ERRORI DELLE RETTE D’ALTEZZA Impiego Pratico delle Rette d’Altezza

1. ERRORI DELLE RETTE D’ALTEZZAImpiego Pratico delle Rette d’Altezza Generalità sugli errori della Retta Punto Nave con due Rette - Bisettrice Punto Nave con tre Rette A cura del : ITP Giuseppe FIORINI Punto Nave con quattro Rette Appunti tratti da ELEMENTI DI NAVIGAZIONE ASTRONOMICA - FLORA - Hoepli 1

2. Generalità sugli errori della Retta d’altezza Saint-Hilaire Laretta d’altezzaè una linea di posizione della nave se tutti gli elementi che la concorrono a determinarla sono ESATTI Se questi elementi ( azimut e h ) sono erronei, il grado di fiducia che si può riporre in essa dipende dall’entità degli errori di cui sono affetti i vari elementi. azimut stimato “ as “ h = hv - hs 2

3. L’altezza Vera “hv” è osservata con il sestante sull’orizzonte del mare, e può essere affetta da ERRORI dovuti principalmente : • alle circostanze che accompagnano l’osservazione ; • allo strumento di misura; • alla depressione anormale dell’orizzonte del mare. L’altezza e l’azimut stimati (hs ; as) sono calcolati in base al punto stimato (s , s) ed in base al Tm ricavato dal cronometro (se lo stato assoluto del cronometro è errato, ne risulta un errore sulla longitudine dei punti della retta d’altezza). Inoltre la retta è un arco di Lossodromia che sostituisce un arco di cerchio d’altezza (di qui un nuovo errore che è tanto più sensibile quanto più lontano è il punto nave vero dal punto stimato) 3

4. Errori nell’altezza Osservata - Striscia di certezza 1° - Errore accidentale dipendente dal sestante per essere sconosciuto o mal conosciuto l’errore istrumentale,mal rettificato, lievi imperfezioni delle parti ( circa 10”-20”) 2° - Errore sistematico dipendente dalla conoscenza imperfetta della correzione d’indice nel detrminare tale correzione si è commesso un errore che si riversa in misura eguale su tutte le osservazioni (inferiore 20”) 3° - Errore accidentale di osservazione dipende dalle circostanze che accompagnano l’osservazione , la quale può essere ostacolata dal vento, dal mare mosso, dall’orizzonte poco limpido, dalla nebbia, dalle nuvole,ecc. ( da pochi secondi ad alcuni primi) 4

5. 4° - Errore sistematico dipendente dall’osservatore L’osservatore nel portare in collimazione l’astro con l’orizzonte, commette un errore costante personale; per cui li giudica in collimazione, quando in realtà l’astro è sopra o sotto l’orizzonte (molto piccolo ed trascurabile) 5° - Errore sistematico della depressione dell’orizzonte l’orizzonte marino tal volta, specie nei mari caldi o alle foci dei grandi fiumi, può essere anormalmente depresso e la depressione effettiva può differire da quella calcolata con “ i=1,8  e “ di decimi di primo, ( tale errore raggiunge mezzo primo)- questo prevale su tutti gli altri errori L’ERRORE TOTALE sull’altezza osservata risulta dalla somma algebrica di tutti gli errori considerati (che si dividono in accidentali a e sistematici s )  = s + a 5

6.  si riversa totalmente sulla differenza algebrica h = hv - hs, per cui la retta d’altezza Erronea, che si traccia in base alla h errata, risulta parallela alla vera e spostata nel senso dell’azimut o in senso contrario ( precisamente se hv >e più grande del valore esatto la retta d’altezza erronea risulterà spostata verso l’astro; se hv< è più piccola, la retta d’altezza erronea risulterà spostata in senso opposto all’astro.) In generale l’errore complessivo non supera i 2’ o 3’. NON è Possibile, in genere, considerare la retta d’altezza come una linea di posizione, ma come una Striscia di Posizione ampia 2 le parallele vanno tracciate da parti opposte, perché non si conosce il segno dell’errore  viene detta anche STRISCIA DI CERTEZZA 6

