DEĞİŞKENLER ARASINDAKİ GECİKMELİ İLİŞKİLER: Dağıtılmış Gecikme ve Otoregresiv Modeller

1. DEĞİŞKENLER ARASINDAKİ GECİKMELİ İLİŞKİLER: Dağıtılmış Gecikme ve Otoregresiv Modeller

2. Zaman serisi modellerinde, bağımlı değişken Y’nin t zamanındaki değerleri, bağımsız X değişkenlerinin t zamanındaki cari değerleri Xt, daha önceki dönemlerdeki gecikmeli değerleri Xt-1, Xt-2, ……. ye bağlı olabilir. Dağıtılmış Gecikme Modeli

3. Bağımlı değişkeninin (Y) geçmiş dönemlere (genellikle geçmiş yıllara) ait değerleri Yt-1, Yt-2, … yi içeriyorsa Otoregresiv Model (Dinamik Model)

4. Statik Model Yt = b0 + b1Xt + ut, (t=1,2,…,n.) “Statik Model”,Y ve X arasında aynı dönemde yani t döneminde ortaya çıkan ilişkiden gelmektedir. “Statik Model”, t zamanında X’te meydana gelen değişikliğin yine aynı dönemde Y’de meydana getireceği etkiyi ortaya koymaktadır. DYt = b1 DXt

5. Gecikme Kavramı Bağımlı değişkeninin (Y) t zamanındaki değeri, bağımsız değişkenlerin geçmiş zaman dilimlerindeki (t-1,t-2,…gibi) değeri ile tayin edilebilir. Y değişkeni, X’e belli bir zaman boşluğundan sonra cevap verdiğinde bu zaman boşluğuna GECİKME, ilgili modele de gecikmeli ilişki denmektedir.

6. Örnek: Tüketim Fonksiyonu Bir kişiye 1991’de 16 milyar çıksın (Y:tüketim X: Gelir) Eski yaşam tarzından yeni yaşam tarzına geçiş için bir boşluk vardır. Kişi gelir artışının tamamını hemen o yıl harcamaz, belli bir zaman sonra bu paranın tamamını harcamış olur. ½=0.5 İlk yılda 16 milyarın yarısı İkinci yılda 6/16=0.375 Üçüncü yılda 2/16=0.125

7. Dağıtılmış gecikmeli tüketim fonksiyon: 16 milyar üç döneme yayılır. Bu fonksiyona genel olarak dağıtılmış gecikme modelleri denir. Bir sebebin(gelir artışının) tüketime (Y) etkisi belli döneme (3 yıl) dağılmaktadır.

8. Sonlu Dağıtılmış Gecikme Modelleri Yt = a + b0Xt + b1Xt-1 + b2Xt-2 + ut, (t=1,2,…,n.) Genel Model; Yt = a + b0Xt + b1Xt-1 + b2Xt-2 + … + bkXt-k +ut, (t=1,2,…,n.) k-gecikmeli sonlu dağıtılmış gecikme modeli b0 Kısa dönem yada etki çarpanı b0+ b1 b0+ b1+b2   b0+ b1+b2 +…+ bk-1 Ara dönem çarpanları Sbi=b0+ b1+b2 +…+ bk Uzun dönem çarpanı ( ya da toplam veya dağıtılmış gecikme)  “standartlaştırılmış bi”

9. Uzun dönemde gelirdeki bir birimlik artış tüketimi bir birim arttırmaktadır. Yani tüketici uzun dönemde hiç tasarruf yapmamakta gelirdeki artışların tamamını tüketmektedir.

10. Gecikmenin Nedenleri • Psikolojik nedenler • Teknolojik nedenler • Kurumsal nedenler

11. DAĞITILMIŞ GECİKME MODELLERİNİN DOĞRUDAN BASİT EKKY İLE TAHMİNİ Sınırsız Gecikmeli Model Sonlu (Sınırlı) Gecikmeli Model

12. DAĞITILMIŞ GECİKME MODELLERİNİN DOĞRUDAN BASİT EKKY İLE TAHMİNİ EKKY İLE TAHMİNLENEBİLİR.

13. EKKY Uygulamanın Sakıncaları: • Gecikme sayısı k’nın maksimum değerinin önceden belli olmamasıdır. • Birbirini takip eden gecikmelerin sayısının çok olması ve gözlem sayısının az olması halinde serbestlik derecesinin küçülüp, istatistiksel test ve güven aralıklarının sağlıksız olması • Xt-1, Xt-2, Xt-3,… gecikmeleri arasında çoklu doğrusal bağlantı probleminin ortaya çıkmasıdır.

