Analyse des données

1. Analyse des données

2. Plan • Lien entre les statistiques et l’analyse des données • Propagation des erreurs • Ajustement de fonctions

3. Échantillon vs population • Une mesure échantillonne une population • La distribution de l’échantillon approxime celle de la population • La précision sur les estimations augmente avec la taille de l’échantillon N

4. Exemple de comptage

5. n = 100

6. n = 1000

7. n = 1 000 000

8. Précision sur la moyenne • L’estimation de la moyenne s’affine avec N Population Échantillon

9. Erreur sur une variable dépendante

10. Erreur sur une variable dépendante

11. Erreur sur une variable dépendante

12. Propagation d’erreurs

13. Propagation d’erreurs

14. Propagation d’erreurs • x et y sont des variables indépendantes • Et Dx et Dy sont des erreurs indépendantes • Leurs effets s’additionnent quadratiquement

15. Propagation d’erreur pour des incertitudes indépendantes

16. Propagation d’erreurs (sans corrélations)

17. Moyenne pondérée • Plusieurs mesures de x (x1, x2, ... xi,, ... xn) • Différentes précisions (d1, d2, ... di,, ... dn) • On cherche la meilleure évaluation de la moyenne µ • Les mesures précises doivent contribuer davantage

18. Moyenne pondérée Si tous les si sont égaux,

19. Ajustement de courbes • Soit f(x) une fonction physique • On fait une mesure de f(x) en x = x1 • On cherche la probabilité que la mesure soit bonne

22. La probabilité totale est

23. La valeur de P ou de c2 nous dit si les mesures représentent bien la théorie

24. Ajustement • En général, la situation est inversée • On ne connaît pas f(x) • Mais on connaît (ou on essaye) une forme • droite • polynôme • fonction arbitraire

25. Ajustement • On cherche les ai qui maximisent P • Vraisemblance maximale • Maximum likelihood • Ou qui minimisent c2 • Moindres carrés

26. Régression linéaire • On veut passer la meilleure droite à travers n points expérimentaux

27. Régression linéaire • On cherche a et b qui minimisent c2 • 2 équations, 2 inconnus (a et b)

28. Régression linéaire

30. Incertitudes égales(votre calculatrice)

31. Régression linéaire • 5 mesures • f(x) = 3x + 7 • a=7 b=3 c2 = 10,1 • a = 5,9 b = 2,9 c2min = 5,9

32. Contours du c2

33. Incertitude sur les paramètres • a et b dépendent des yi • saetsbdépendent des si • On applique la règle de propagation

34. Incertitude sur les paramètres

35. Incertitude et c2

36. Incertitude et c2 • La régression linéaire trouve le minimum du c2 • Un écart-type sur les paramètres correspond à une augmentation de 1 du c2. Pourquoi ? • Les courbes de niveau indiquent la corrélation entre les paramètres

37. Incertitude et c2 Gaussienne d’écart-type = 1 L’incertitude représente une variation de 1 du c2

38. Corrélation linéaire • On peut toujours passer une droite par des points • Mais ces points peuvent-ils être décrits par une droite ? • Le coefficient de corrélation linéairer nous donne la réponse

39. b = 2,7 b’ = 0,33 r = sqrt(bb’) = 0,95 b = 0,29 b’ = 0,33 r = sqrt(bb’) = 0,31 Corrélation linéaire

40. Élimination de données suspectesCritère de Chauvenet (pp. 154-156) • Soit 5 mesures : 38 35 39 39 34 18 • Faut-il rejeter la dernière valeur ? • Si on peut expliquer notre erreur, oui. • Sinon, il faut réfléchir • <x> = 34 s=8 • Si on enlève, on a <x> = 37 • La valeur de 18 s’écarte de 2s de la moyenne

41. Ceci n’est jamais impossible et devrait se produire ~ 1 fois sur 20 • Mais on n’a que 6 données • On attend donc ~ 0,3 données de ce type et on l’écarte • Critère de Chauvenet • On écarte si

42. Attention à l’auto-censure • Expérience de Millikan • e = 1,592 × 10-19 C • e = 1,602 × 10-19 C • Temps de vie du muon