7. L’ampiezza di tale striscia dipende dall’entità dei vari errori, e cioè: • dall’errore  sull’altezza osservata (sistematici ed accidentali); • da un errore in primi d’arco, prodotto da uno scarto in secondi di tempo del cronometro ( oggi giorno trascurabile) • da un errore “s cos ” prodotto dall’errore di stima nel trasporto ( questo è massimo quando “s” è perpendicolare alla retta d’altezza da trasportare, è nullo quando è nella direzione della retta. Per renderlo più piccolo possibile è necessario che sia il più piccolo possibile l’intervallo di tempo che trascorre fra l’istante dell’osservazione e l’istante per il quale si vuole trasportare la retta) • errore dovuto alla sostituzione del segmento del cerchio di altezza con un arco lossodromico 7

8. Punto Nave con Due rette d’Altezza _ BISETTRICE d’altezza Il punto nave ottenuto con due rette è esatto se sono esatte le due rette (cioè non affette da errori). a causa degli errori accidentali e sistematici il punto nave con due rette e da considerare dubbio, è necessario quindi eseguirlo con tre o, meglio, quattro rette. per ogni retta va a considerarsi una strisci di posizione, strisce di ampiezze diverse perché diversi sono gli errori  per ciascuna l’incontro delle due strisce che sostituiscono le rette, genera un PARALLELOGRAMMA DI SICUREZZA o di ERRORE ABCD

9. Errore sul Punto Nave • Affinchè l’Errore sul punto sia MINIMO è necessario che le due rette si taglino: • ad angolo retto (90°), quando è MAGGIORE l’errore accidentale di quello sistematico; • secondo un angolo acuto (60°), quando è maggiore l’errore sistematico di quello accidentale; L’ERRORE TOTALE sull’altezza osservata risulta dalla somma algebrica di tutti gli errori considerati (che si dividono in accidentali a e sistematici s )  = s + a

10. Siano h1 ed h2 le due altezze osservate , entrambe saranno affette da un errore totale che sarà dato da: 1 = s + a1 2 = s + a2 l’errore sistematico s è uguale, mentre varia quello accidentale a In genere se le due rette sono state prese SIMULTANEAMENTE o quasi, l’errore sistematico è MAGGIORE di quello accidentale, se le due rette sono state prese ad un intervallo di tempo grande l’una dall’altra, l’errore accidentale è maggiore di quello sistematico L’errore più temibile sull’altezza osservata è quello dipendente dalla depressione dell’orizzonte( decine di primi). Se le due rette sono state prese simultaneamente o quasi, tale errore è uguale per le due altezze (cioè sistematico) perchè le condizioni del mare e dell’atmosfera sono le stesse, esso prevale su tutti gli altri. Quindi si può concludere che per due rette simultanee l’errore sistematico è maggiore dell’errore accidentale.

11. Se invece le due rette sono state prese a grande intervallo di tempo, poiché cambiano le condizioni del mare e dell’atmosfera, l’errore sulla depressione sarà diverso per l’una e per l’altra altezza è deve essere considerato accidentale. Poiché esso prevale su tutti gli altri errori si può concludere che: quando due altezze sono prese a grande intervallo di tempo l’una dall’altra, l’errore accidentale è maggiore dell’errore sistematico.

12. 1° caso - Errore accidentale a > s errore sistematico L’errore totale sulla prima retta sia 1 e sulla seconda retta sia 2. E’ il caso di due rette non simultanee. Si tracci la retta R1R1 con le parallele AB, DC distanti ciascuna da essa dell’errore 1 e limitanti la prima striscia di posizione ampia 2 1 ; Si tracci la retta R2R2 con la sua striscia di posizione ampia 22. Le due strisce si tagliano secondo il parallelogramma ABCD, detto parallelogramma di errore o di certezza. Se le due rette fossero esatte, il punto nave cadrebbe in Z, poiché sono erronee può cadere in un punto qualunque di ABCD

13. L’errore massimo sul punto Z ottenuto si ha quando il punto nave vero cade in A o in C, gli estremi, cioè della diagonale maggiore del parallelogramma di certezza. Sia  l’angolo (<o= 90°) formato fra le due rette; esso è uguale alla differenza a fra gli azimut delle due rette, o al supplemento 180°- a di tale differenza.

