„Gekoppelte Oszillatoren“

1. „Gekoppelte Oszillatoren“

2. Inhalt • Gekoppelte Pendel • Gekoppelte elektrische Schwingkreise • Gekoppelte Schwingungen in den Bausteinen der Materie • Orbitale der Elektronen • Molekülschwingungen • Schwingungen in Festkörpern

3. Feder und Massenpunkt d‘ Alembertsches Prinzip

4. Erste Eigenschwingung der über eine Feder gekoppelten Oszillatoren Leicht erhöhte Frequenz: Kopplungsfeder wird wenig beansprucht Symmetrische Auslenkungen

5. Zweite Eigenschwingung der über eine Feder gekoppelten Oszillatoren Höhere Frequenz: Kopplungsfeder wird stark beansprucht Anti-Symmetrische Auslenkungen

6. Versuch: Gekoppelte Pendel • Verhalten eines einzelnen Schwingkreises • Kopplung über die Feder • Schwebungen durch Überlagerung von zwei Schwingungen unterschiedlicher Frequenz • Suche nach den Eigenfrequenzen durch spezielle Startbedingungen • Unterschiedliche Eigenschwingungen zeigen unterschiedliche Symmetrie

7. „Schlüsselexperiment“ Doppelpendel

8. Effekt der Kopplung • Ohne Kopplung: Beide Oszillatoren zeigen die gleiche Eigenfrequenz • Mit Kopplung: • Zwei „Schwingungsmoden“ mit unterschiedlichen Eigenfrequenzen • Die Symmetrie der Auslenkungen beider Moden ist unterschiedlich

9. Versuch: Gekoppelte elektrische Schwingkreise • Verhalten eines einzelnen Schwingkreises • Kopplung über die Feldstärken • Schwebungen durch Überlagerung von zwei Schwingungen unterschiedlicher Frequenz • Suche nach den Eigenfrequenzen mit Fourier-Analyse

10. Kopplung von zwei elektrischen Schwingkreisen über das magnetische Feld Kopplung ohne Materie gibt es nur in elektromagnetischen Feldern!

11. Über das Magnetfeld gekoppelte Schwingkreise • Schwebungen aufgrund des Austauschs der Energie zwischen den Schwingkreisen • Grund: Überlagerung der beiden Eigenschwingungen mit • leicht unterschiedlichen Frequenzen • unterschiedlichen Symmetrie-Eigenschaften • Erste Eigenschwingung mit „gleichphasigen“ Feldstärken in beiden Kreisen • Zweite Eigenschwingung mit „gegenphasigen“ Feldstärken in beiden Kreisen

12. Gekoppelte Schwingungen in der Materie • Alle durch Wechselwirkungskräfte verbundenen Teile sind – bei entsprechender Anregung – „gekoppelte Pendel“ • Bei Teilchenzahl n wächst - im dreidimensionalen Raum - die Zahl der „Freiheitsgrade“ auf 3n • Es gibt deshalb 3n Eigenschwingungen mit unterschiedlichen • Symmetrie-Eigenschaften • Energie-Werten • An jeder Eigenschwingung sind immer alle Oszillatoren beteiligt

13. Beispiele • „Gekoppelte Pendel“ • Orbitale des Elektronensystems • Molekülschwingungen • Schwingungen im Festkörper, „Phononen“

14. Orbitale • Die Elektronen in einer „Schale“ n eines Atoms bilden ein System identischer, gekoppelter Oszillatoren • Hier verlässt man das Bohrsche Atommodell • Die Eigenschwingungen dieses Systems werden mit den Quantenzahlen l, m bezeichnet • und zeigen unterschiedliche Symmetrie-Eigenschaften • Orbitale zeigen die Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Elektronen • was bei Oszillatoren sinnvoll ist

15. Symmetrie der drei p Orbitale einer Unterschale (l=1) bei beliebiger Drehung um eine Achse

16. Orbitale mit ihren Quantenzahlen

17. Beispiel: Orbitale im Neon

18. Molekülschwingungen, Beispiel CO2, erste Streckschwingung, symmetrisch z x

19. Beispiel CO2, zweite Streckschwingung antisymmetrisch z x

20. Beispiel CO2, erste Deformationsschwingung z x

21. Beispiel CO2, erste Deformationschwingungen, Ansicht von der Längs-Seite z y

22. Beispiel CO2, zweite Deformationschwingung, Ansicht von der Längs-Seite z y

23. Symmetrieeigenschaften dieser Schwingungen bei der Einheitsoperation, Drehung und Spiegelung Ist die Schwingung invariant gegenüber der Symmetrieoperation?

24. Beispiel: Anregung der ersten Deformationsschwingung von CO2 im Infrarot-Bereich

25. Kristalline Festkörper • BeinTeilchengibt esn„Schwingungsmoden“ mit Auslenkungsmuster unterschiedlicher Symmetrie • Die n Eigenfrequenzen der Moden liegen zum Teil sehr dicht beisammen, es entstehen Energiebänder

26. Modell für die Einheitszelle eines Kristalls mit zwei Atomen in der Elementarzelle mit Federn anstelle der Coulomb-Kräfte Freiheitsgrade eines Kristallgitters mit 2 Atomen in der Elementarzelle

27. Beispiel für die Eigenschwingungen eines Kristalls mit zwei Atomen in der Elementarzelle Freiheitsgrade eines Kristallgitters mit 2 Atomen in der Elementarzelle

28. Beispiel für eine Eigenschwingung

29. Phononen • Zu jedem Auslenkungsmuster gehört eine „Eigenfrequenz“ • Normalschwingungen der Teilchen in kristallinen Festkörpern werden „Phononen“ genannt • Die Schwingungen der Teilchen, die Phononen, koppeln an die Anregung der Elektronen

30. Wirkung der Kopplung: Vergleich der Spektren von Gasen/Flüssigkeiten/Festkörpern C6H6

31. Beispiele für Emission und Absorption an freien Atomen und im Vergleich dazu – an heißen Festkörpern Absorptionslinien von Wasserstoff vor der „Weissen“ Strahlung der Sonne (an der Oberfläche ca. 6000 K) Abbildung: Emissionsspektrum der Quecksilberdampflampe und Absorptionslinien im Sonnenspektrum. Quelle: Meyers Enzyklopädisches Lexikon

32. Zuammenfassung • Alle durch Wechselwirkungskräfte verbundenen Teile sind – bei entsprechender Anregung – „gekoppelte Pendel“ • Bei Teilchenzahl n wächst die Zahl der „Freiheitsgrade“ auf 3n • Es gibt deshalb 3n Eigenschwingungen mit unterschiedlichen • Symmetrie-Eigenschaften • Energie-Werten

33. Finis Leicht erhöhte Frequenz: Kopplungsfeder wird wenig beansprucht Symmetrische Auslenkungen