań jednej niewiadomej i podstawieniu otrzymanego wyrażenia do drugiego równania w miejsce wyznaczonej niewiadomej.

13. METODA PRZECIWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW Przykład Rozwiązanie 2x + 3x + y – y = 8 + 12 5x = 20 /: 5 x = 4 2* 4 + y = 8 8 + y = 8 y = 8 - 8 y = 0 Metoda ta polega na pomnożeniu obu stron jednego lub obu równań przez takie liczby, aby przy jednej z niewiadomych współczynnik w pierwszym równaniu był przeciwny do współczynnika w drugim z równań. Po dodaniu równań stronami otrzymamy równanie, w którym będzie występowała tylko jedna niewiadoma.

14. METODA GRAFICZNA Aby rozwiązać układ równań metodą graficzną, należy każde z równań przedstawić w postaci y = ax + b (a, b – dowolne liczby; x, y – niewiadome), następnie narysować wykres tych zależności w jednym układzie współrzędnych. Współrzędne punktu przecięcia się wykresów są rozwiązaniem układu równań. • Współrzędne tego punktu (2,1) są rozwiązaniem układu równań:

15. PRZYKŁAD 1. • Rozwiąż graficznie układ równań: • Aby narysować wykresy przedstawiające równania musimy dla każdego z nich znaleźć co najmniej 2 punkty przez które przechodzi wykres.

16. PRZYKŁAD 1 – ciąg dalszy • y = -5x + 11 • Wybieram dowolną liczbę (najlepiej taką, aby łatwo było zaznaczyć punkt w układzie współrzędnych i wykonać obliczenia) i wstawiam do równania w miejsce x, następnie obliczam y. Dostaję w ten sposób punkt o współrzędnych (x; y). • x = 2 • y = -5 ∙ 2 + 11 = -10 + 11 = -1 • (2, -1) • x = 3 • y = -5 ∙ 3 + 11 = -15 + 11 = -4 • (3; -4)

17. PRZYKŁAD 1 – ciąg dalszy. • y = 2x – 3 • x = 0 • y = 2∙ 0 – 3 = 0 – 3 = -3 • (0; -3) • x = 1 • y = 2 ∙ 1 – 3 = 2 – 3 = -1 • (1; -1) • Zaznaczamy punkty w układzie współrzędnych i rysujemy wykresy. Współrzędne punktu w którym linie się przecinają są rozwiązaniem układu równań.

18. PRZYKŁAD 1 – ciąg dalszy. • Wykres

19. PRZYKŁAD 1 – ciąg dalszy. • Linie przecinają się w punkcie (2;1), a więc rozwiązaniem układu równań jest para liczb: • x = 2, • y = 1. • UWAGA! • Graficzna metoda rozwiązywania układów równań jest niedokładna. Wykresy przez nas sporządzane zawszę zawierają pewne błędy, wynikające chociażby z grubości stosowanych przyborów do pisania. Nie zawszę jesteśmy w stanie dokładnie odczytać współrzędne punktu przecięcia się linii, zwłaszcza kiedy rozwiązaniem układu równań są ułamki. • Aby upewnić się, czy odczytane liczby są rozwiązaniem układu równań, należy sprawdzić, czy spełniają oba równania (należy podstawić je do równań i sprawdzić, czy otrzymujemy równości prawdziwe).

20. Metoda wyznacznikowa • To nie wszystko o układach równań… Istnieje jeszcze jedna metoda rozwiązywania układów równań – to metoda wyznacznikowa. Obliczamy trzy wyznaczniki i w zależności od ich wartości wiemy czy układ ma rozwiązania czy nie. Zanim pojawią się wzory rozwiążmy dowolny układ równań.

21. Ciąg dalszy • Obliczamy najpierw wyznacznik główny W – tworzymy dwie kolumny: kolumna czerwona to współczynniki znajdujące się przed niewiadomą x , natomiast kolumna zielona to współczynniki przed y

22. cd. • Obliczamy wyznacznik Wx: • Obliczamy wyznacznik Wy: • Pierwszą kolumnę tworzymy z wyrazów wolnych, • a druga pozostaje bez zmian. • Druga kolumna to wyrazy wolne z układu równań.