14. Dağıtılmış Gecikme Modelleri için Yöntemler • Almon Polinomial Gecikme Modeli • Koyck Modeli • Cagan’ın Uyumcu Beklenti Modeli • Nerlove Kısmi İyileştirme Modeli

15. Almon Polinomial Gecikme Modeli Almon, bi bilinmeyen parametrelerinin zamanla ikinci veya üçüncü derece eğrisi şeklinde değiştiğini varsayarak dağıtılmış gecikme modellerini tahmin etmiştir. Yt = a + b0Xt + b1Xt-1 + b2Xt-2 + … + bkXt-k +ut, (t=1,2,…,n.) (i=1,2,…,k.) Almon bi’nin i gecikme uzunluğunun uygun dereceden bir polinom şeklinde ifade edileceğini varsayar.

16. bi bi i i 7 7 3 3 1 1 2 2 bi = a0 + a1i + a2i2 bi = a0 + a1i + a2i2 + a3i3 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * bi = a0 + a1i + a2i2 bi = a0 + a1i + a2i2 bi = a0 + a1i + a2i2 + a3i3 bi = a0 + a1i + a2i2 + a3i3 Polinomial gecikme yapı

17. Genel olarak r’inci dereceden bir polinomial gecikme şöyle yazılabilir: bi = a0 + a1i + a2i2 + a3i3 + … + air Polinomun derecesi < Gecikme sayısı (r k)

18. Almon Polinomial Modeli Tahmin Aşamaları: 1.Adım: b’ler için belli bir polinom derecesi r ve uygun bir gecikme sayısı k seçilir. 2.Adım: r’nin derecesine göre polinom bi denkleminde yerine konur. Örneğin b’lerin ikinci dereceden parabol gecikmeli olduğunu farz edersek:

19. Almon Polinomial Gecikme Modeli bi = a0 + a1i + a2i2 Z0t Z1t Z2t

20. Örnek: Tüketim fonksiyonunda cari tüketimin (Yt), geçmiş tüketim seviyeleri Yt-1, Yt-2,… ; cari gelir Xt ve geçmiş gelir seviyeleri (Xt-1, Xt-2,…)’ne bağlıdır. 1976-1990 dönemi tüketim (Yt) ve gelir (Xt) verilerini kullanarak Almon tekniği ile dağıtılmış gecikme modelini tahmin ediniz.

21. Almon Polinomial Gecikme Modeli

22. Almon Polinomial Gecikme Modeli

23. Almon Polinomial Gecikme Modeli Almon Polinomial Gecikme Modeli

24. Almon Polinomial Gecikme Modeli

25. Almon Polinomial Gecikme Modeli

26. Almon Polinomial Gecikme Modeli Almon Polinomial Modeli Tahmin Aşamaları: 1.Adım: tüketim cari t yılı ve ondan sonraki b’ler için belli bir gecikme sayısı r seçilir. 2.Adım: r’nin derecesine göre polinom denkleminde yerine konur.

27. Almon Polinomial Gecikme Modeli

28. Almon Polinomial Gecikme Modeli Z0t=Xt+Xt-1+Xt-2 = 5+4+3=12 Z1t=Xt-1+2Xt-2 =11+2(7)=25

29. Almon Polinomial Gecikme Modeli Dependent Variable: Y Method: Least Squares Included observations: 13 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 3.489448 0.684390 5.098623 0.0006 Z0 -0.053152 0.231098 -0.229999 0.8232 Z1 0.673845 1.140014 0.591085 0.5690 Z2 -0.252952 0.575290 -0.439694 0.6705 R-squared 0.982376 Mean dependent var 14.30769 Adjusted R-squared 0.976501 S.D. dependent var 6.956827 S.E. of regression 1.066430 Akaike info criterion 3.214170 Sum squared resid 10.23546 Schwarz criterion 3.388001 Log likelihood -16.89211 F-statistic 167.2228 Durbin-Watson stat 1.028537 Prob(F-statistic) 0.000000 a0 a1 a2 bi = a0 + a1i + a2i2