14. Per ricavare l’errore massimo ZA sul punto Z, dal triangolo AZF, per il Teorema di Carnot si Ha: AZ² = ZF² + FA² - 2ZF * FA *cos AFZ ma: AFZ = 180°- cos(180°- ) = - cos  per cui: AZ² = ZF² + FA² + 2ZF * FA *cos  Dal Punto A si tracciano le perpendicolari AH e AI sulle due rette. Dal triangolo rettangolo AHG si ricava: AH = AG sen AGH ma: AH = 1 AG = ZF AGH =  per cui: 1 = ZF sen  da cui: ZF = 1 / sen 

15. Analogamente dal triangolo rettangolo AIF si ricava : FA = 2 / sen  Sosdtituendo nalla formula di Carnot: AZ² = ZF² + FA² + 2ZF * FA *cos  dalla quale: Quando  ( e cioè la differenza degli azimut) e 90° (o 270°), l’errore diventa il più piccolo possibile, perché il denominatore risulta massimo (sen  = 1) e il numeratore minimo

16. il parallelogramma di sicurezza si riduce in tal caso a un rettangolo o, in caso di errori uguali, a un quadrato. Quando invece l’angolo  è 0° , i denominatore si annulla e l’errore diventa infinitamente grande. Tanto per porre un limite , è bene che l’angolo non sia inferiore a 30°. CONCLUSIONE : Quando l’errore accidentale è maggiore dell’errore sistematico (caso di altezze non simultanee), perché sia minimo l’ERRORE SUL PUNTO NAVE ottenuto con due rette d’altezza, è necessario che queste si taglino secondo un angolo il più vicino possibile a 90°, mai inferiore a 30°.

17. 2° caso - Errore accidentale a < s errore sistematico Caso di due rette simultanee o quasi, anche in questo caso, poiché si ignora il segno dell’errore sistematico, va considerato un parallelogramma di certezza ABCD. Però, siccome l’errore sistematico prevale su quello accidentale fa spostare le due rette entrambe nel senso dell’azimut, o entrambe in senso contrario, ne risulta che

18. il punto nave non può cadere indifferentemente in uno qualunque dei quattro angoli formati dalle rette erronee R1R1 ed R2R2 ; ma cadrà in uno degli angoli ottusi opposti (verso B o verso D) se la differenza degli azimut è minore di 90° ; in uno degli angoli acuti opposti (verso A o verso C) se la differenza degli azimut è maggiore di 90°

19. E’ bene dunque che la differenza degli azimut sia, in questo caso, minore di 90°, perché i due punti B,D sono più vicini al punto Z dei punti A,C. L’errore minimo sul punto nave si ottiene con una differenza fra gli azimut di 60° circa. Quando l’errore sistematico è maggiore dell’errore accidentale ( caso di rette simultanee o quasi), perché sia minimo l’errore sul punto nave ottenuto con due rette d’altezza, è necessario che gli azimut di queste differiscano di un angolo acuto di circa 60°

20. Ricaviamo il valore della differenza d’azimut che produce l’errore minimo nel caso in cui sia maggiore l’errore sistematico di quello accidentale. 1 = s + a1 2 = s + a2 Nell’ipotesi che l’errore sistematico s sia maggiore di quelli accidentali, gli errori 1ed 2 hanno entrambi lo stesso segno e cioè le rette esatte sono entrambe verso i rispettivi astri o in senso opposto. Circonferenza di raggio1 Se la differenza d’azimut è 90° e gli errori sono entrambi positivi, il punto nave erroneo è Z, incontro delle rette erronee, il punto nave esatto è N, incontro delle rette esatte (punteggiate); l’errore è dato dalla distanza ZN ed è maggiore dell’errore maggiore delle due rette 1.

