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Teoría Axiomática General de Agregados (VI)

Teoría Axiomática General de Agregados (VI). Jorge Baralt-Torrijos Universidad Simón Bolívar Agosto 2003. Contenido. Axioma de Membresía Ax. de Clausura de Apareamiento Axioma de Herencia de Elementos Teorema General de Clases Teoremas de Conjuntos. Axioma de Membresía. Df. Mbrs.

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Teoría Axiomática General de Agregados (VI)

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  1. Teoría Axiomática General de Agregados (VI) Jorge Baralt-Torrijos Universidad Simón Bolívar Agosto 2003 Jorge Baralt-Torrijos

  2. Contenido • Axioma de Membresía • Ax. de Clausura de Apareamiento • Axioma de Herencia de Elementos • Teorema General de Clases • Teoremas de Conjuntos Jorge Baralt-Torrijos

  3. Axioma de Membresía Jorge Baralt-Torrijos

  4. Df. Mbrs • Mbrs = x=a EsRelacion(x) Ùy (y  x  $a$b (y = ParOrd(b)(a) Ù b Î a))Mbrs=sla relación de membresía Jorge Baralt-Torrijos

  5. Ax. de Membresía • $x Mbrs = x Jorge Baralt-Torrijos

  6. Resumen de Axiomas (1) • 1. Extensión (Op. 2) • 2. Existencia (Op. 2) • 3. Diferencia • 4. Apareamiento (Op. 2) • 5. Producto Cartesiano • 6. Rotación • 7. Transposición • 8. Dominio Jorge Baralt-Torrijos

  7. Resumen de Axiomas (2) • 9. Reemplazo • 10. Membresía Jorge Baralt-Torrijos

  8. Ts. Mbrs • xÎ Dom(Mbrs)  EsElemento(x) Ù$a a Î x • xÎ Rng(Mbrs)  EsElemento(x) Ù $a x Î a • EsClase(Dom(Mbrs)) • EsClase(Rng(Mbrs)) Jorge Baralt-Torrijos

  9. Axioma de Clausura de Apareamiento Jorge Baralt-Torrijos

  10. Ax. de Clausura de Apareamiento • EsElemento(Par(b)(a)) Jorge Baralt-Torrijos

  11. Resumen de Axiomas (1) • 1. Extensión (Op. 2) • 2. Existencia (Op. 2) • 3. Diferencia • 4. Apareamiento (Op. 2) • 5. Producto Cartesiano • 6. Rotación • 7. Transposición • 8. Dominio Jorge Baralt-Torrijos

  12. Resumen de Axiomas (2) • 9. Reemplazo • 10. Membresía • 11. Clausura de Apareamiento Jorge Baralt-Torrijos

  13. Ts. Clausura de Apareamiento (1) • EsConjunto(Par(b)(a)) • EsElemento(Atm(a)) • EsConjunto(Atm(a)) • EsNatZ(x) Þ EsConjunto(x) Jorge Baralt-Torrijos

  14. Ts. Clausura de Apareamiento (2) • EsElemento(ParOrd(b)(a)) • EsConjunto(ParOrd(b)(a)) • EsClase(PrC(Y)(X)) • EsClase(Mbrs) • EsElemento(x) Þ $a x Î a • xÎ Rng(Mbrs)  EsElemento(x) Jorge Baralt-Torrijos

  15. Df. Elems • Elems =a Rng(Mbrs)Elems =sel universo de elementos Jorge Baralt-Torrijos

  16. Ts. Elems • xÎ Elems Û EsElemento(x) • EsClase(Elems) • EsParte(Elems)(x)  EsClase(x) • Dom(Mbrs)Í Elems • Union(Y)(X) =UnEn(Elems)(Y)(X) • EsClase(Union(Y)(X)) • EsClase(Intsc(Y)(X)) • EsClase(Dif(X)(Elems)) • Dif(Elems)(X) = 0Z Jorge Baralt-Torrijos