30. Almon Polinomial Gecikme Modeli Orijinal bi katsayılarının tahmini için; Y=3.4894-0.05315Z0+0.6738Z1-0.2529Z2 a0 a1 a2 bi = a0 + a1i + a2i2

31. Almon Polinomial Gecikme Modeli Orijinal Dağıtılmış Gecikme Modeli;

32. Koyck Modeli  parametrelerine sınırlama koyan tekniklerden biri de Koyck tekniğidir. Koyck, sonsuz sayıda gecikme modelindeki  gecikme katsayılarının geometrik bir dizi şeklinde azaldığını kabul ederek gecikmeli modelini oluşturmuştur. Koyck bi’lerin geometrik olarak azaldığını varsayar: bk = b0lk, k=0,1,…. = Geometrik Gecikmeli Katsayılar l: Dağıtılmış gecikmenin azalma oranı 0 < l < 1 1-l: uyum hızı yada intibak hızı

33. Koyck Model Dağıtılmış gecikme modeli Koyck Modeli varsayımı ile şu şekilde yazılabilir: k=0 ,1 ve 2 değerleri verilerek aşağıdaki sonuçlar elde edilir. bk = b0lk, modelinde b lar yerine eşitleri konursa Koyck modeli elde edilir.

34. Koyck Model Koyck Model Dönüşümü Koyck modeli tekrar yazılır. (1) No lu model bir dönem geciktirilerek yazılır: (2) no lu modelin her iki tarafı  ile çarpılır: (1 ) no lu model (3) no lu modelden çıkarılır:

35. Koyck Model

36. Koyck Model Koyck Modelinin Özellikleri: Koyck dönüşümü ile otoregresiv model tahmin edilmektedir. Koyck modelinin çözümü kolay olmakla beraber önemli bir sakıncası vardır: Yt-1 bağımsız değişkeni stokastiktir, halbuki EKKY varsayımlarından biri de bağımsız değişkenin stokastik olmamasıdır. Dönüşümlü Koyck modelinin ikinci sakınca da; vt hata teriminin otokorelasyonlu olmasıdır.

37. Koyck Model Koyck Modelinin Özellikleri: (5) nolu otoregresiv modelinde Yt-1 değişkeninin varlığı Durbin-Watson d otokorelasyon testinin yapılmasını önlediğinden otokorelasyon için ayrı bir test olan Durbin’s h testi uygulanmaktadır. Koyck Modelinde ortalama gecikmesi = l/(1-l) Koyck model: Medyan Gecikme= -log2/logl Medyan Gecikme, X’deki bir birimlik değişmenin Y’de yapacağı toplam değişmenin yarısının kaç dönem sonra gerçekleşeceğini göstermektedir.

38. Using Econometrics, A.H.Studenmund, p.415-416 COt = f(YDt, YDt-1, YDt-2, etc.) + ut COt = a0 + b0YDt + lCOt-1+ ut Yukarıdaki denklemlerden birincisi dağıtılmış gecikmeli model, ikincisi dönüşümlü Koyck modelidir. Buna göre aşağıda verilen dönüşümlü Koyck modelinden hareketledağıtılmış gecikme modelini tahmin ediniz. Aşağıdaki eşitlik yalnızca toplam tüketim fonksiyonuna uymanın yanında Milton Frieadman tarafından önerilen daimi gelir hipotezidir. 1964-1994 COt= -38.11+ 0.52 YDt+ 0.46 COt-1 tc4.44 3.74 Düz-R2=0.998

39. COt = a0 + b0YDt + lCOt-1+ ut 1964-1994 COt= -38.11+ 0.52 YDt+ 0.46 COt-1 tc4.44 3.74 Düz-R2=0.998 COt = a + b0YDt + b1YDt-1 + b2YDt-2 + … + bkYDt-k a = -70.57 a0 = a (1-l) -38.11= a (1- 0.46) bk = b0lk k=0 b0= 0.52 ; l= 0.46 = 0.24 k=1 b1 = b0l1 =(0.52)(0.46)1 b2= b0l2 k=2 = 0.11 =(0.52)(0.46)2 COt = -70.57 + 0.52 YDt + 0.24 YDt-1 + 0.11 YDt-2 + 0.05 YDt-3 + …

40. Koyck Model PPCEt = -841.86 + 0.71 PDPIt + 0.2954 PPCEt-1 t (-2.41) (5.46) (2.37) R2=0.9912 d=1.014 PPCE: kişi başına tüketim harcaması PDPI: kişi başına gelir Yukarıda verilen dönüşümlü Koyck modelinden hareketle uyum hızını elde ediniz.