21. Se si tiene ferma la retta R1R1 e si fa girare la R2R2 nel senso della freccia, in modo che il  a diminuisca, il punto N si andrà accostando alla circonferenza e la toccherà quando la differenza d’azimut  a avrà raggiunto un particolare valore acuto di 60°, dipendente da 1e da 2 . Diminuendo ancora  a , il punto N si allontanerà nuovamente dalla circonferenza e l’errore crescerà. Si congiunga Z con N e si conduca la perpendicolare NM. Dal triangolo NMZ, rettangolo in M, si ricava: NM = NZ cos MNZ

22. ma: NM = 2NZ = 1MNZ = a per cui : 2 = 1cos a da cui: Cioè : Il Coseno della differenza d’azimut  a è uguale al quoziente tra l’errore minimo 2e l’errore maggiore 1sulle due rette, quando essi hanno il medesimo segno. Conclusione: quando le altezze osservate sono simultanee non si può affermare con sicurezza che prevalga l’errore sistematico, si può concludere che in ogni caso è bene che le rette si taglino ad angolo retto e che cioè gli azimut differiscano di 90° o di un angolo acuto (non inferiore a 30°) piuttosto che di un angolo ottuso.

23. Bisettrice d’Altezza Supponiamo che le due rette R1R1 ed R2R2 siano affette da errore uguale; sia O il loro punto d’incontro e siano a1 ed a2 le direzioni degli azimut rispettivi , la cui differenza sia ( contata semicircolarmente cioè da 0° a 180°): a = a 1 - a 2 Le due rette si tagliano secondo due angoli supplementari ( uno minore, l’altro maggiore di 90°) nei quali l’uno è uguale alla differenza degli azimut a , e l’altro a 180°- a . Si chiama BISETTRICE D’ALTEZZA la retta BB, bisettrice dell’angolo 180°- a , formato tra le rette. La Bisettrice d’altezza è una LINEA DI POSIZIONE della nave, esente dall’Errore Sistematico.

24. Infatti, poiché per ipotesi le due rette sono affette da errori uguali ( e cioè sistematici ), tali errori, comunque grandi, fanno trasportare entrambe le rette parallelamente a se stesse, della medesima quantità, nel senso dei rispettivi azimut o in senso contrario; per cui ilpunto di incontro delle due rette vere (non affette da errore ) coincide con un punto della bisettrice; e quindi il punto nave si trova sulla bisettrice. In realtà esistono anche gli errori accidentali, però se le due altezze sono osservate simultaneamente o quasi, poiché generalmente prevale l’errore sistematico, si può tracciare la bisettrice d’altezza, la quale elimina tale errore; e la bisettrice risulterà affetta da un errore dipendente soltanto dagli errori accidentali.

25. Errore sulla Bisettrice 1 = s + a1 2 = s + a2 Nell’ipotesi che l’errore sistematico s sia maggiore di quelli accidentali, ed 1> 2 Z è il punto nave vero; esso dista dalla bisettrice della quantità : b = ZA che è L’ERRORE DELLA BISETTRICE, dovuto agli errori accidentali ( infatti se questi non esistessero le rette vere si incontrerebbero su un punto della bisettrice)

26. Una delle rette vere taglia in C la Bisettrice, se conduciamo per C le perpendicolari: CN = 2 MCE = 1 poiché: CM = CN = 2 risulta che : CE = ME - CM = 1 - 2 dal triangolo ZCE, retto in E, si ha: CE = CZ sen CZE e poiché: CZE = 180° - a CE = 1 - 2

27. risulta :1 - 2= CZ sena e: Dal Triangolo AZC, rettangolo in A: AZ = CZ sen ZCA e poiché: AZ = b ZCA = (180°- a)/2 = = 90° - a/2 b = CZ cos (a/2)

28. Sostituendo a CZ il suo valore : ma: dalla trigonometria per cui sostituendo e semplificando ma: per cui:

29. In questa espressione non compare l’errore sistematico, cioè: cioè l’errore della bisettrrice dipende dai soli errori accidentali delle due rette ed è indipendente dall’errore sistematico; ciò equivale a dire che la bisettrice elimina l’errore sistematico. Poiché, la differenza fra gli errori accidentali (a1 - a2) è generalmente molto piccola , la BISETTRICE d’Altezza è una linea di posizione più precisa della retta d’altezza. Perché sia minimo l’errore “b” è necessario ( a parità di errori accidentali) che il denominatore (2sen(a/2) sia massimo: è ciò si ottiene quando a= 180° sen(a/2) = sen(180/2) = 1