  17. Df. Cmp • Cmp(X)=a Union(Rng(X))(Dom(X))Cmp(X)=sel campo de X Jorge Baralt-Torrijos

  18. Ts. Cmp • Cmp(X) = Cmp(Nucleo(X)) Jorge Baralt-Torrijos

  19. Axioma de Herencia de Elementos Jorge Baralt-Torrijos

  20. Ax. de Herencia de Elementos • x Î a Þ EsElemento(x) Jorge Baralt-Torrijos

  21. Resumen de Axiomas (1) • 1. Extensión (Op. 2) • 2. Existencia (Op. 2) • 3. Diferencia • 4. Apareamiento (Op. 2) • 5. Producto Cartesiano • 6. Rotación • 7. Transposición • 8. Dominio Jorge Baralt-Torrijos

  22. Resumen de Axiomas (2) • 9. Reemplazo • 10. Membresía • 11. Clausura de Apareamiento • 12. Herencia de Elementos Jorge Baralt-Torrijos

  23. Ts. Herencia de Elementos • EsAgrupacion(x)Ù EsElemento(x) Þ EsClsX(x) • EsAgrupacion(x)Ù EsElemento(x) ÛEsConjunto(x) Ù EsAgrupacion(x) • EsElemento(x) Ù$a a Î xÛEsConjunto(x) Ù EsAgrupacion(x) • xÎ Dom(Mbrs) EsConjunto(x) Ù EsAgrupacion(x) Jorge Baralt-Torrijos

  24. Herencia de Elementos Minimales Agrupaciones Maximales Integrantes 0Z Elementos Clases Agregados Individuos Jorge Baralt-Torrijos

  25. Df. Cnjnts • Cnjnts =a Union(1Z)(Dom(Mbrs)) • Cnjnts =sel universo de conjuntos Jorge Baralt-Torrijos

  26. Ts. Cnjnts • EsClase(Cnjnts) • xÎ Cnjnts Û EsConjunto(x) Jorge Baralt-Torrijos

  27. Ts. de clases (1) • EsClase(Dom(X)) • EsClase(Rot(X)) • EsClase(Trp(X)) • EsClase(Inv(X)) • EsClase(Rng(X)) • EsClase(Nucleo(X)) Jorge Baralt-Torrijos

  28. Ts. de clases (2) • EsClase(RstrP(x)(X)) • EsClase(RstrS(x)(X)) • EsClase(Rstr(x)(X)) • EsClase(Img(Y)(x)) • EsUnvc(a)(X) Þ EsElemento(Img(X)(a)) • EsClase(ImgP(Y)(x)) • EsClase(PImg(Y)(x)) • EsClase(PImgP(Y)(x)) Jorge Baralt-Torrijos

  29. Teorema General de Clases Jorge Baralt-Torrijos

  30. Df. PtC • PtC(1)(x)=a Dom(PrC(x)(x))PtC(Suc(Suc(n)))(x)=a PrC(x)(PtC(Suc(n))(x))PtC(Suc(n))(x)=sla potencia cartesiana Suc(n) de x Jorge Baralt-Torrijos

  31. Ts. PtC • EsClase(PtC(Suc(n))(X)) Jorge Baralt-Torrijos

  32. Df. Cmpl • Cmpl(Suc(n))(X) =aDif(X)(PtC(Suc(n))(Elems))Cmpl(Suc(n))(X) =sel complemento de la potencia cartesiana Suc(n) de X Jorge Baralt-Torrijos

  33. Ts. Cmpl • EsClase(Cmpl(Suc(n))(X)) • EsClase(Cmpl(1)(X)) Jorge Baralt-Torrijos

  34. Df. {<x1,x2,…,xn>|j(xn) …(x2)(x1)} • {<x1,x2,…,xn> |j(xn)…(x2)(x1)} =a{x |$x1$x2 … $xn (x = <x1,x2,…,xn> Ù j(xn)…(x2)(x1))}{<x1,x2,…,xn> |j(xn)…(x2)(x1)} =sel agregado de políadas de adicidad n que satisfacenj Jorge Baralt-Torrijos