23. CD. • Wyznacznik główny W jest różny od zera, dlatego układ równań ma jedno rozwiązanie, które obliczamy ze wzoru: • Zbiorem rozwiązań układu równań jest para liczb:

24. CD. • DEFINICJE: • Układ równań liniowych • można rozwiązać stosując • metodę wyznaczników: • wyznacznik główny • wyznacznik Wx • wyznacznik Wy

25. CD. • Układ równań: • ma jedno rozwiązanie, jeżeli: W ≠ 0 • układ taki nazywamy • układem oznaczonym • b) ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeżeli : • W = 0 i Wx = 0 i Wy = 0 • układ taki nazywamy nieoznaczonym • c) nie ma rozwiązań, jeżeli: • W = 0 i ( Wx ≠ 0 lub Wy ≠ 0 ) • układ taki nazywamy sprzecznym

26. Przykład 1. • Metodą wyznacznikową rozwiąż układ równań: • Najpierw uporządkujemy równania w układzie. • Obliczamy trzy wyznaczniki:

27. Wszystkie trzy obliczone wyznaczniki mają wartość 0 • W=0 i Wx=0 i Wy=0 • dlatego układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony).

28. Y Przykład 2. • Oblicz pole figury • ograniczonej prostymi: • y=0, y=x, y=-2x+8 • Najpierw narysujemy przybliżony wykres, • aby powstał odpowiedni obszar, którego pole policzymy. • Otrzymaną figurą jest trójkąt • o wierzchołkach: A, B, C. • Prosta AB to prosta o równaniu: y=0 • Prosta AC to prosta o równaniu: y=x • Prosta BC to prosta o równaniu: y=-2x+8 C A B X

29. Wyznaczamy współrzędne punktu C – punktu przecięcia się prostych o równaniach: y=x i y=-2x+8 • Tworzymy układ równań: • Obliczamy wyznaczniki:

30. C= • Obliczamy długość podstawy i wysokości trójkąta ABC. • Pole obszaru wynosi j2

31. III. Równania KWADRATOWE • Równania kwadratowe, to równania z jedną niewiadomą x, ale pojawia się w nich x2. Można je rozwiązać następującymi sposobami: • Pierwiastkowaniem • Wyłączaniem wspólnego czynnika przed nawias • Wzorami skróconego mnożenia • Stosując wyróżnik

32. Zadanie 1 • Małpować też trzeba umieć. Oto zadanie z Lilavati, ale pochodzące z XII w. • Dwie małpy siedziały na drzewie: jedna na wierzchołku, druga na wysokości • 10 łokci. Druga małpa chcąc napić się wody w źródle odległym o 40 łokci • zlazła z drzewa; pierwsza skoczyła z wierzchołka wprost do tego źródła po • przeciwprostokątnej. Przebyły tę samą drogę. Powiedz, człowieku światły, • ile wysokości miało drzewo, a zobaczę, ile masz sprawności w obliczaniu.

33. cd… • Zadanie nietrudne. Tak nietrudne, że . . . kilka lat temu zostało wykorzystane • na egzaminie wstępnym do liceum w jednym z województw centralnej Polski. • Wywołało to falę krytyki, niemalże oburzenia społecznego. Wybitni uczeni • pisywali sążniste listy z uzasadnieniem, że małpa nie mogła skoczyć z drzewa • do źródła odległego o 40 łokci po linii prostej, że grawitacja, parabola, że nawet • Newton (nie mówiąc już o Einsteinie) nie pozwala małpie na takie wygłupy. Na • odpowiednim kuratorium nie zostawiono suchej nitki.

34. ROZWIĄZANIE • x - wysokość drzewa • 402 + x2 = 502 • 1600 + x2 = 2500 • x2 = 2500-1600 • x2 = 900 • x = √900 • x = 30 • Odp: Wysokość drzewa wynosi 30 łokci. X-10

35. Poniższe zadania pochodzą z książki „Stare polskie zadania z matematyki” Witolda Wiesława. „Najstarsze teksty w tym zbiorze zadań pochodzą z XVI w., a więc z okresu, w którym coraz bardziej powszechna staje się w Polsce książka drukowana, a drukarze powstających licznie oficyn drukarskich wyraźnie starają się pisownię udoskonalić, uprościć.”