30. La Bisettrice ( corrispondente a a = 180° ) si dice OTTIMA Se la a diminuisce , l’errore della bisettrice “b” cresce, e diventa infinito quando a=0°. Quando a<60° non è conveniente tracciare la bisettrice. Non è neppure conveniente tracciare la bisettrice quando le due rette non sono simultanee: infatti, allora prevale l’errore accidentale, e quindi il numeratore (a1 - a2) può raggiungere valori notevoli.

31. CONCLUSIONI:due rette simultanee o quasi ( e cioè affette da un errore sistematico maggiore degli accidentali ) danno un punto nave erroneo ma una buona linea di posizione ( BISETTRICE D’ALTEZZA), purchè la differenza fra gli azimut sia maggiore di 60°, la bisettrice è OTTIMA, quando la differenza fra gli azimut è 180°. la bisettrice non va tracciata quando l’errore accidentale prevale su quello sistematico (Osservazioni non simultanee)

32. Punto Nave con Tre e Quattro rette D’altezza Il Punto Nave ottenuto con due rette d’altezza è generalmente poco esatto: perciò va considerato un Parallelogramma di Certezza di superficie più o meno ampia, entro il quale è contenuto il punto nave. Un punto migliore, ma non ancora sicuro, si ottiene per mezzo di tre rette d’altezza simultanee o rese tali mediante un breve trasporto. Le tre rette, se fossero esatte, dovrebbero passare per lo stesso punto (punto nave); siccome sono affette da errori sistematici ed accidentali non passano generalmente per lo stesso punto, ma formano un triangolo di superficie più o meno ampia. Si tracciano le bisettrici d’altezza (bastano due), le quali, nel punto di incontro, danno il punto nave Z ESENTE DALL’ERRORE SISTEMATICO. Siccome l’errore sistematico, quando le rette sono simultanee o quasi, è il più temibile, mentre gli accidentali sono generalmente piccoli, sul punto nave ottenuto con le bisettrici d’altezza si può riporre un maggior grado di fiducia rispetto a quello ottenuto con due rette d’altezza.

33. Il Punto nave cade all’INTERNO del triangolo formato dalle rette quando le bisettrici bisecano gli angoli interni del triangolo stesso ( ciò avviene quando la Somma di due differenze d’azimut consecutive sia maggiore di 180°); Cade all’ESTERNO quando una delle bisettrici è di un angolo interno; le altre due, degli angoli esterni non adiacenti a questo ( ciò avviene quando la somma di due differenze d’azimut sia INFERIORE a 180°

34. La forma della figura dipende, cioè, esclusivamente dalle direzioni verso le quali sono stati osservati i singoli astri, la scelta dei quali ha, perciò grande importanza. Ottenuto in Z il punto nave con le bisettrici, è possibile misurare l’errore Sistematico delle tre altezze osservate, purché si supponga trascurabile l’errore accidentale di ciascuna di esse, supposizione che si può fare in genere, perché l’errore accidentale medio è inferiore ad un mezzo primo. L’ERRORE SISTEMATICO, espresso in primi di arco, è uguale alla distanza, espressa in miglia, fra il punto nave e una qualsiasi delle tre rette d’altezza in base alle quali si è ottenuto il punto nave. Si può rilevare col compasso dal grafico e misurare sulla scala delle latitudini. Le rette dovrebbero passare per il punto Z; l’errore sistematico ha prodotto il loro spostamento; si può convenire di considerare positivo l’errore se lo spostamento delle rette è avvenuto nel senso dell’azimut; negativo, nel caso contrario.

35. Z cade fuori dal triangolo, può avvenire che la differenza fra due azimut d’osservazione sia < (inferiore) a 60°, la bisettrice corrispondente risulta mal determinata, riultando mal determinato anche il punto Z, il quale cade a GRANDE distanza dalle tre rette. In questo caso risulta molto grande l’errore sistematico.