  35. Ts. de clases (1) • Mbrs = {<a1,a2> | a2 Î a1} • Inv(Mbrs) = {<a1,a2> | a1 Î a2} • PrC(PtC(m1)(Elems))(Mbrs) = {<a1,a2,<b1,b2,…,bm1 >> | a2 Î a1} • Rot(PrC(PtC(m1)(Elems))(Mbrs)) = {<b1,b2,…,bm1,a1,a2 > | a2 Î a1} • X = {<a1,a2,…,an> |j(an)…(a2)(a1)} ÞPrC(Elems)(X) = {<a1,a2,…,an,b> |j(an)…(a2)(a1)} ÙRot(PrC(Elems)(X)) = {<b,<a1,a2,…,an-1>,an> |j(an)…(a2)(a1)} ÙTrp(Rot(PrC(Elems)(X))) = {<a1,a2,…,an-1,b,an> |j(an)…(a2)(a1)} Jorge Baralt-Torrijos

  36. Ts. de clases (2) • X = {<a1,a2,…,an> |j(an)…(a2)(a1)} ÙY = {<a1,a2,…,an> |y(an)…(a2)(a1)} ÞIntsc(Y)(X) = {<a1,a2,…,an> |j(an)…(a2)(a1) Ù y (an)…(a2)(a1)} Ù Union(Y)(X) = {<a1,a2,…,an> |j(an)…(a2)(a1) Úy (an)…(a2)(a1)} ÙDif(X)(PtC(Suc(n))(Elems)) ={<a1,a2,…,an> | ¬j(an)…(a2)(a1)} ÙDom(X) = {<a1,a2,…,an-1> | $anj(an)…(a2)(a1)} Jorge Baralt-Torrijos

  37. Ts. de clases (3) • X = {a1 | a1 Î X} • PrC(Elems)(X) = {<a1,a2> | a1 Î X} • PrC(X)(Elems) = {<a1,a2> | a2 Î X} Jorge Baralt-Torrijos

  38. Df. IdE • IdE = x=a EsAgregado(x) Ùy (y  x  $a$b (y = ParOrd(b)(a) Ù a = b) IdE=sla identidad de elementos Jorge Baralt-Torrijos

  39. Ts. IdE (1) • Mbrs = {<a1,a2> | a2Î a1} • PrC(Elems)(Mbrs) = {<a1,a2,a3> | a2Î a1} • Rot(PrC(Elems)(Mbrs)) = {<a1,a2,a3> | a3Î a2} • Rot(Rot(PrC(Elems)(Mbrs))) = {<a1,a2,a3> | a1Î a3} • Inv(Mbrs) = {<a1,a2> | a1Î a2} • PrC(Elems)(Inv(Mbrs)) = {<a1,a2,a3> | a1Î a2} • Rot(PrC(Elems)(Inv(Mbrs))) = {<a1,a2,a3> | a2Î a3} Jorge Baralt-Torrijos

  40. Ts. IdE (2) • Dif(Rot(PrC(Elems)(Inv(Mbrs))))(Rot(Rot(PrC(Elems)(Mbrs))))={<a1,a2,a3> | a1Î a3 Ù a2Ï a3} • Dom(Dif(Rot(PrC(Elems)(Inv(Mbrs))))(Rot(Rot(PrC(Elems)(Mbrs)))))= {<a1,a2> |$a3 (a1Î a3 Ù a2Ï a3)} • Cmpl(2)(Dom(Dif(Rot(PrC(Elems)(Inv(Mbrs))))(Rot(Rot(PrC(Elems)(Mbrs))))))= {<a1,a2> |"a3 (a1 Î a3 Þa2Î a3)} • Cmpl(2)(Dom(Dif(Rot(PrC(Elems)(Inv(Mbrs))))(Rot(Rot(PrC(Elems)(Mbrs))))))= {<a1,a2> | a1 = a2} Jorge Baralt-Torrijos

  41. Ts. IdE (3) • IdE = Cmpl(2)(Dom(Dif(Rot(PrC(Elems)(Inv(Mbrs)))) (Rot(Rot(PrC(Elems)(Mbrs)))) )) • $x IdE = x • EsClase(IdE) • EsUnvc(x)(IdE) Jorge Baralt-Torrijos