36. ZADANIE 2. • Kupuie kto pewną liczbę łokci materyi , za które płaci złotych 204. Drugą raząkupuiepięcią łokciami więcey niż pierwszą inneymateryi, którey łokieć płaci czterema złotemidrożey , i wydaie złotych 352. Ileż łokci kupił i za iaką cenę tak pierwszeyiakdrugieymateryi? • ROZWIĄZANIE: • Nazwawszy liczbę łokci pierwszeymateryi przez x, iey cenę przez y; będzie liczba łokci maeryidrugiey x +5 , cena y+4. Z warunków otrzymujemy dwa zrównania • xy=204 • (x+5)(y+4)=352 czyli xy+4x+5y=332.

37. Cd. • Wyrzuciwszy z nich y będzie : • x2 -32x+255=0 • Stąd po rozwiązaniu wypadną dwie wartości x=15 i x= 17. Podstawuiącie koleją w pierwsze zrównanie znaydziemy • y=13+ 3∕5 i y=12. • Więc albo pierwszeymateryi kupiono łokci 15 po złotych 13 i groszy 18, a drugiey łokci 20 po złotych 17 i groszy 18; albo pierwszey łokci 17 po złotych 12, a drugiey łokci 22 po złotych 16.

38. Zadanie 3. • Mam prostokąt dwa razy tak długi, iak szeroki: dodaję do każdego boku po 1 stopie, i będę miał powierzchnię większą 19 stóp kwadratowych od pierwszey. Jakiż jest ten prostokąt? • ROZWIĄZANIE: • x - krótszy bok 2x = 12 • 2x - dłuższy bok Odp: Prostokąt ma boki 6 i 12 stóp. • (2x+1)(x+1) – 19 = 2x*x • 2x2 + 2x + x + 1 – 19 = 2x2 • 2x2 - 2x2+ 3x = 18 • 3x = 18 • x = 6

39. IV. Krzywe stopnia drugiego • Funkcją kwadratowąnazywamy funkcję o równaniu y=ax2+bx+c gdzie a≠0 , b i c są dowolne. • Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Sumę ax2+bx+c nazywamy trójmianem kwadratowym. • Wykres funkcji y=x2 • Ramiona paraboli są skierowane w górę, jest tak zawsze, • gdy współczynnik a jest większy od 0 (a>0, w tym wypadku równy 1).

40. Wykres funkcji y=−x2 • Gdy a<0, ramiona paraboli są skierowane w dół. Aby otrzymać wykres tej funkcji wystarczy wykonać symetrię poprzedniego wykresu względem osi OX.

41. Równania kwadratowe • Znajdowanie rozwiązań równania kwadratowego ax2+bx+c=0, lub inaczej szukanie pierwiastków równania polega na znajdowaniu takiego argumentu x, dla którego parabola dana równaniem y=ax2+bx+c przecina oś OX. • Wyróżnikiem trójmianu kwadratowego Δ nazywamy wyrażenie b2−4ac.

42. Właściwości wyróżnika trójmianu kwadratowego: • Dla równania w postaci: ax2+bx+c=0, Δ=b2−4ac • 1. Jeżeli Δ<0, to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych. • 2. Jeżeli Δ=0, to równanie ma dwa takie same rozwiązania: x= − • 3. Jeżeli Δ>0, to równanie ma dwa różne rozwiązania:

43. Przykład 1. • Rozwiązanie graficzne układu • Na niebiesko zaznaczono wykres pierwszej nierówności, na czerwono - drugiej. Zakreskowana figura, to graficzne rozwiązanie układu.

44. RÓWNANIE Okręgu • Okrąg o środku (0,0) i promieniu r ma równanie: • x2 + y2 = r2 • Okrąg o środku (a,b) i promieniu r ma równanie: • (x - a)2 + (y - b)2 = r2 S r S r

45. Przykład 2. • Rozwiążemy układ równań: • Zatem układ ma dwa rozwiązania. • Są to pary liczb (2,2) oraz (-2,-2).

46. Wykresy obu równań powinny się przecinać właśnie w tych punktach. Pierwsze równanie jest równaniem okręgu o środku S(0,0) i promieniu, wykresem drugiego równania jest prosta.

47. Prezentację przygotowali: Okupniarek Natalia Piekarska Kinga Rogaliński Dawid Szafrański Łukasz Twardowski Jakub Wiśniewska Sabina Zwolińska Angelika • Garczyńska Karolina • Grzelaczyk Agata • Grzelak Karolina • Jankowiak Magdalena • Jasiak Ewelina • Lewandowska Karina • Majewska Agata

48. W TRAKCIE PRACY

49. Dziękujemy za obejrzenie prezentacji