Verteilung über Energien

1. Verteilung über Energien Bis jetzt: Betrachtung nur der mittleren Energie der Moleküle Zustandsgleichung des idealen Gases: Wie sieht die Verteilungsfunktion für die Energie aus? Alias: Wie sieht die Verteilungsfunktion für die Geschwindigkeiten aus? Verteilungsfunktion P(x): ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Größe x einen Wert im Intervall a≤ x ≤ b annimmt.

2. Verteilungsfunktion Verteilungsfunktion P(x):

3. Verteilung über Energieniveaus Energie-niveaus Besetzungs-zahl Zustand

4. Ergodenhypothese ergon eidos Die Ergodenhypothese besagt: zeitlicher Mittelwert ist gleich dem Ensemblemittelwert. Ergodisch ist ein dynamisches System dann, wenn das zeitliche Durchlaufen der Zustände die gleiche Verteilung ergibt wie eine statistisch zufällige Auswahl der Zustände.

5. Verteilung über Energieniveaus Wieviele Möglichkeiten gibt es, N Teilchen so zu verteilen, daß im ersten Energie-Niveau N1 Teilchen, im zweiten N2 Teilchenetc. sind? Betrachten wir N leere Boxen Die ersten N1 Boxen gehören zu Niveau mit E1,die nächsten N2 zu Niveau E2 etc. Verteilen wir N Kugeln auf N Boxen

6. Zahl der Permutationen N Möglichkeiten 1. Kugel: N(N-1) Möglichkeiten 2. Kugel: N(N-1)(N-2) Möglichkeiten 3. Kugel: N(N-1)(N-2)(N-3) Möglichkeiten 4. Kugel:

7. Zahl der Permutationen Bei der Verteilung von N Kugeln auf N Boxen gibt es Möglichkeiten Aber: Kugeln sind ununterscheidbar In welcher Reihenfolge Kugeln auf die NjBoxen gleicher Energie Ej einsortiert werden ist physikalisch unerheblich!

8. Verteilung über Energieniveaus Wieviele Möglichkeiten gibt es, N Teilchen so zu verteilen, daß im ersten Energie-Niveau N1 Teilchen, im zweiten N2 Teilchenetc. sind? Antwort: Per Definitionem: 0! = 1

9. Verteilung von drei identischen Kugeln auf zwei Energieniveaus

10. Wahrscheinlichste Verteilung Wahrscheinlichste Verteilung der Moleküle über Energieniveaus ist diejenige, welche dergrößten Zahl von Möglichkeiten entspricht Antwort: ? Something is missing

11. Randbedingungen 1. Gesamtenergie des Systems ist konstant E Nur Zustände mit dieser Energie E werden realisiert 2. Gesamtzahl der Moleküle ist konstant N Nur Zustände mit Molekülzahl N werden realisiert

12. Technicalities Randbedingungen: und Constrained maximisation unter der Annahme daß Nj frei variierbare Variablen sind

13. Lagrange-Multiplikatoren Maximiere Randbedingung y x

14. Lagrange-Multiplikatoren Maximiere Randbedingung Anstatt f(x,y) zu maximieren, maximiere die erweiterte Funktion l nennt man Lagrange-Multiplikator Aufgabe: Suche für jeden möglichen Wert von l das Maximumvon F(x,y,l)

15. Lagrange-Multiplikatoren Maximierung ergibt eineKurve in der xy-Ebene als Funktion von l Suche den Wert von l, beidem Maximum auf dergelben Kurve liegt y x

16. Lagrange-Multiplikatoren und y x

17. Technicalities und Lagrange-Multiplikatoren a und b

18. Technicalities für alle Nj

19. Stirling-Formel Für x > 1000 Genauigkeit besser als 1 % Genauere Formel:

20. Technicalities für alle Nj

21. 1. Lagrange-Multiplikator a Zustandssumme

22. 2. Lagrange Multiplikator b Implizite Gleichung für b Wahrscheinlichkeit pj, daß sich Teilchen auf dem j-ten Energieniveau mit Energie Ej befindet:

23. Gibbs-Boltzmann-Verteilung Zustandssumme b ist implizit bestimmt durch

24. Gibbs-Boltzmann-Verteilung 1000 Teilchen b = 0.05 1000 Teilchen b = 0.1 Ej Ej

25. Gibbs-Boltzmann-Verteilung Entartung der energetischen Zustände E