  42. Ts. IdE (4) • Img(IdE)(x) = {a | aÎ x} • Img(IdE)(X) = X • EsParte(IdE)(x) Þ EsClase(x) • EsParte(IdE)(x) Þ EsUnvc(y)(x) • EsParte(IdE)(RstrP(x)(IdE)) • EsClase(RstrP(x)(IdE)) • EsUnvc(y)(RstrP(x)(IdE)) Jorge Baralt-Torrijos

  43. Ts. IdE (5) • Img(RstrP(x)(IdE))(y) = {a | aÎ x Ù aÎ y} • EsElemento(Img(RstrP(x)(IdE))(a)) • EsElemento({b | bÎ x Ù bÎ a}) • EsElemento(Intsc(a)(x)) • EsParte(a)(x) Þ Intsc(a)(x) = x • EsParte(a)(x) Þ EsElemento(x) • EsParte(a)(x) Þ EsConjunto(x) Jorge Baralt-Torrijos

  44. TG. de clases • $x (EsAgregado(x) Ù "y (y Î x Û$a1$a2…$an (y = <a1,a2,…,an> Ùj(an)…(a2)(a1) ) ) ) • EsClase({<a1,a2,…,an> |j(an)…(a2)(a1)}) • EsClase({a |j(a)}) • EsClase({x | EsElemento(x) Ùj(x)}) • EsClase({x | x Î Elems Ùj(x)}) Jorge Baralt-Torrijos

  45. Teoremas de Conjuntos Jorge Baralt-Torrijos

  46. Ts. de Reemplazo (1) • Nucleo(a) = {<a1,a2> | <a1,a2>Î a} • PrC(Elems)(Nucleo(a)) = {<a1,a2,a3> | <a1,a2> Î a} • IdE = {<a1,a2> | a1 = a2} • PrC(Elems)(IdE) = {<a1,a2,a3> | a1 = a2} • Rot(PrC(Elems)(IdE)) = {<a1,a2,a3> | a2 = a3} • Rot(Rot(PrC(Elems)(IdE))) = {<a1,a2,a3> | a3 = a1} • Intsc(Rot(Rot(PrC(Elems)(IdE)))) (PrC(Elems)(Nucleo(a))) = {<a1,a2,a3> | <a1,a2> Î a Ùa3 = a1} Jorge Baralt-Torrijos

  47. Ts. de Reemplazo (2) • x = Intsc(Rot(Rot(PrC(Elems)(IdE)))) (PrC(Elems)(Nucleo(a))) Þ x = {<a1,a2,a1> | <a1,a2> Î a} ÙEsClase(x) ÙEsFuncion(x) ÙEsUnvc(y)(x) Ù Img(x)(a) = Dom(a) Ù EsElemento(Img(x)(a)) ÙEsConjunto(Dom(a)) Jorge Baralt-Torrijos

  48. Ts. de Reemplazo (3) • Nucleo(a) = {<a1,a2> | <a1,a2>Î a} • PtC(2)(Nucleo(a)) ={<a1,a2,<a3,a4>> | <a1,a2> Î a Ù <a3,a4> Î a } • Intsc(IdE)(PtC(2)(Nucleo(a))) ={<a1,a2,<a1,a2>> | <a1,a2> Î a} • Trp(Intsc(IdE)(PtC(2)(Nucleo(a)))) ={<a1,a2,<a2,a1>> | <a1,a2> Î a} Jorge Baralt-Torrijos

  49. Ts. de Reemplazo (4) • x = Trp(Intsc(IdE)(PtC(2)(Nucleo(a))))Þ x = {<a1,a2,<a2,a1>> | <a1,a2> Î a} ÙEsClase(x) ÙEsFuncion(x) ÙEsUnvc(y)(x) Ù Img(x)(a) = Inv(a) Ù EsElemento(Img(x)(a)) ÙEsConjunto(Inv(a)) Jorge Baralt-Torrijos

  50. Ts. de Reemplazo (5) • EsConjunto(Rng(a)) • EsConjunto(RstrI(x)(a)) • EsConjunto(Img(a)(x)) Jorge Baralt-Torrijos

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