Méthode du Simplex (Dantzig)

1. Méthode du Simplex (Dantzig) • La forme standard • A différencier de : • La forme canonique • Inégalités ( ≤ ; ≥ ) • Recherche de Maximum pour ≤ et Minimum pour ≥ • La forme mixte • Egalités en plus (=) • Recherche de Maximum et de Minimum • Transformation des formes canoniques et mixte : • Tout doit être sous forme d’égalités • Il y a des règles de transformation

2. Méthode du Simplex (Dantzig) • Règles de transformation • Inégalités ≤ • Exemple : x1 + x2≤ 6 • Apparition d’une variable d’écart (VE) supposée ≥0 • Mesure pour chaque variable de base (qte de produits) de l’écart entre les disponibilités et les consommationsprévues (x1 et x2) dans notre plan (Ouf!) • Application à l’exemple : x1 + x2+e3 = 6

3. Méthode du Simplex (Dantzig) • Règles de transformation • Inégalités ≥ • Exemple : x1 + x2≥ 6 • Apparition d’une variable d’écart (VE) supposée ≥0 • Et d’une variable artificielle (VA) de même signe que le second membre (ici + 6) • Son rôle : rattraper la condition impossible «e3 = - 6» puisque e3 est supposée ≥0 ! • Application à l’exemple : x1 + x2-e3+ e4= 6 • La solution initiale recherchée comprendra : • 3 variables Hors Base : x1=0 ; x2=0 ; e3=0 • 1 variable dans la Base : e4=6

4. Méthode du Simplex (Dantzig) • Règles de transformation • Egalités = • Exemple : x1 + x2=- 6 • Une unique variable artificielle (VA) de même signe que le second membre (ici -6) • Application à l’exemple : x1 + x2-e3=- 6 • La solution initiale recherchée comprendra : • 2 variables HB : x1=0 ;x2=0 • 1 variable B : e3= - 6

5. Méthode du Simplex (Dantzig) • Obtention de la fonction économique Γ • Chaque VE => 0.VE (Recherche de Max ou Min) • Chaque VA => ± M . VA • +M.VA si recherche d’un minimum • - M.VA si recherche d’un maximum • M : très grand positif (Hors Base) • > Donne une VA nulle à la solution finale (non prise en compte) • Remarque : • Les VE issues de contraintes = ou ≥ sont HB

6. Critères de Dantzig • Premier critère : la Ve • Recherche de minimum • Variable entrante = HB au plus petitcoeff strictement négatif dans Γ • Complément : sans coeff <0 mais un nul : elle est Ve • Recherche de maximum • Variable entrante = HB au plus grandcoeffstrictement positif dans Γ • Complément : sans coeff >0 mais un nul : elle est Ve • Remarque : à la main, exprimer Γ en fonction des variables HB (coeffs comprenant des M)

7. Critères de Dantzig • Deuxième critère : la Vs • Recherche de minimum ou de maximum • R’ = R/Ve • Ve = Var entrante trouvée précédemment • R = Valeur du second membre de chaque variable B • Vs = plus petite valeur positive dans R’ • Correspond au coefficient le plus mineur parmi les variables B après intégration de la Ve

8. Critères de Dantzig • Complément sur les règles • Si un coeff nul apparait dans R (disparition d’une var B) • = ε petit >0 • Donc R’ = ε/aijaij : coeff appartenant à la Ve • SSI aij > 0 • Si aucun terme de R’ n’est > 0 mais qu’il en existe un nul • Il est pris en compte • Appelé dégénérescence du problème (plusieurs bases admissibles peuvent avoir un même point extrême) • Si tous les coefficients de R’ sont strictement négatifs • L’algorithme est fini : la zone admissible des solutions (ZAS) n’est pas bornée !