36. Allora è più opportuno tracciare la sola bisettrice ben determinata ( quella dell’angolo interno del triangolo formato dalle rette ) e considerare come punto nave il punto Z’. La sostituzione del punto Z’ al punto Z è tanto più giustificata quanto più si avvicina a 90° l’angolo sotto cui si tagliano l’unica bisettrice e la terza retta d’altezza.

37. Il punto Nave con tre rette d’altezza simultanee o quasi, generalmente è un buon punto nave, esente dall’ERRORE SISTEMATICO. Non è però sempre SICURO. Se si commettono gravi errori accidentali il punto (pur cadendo vicino al punto stimato) è un punto errato, per questo punto mancano gli elementi di controllo, .. che invece sono presenti per i punti a quattro rette. CONCLUSIONI: Nel Caso di tre osservazioni , le migliori condizioni si hanno quando i tre astri si osservano a 120° in azimut l’uno dall’altro. Le tre rette vengono a formare un triangolo equilatero al cui centro è il punto nave . Il Punto ha sufficiente precisione comunque grande sia l’errore sistematico e sia piccolo quello accidentale.

38. Punto Nave con quattro rette d’altezza simultanee o quasi- Punto OTTIMO- Misura dell’errore sistematico e accidentale medio. Osserviamo quattro astri i cui azimut differiscano di 90° l’uno dall’altro. Ne risultano quattro rette d’altezza le quali danno luogo a due BISETTRICI ottime che si tagliano ad angolo retto nel punto nave.

39. E’ questo il PUNTO OTTIMO, che si può ottenere soltanto ai crepuscoli nautici di mattina o di sera; l’unico SICURO. Infatti, discutendo l’errore della bisettrice, si è detto che una Bisettrice d’altezza è una linea di posizione esente dall’errore sistematico, ma affetta da errori accidentali; questi ultimi producono un errore minimo (eguale alla loro semidifferenza algebrica), quando la differenza fra gli azimut delle rette che la determinano è 180°; allora la bisettrice si dice OTTIMA. però , la bisettrice è affetta da errori accidentali; in luogo di essa va perciò considerata una STRISCIA DI POSIZIONE. Due strisce di posizione danno luogo a un Parallelogramma di errore, dal quale si ricava che, perché la determinazione del punto nave sia la migliore, le due lienee di posizione (bisettrici) devono trovarsi ad angolo retto (90°)

40. Danno inoltre modo di controllare un eventuale errore commesso nel calcolo o nel tracciamento delle rette. Se non vi è errore, le quattro frecce indicanti le direzioni degli azimut devono essere tutte rivolte verso il punto nave, oppure tutte in direzione opposta. Se questa circostanza non è verificata significa che: • è stato commesso un errore nell’osservazione, o nel calcolo o nel tracciamento delle rette; • oppure nell’istante delle osservazioni c’erano eccezionali condizioni meteo, per cui gli errori accidentali risultano maggiori del sistematico

41. Per mezzo di quattro rette d’altezza è possibile ottenere un valore dell’ERRORE SISTAMATICO ed uno approssimato dell’ERRORE ACCIDENTALE MEDIO. Per ogni coppia di rette, l’ERRORE SISTEMATICO, in primi di arco, è rappresentato, in grandezza e segno, dalla distanza in miglia fra il punto Z ed una qualunque delle due rette, ed è NEGATIVO se le frecce sono rivolte verso il punto nave, POSITIVO se rivolte in senso contrario. Indicando con d1 e d2 le due distanze in miglia che si ottengono per le due coppie di rette in base alle quali sono state tracciate le bisettrici, si può assumere come valore dell’errore sistematico per le quattro rette la loro media (semisomma algebrica): d1 d2

42. L’ERRORE ACCIDENTALE MEDIO si può ritenere uguale alla differenza algebrica: CONCLUSIONI: La determinazione di un miglior punto nave si ottiene con l’osservazione simultanea o quasi delle altezze di quattro astri, i cui azimut differiscano successivamente di 90° l’uno dall’altro. Si ottiene ancora un ottimo punto nave quando la differenza d’azimut è compresa fra 60° e 90°. ( ma mai inferiore a 60°)