41. Koyck Model PPCEt = -841.86 + 0.71 PDPIt + 0.2954 PPCEt-1 Ortalama gecikme;Y’nin X’e bağlılığının zaman içindeki hızını verir. Koyck modelinde ortalama gecikme = l/(1-l) = 0.2954 / (1-0.2954) =0.4192 1yıl 12 ay 0.4192 yıl x Kişi başına tüketim harcamasındaki değişmenin %30’u yaklaşık 5 ay içerisinde meydana gelmektedir.

42. CAGAN’IN Uyumcu Beklenti Modeli Yt = b0 + b1 Xt* + ut Bağımlı değişken Yt sadece X bağımsız değişkeninin gerçekleşen değerlerine değil, t dönemindeki beklenen değerleri Xt* a bağlıdır. 1,X* deki bir birimlik değişmenin Y’de meydana getireceği ortalama etkiyi ölçer. UBM ile ekonometrik modellerde gelecekteki beklentiler dikkate alınabilir.

43. Uyumcu beklenti modelinin elde edilişi: Beklenti değişkenleri Xt*lar doğrudan gözlenemediğinden, bu değişken hakkındaki beklentiler için varsayım şu şekilde yapılmaktadır: Uyumcu beklenti ( 0 g 1) Bugünün beklentisindeki değişme Bu varsayımla gerçekleşen veya beklenen fiyatlar, gerçekleşen ve beklenen gelirler arasındaki fark bir uyum işlemi ile kapatılmaya çalışılmaktadır. Burada Yt = Bir maldan talep edilen miktar Xt*= Beklenen fiyat seviyesi

44. CAGAN’IN Uyumcu Beklenti Modeli Bugünün beklentileri Xt*, kısmen eski beklentiler Xt-1*, kısmen de bugünkü değer Xt’nin ışığında belirlenir. g: beklenti katsayısı g =1 g =0 Beklenen fiyatlar ile geçmiş yılların beklenen fiyatları veya gelirleri aynı kalmakta, değişmemektedir. Beklentiler % 100 gerçekleşmiştir.

45. CAGAN’IN Uyumcu Beklenti Modeli (2) Nolu eşitlik (1) nolu modelde X*t de yerine konursa Yt = b0 + b1 Xt* + ut (1) elde edilir.

46. CAGAN’IN Uyumcu Beklenti Modeli Yt = b0 + b1 Xt* + ut (1) (1) No lu model önce bir dönem geciktirilip daha sonra da her iki tarafı (1-g) ile çarpılır; şeklinde düzenlenir.

47. CAGAN’IN Uyumcu Beklenti Modeli (3) nolu modelden (4) nolu model çıkarılırsa; -

48. Kısa Dönem Modeli (5 nolu modeldeki) β1 (uyumcu beklenti modeli); X’ deki bir birimlik değişmenin Y’de meydana getireceği ortalama etkiyi ölçer. (kısa dönem modeli) Yt = b0 + b1 Xt* + ut (1) 1 ve 5 numaralı model karşılaştırılır: (1 nolu modeldeki) β1; uzun dönem etkiyi göstermektedir.

49. Uyumcu Beklenti Modelinin Özellikleri: Beklenti modeli otoregresiv bir modeldir yani Yt-1 bağımsız değişkenini içermektedir. Cagan’ın beklenti modelinin hata terimi vt otokorelasyonludur.

50. Uygulama: 1946-1972 dönemi dört aylık verilere dayanarak ABD için Ct = a1 + a2Xt + a3Ct-1 + ut modeli aşağıdaki gibi tahmin edilmiştir. Ct : Toplam Tüketim Xt : Toplam Gelir ilişkisinden yola çıkarak elde edilen kısa dönem modelinden uzun dönem modelini elde ediniz.