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CONJUNTOS NUMÉRICOS e TEORIA DOS NÚMEROS

CONJUNTOS NUMÉRICOS e TEORIA DOS NÚMEROS. NÚMEROS NATURAIS. 1. “São os números que usamos quando precisamos contar coisas.”. 2. 3. 4. São todos os números inteiros não-negativos . N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...} N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}.

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CONJUNTOS NUMÉRICOS e TEORIA DOS NÚMEROS

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Presentation Transcript

  1. CONJUNTOS NUMÉRICOS e TEORIA DOS NÚMEROS

  2. NÚMEROS NATURAIS 1 “São os números que usamos quando precisamos contar coisas.” 2 3 4

  3. São todos os números inteiros não-negativos. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...} N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}

  4. NÚMEROS INTEIROS Como efetuar a subtração de 3 – 4? Pelos Naturais é impossível!

  5. “São todos os números que pertencem aos Naturais acrescido dos seus respectivos opostos.” Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

  6. SUBCONJUNTOS DOS INTEIROS • Inteiros não Negativos (Z+): Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} • Inteiros não Positivos (Z-): Z- = {..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0}

  7. SUBCONJUNTOS DOS INTEIROS • Inteiros não negativos e não nulos (Z*+): Z*+ = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} • Inteiros não positivos e não nulos (Z*-): Z*- = {..., -6, -5, -4, -3, -2, -1}

  8. NÚMEROSRACIONAIS Como dividir um osso para dois cachorros? Os Inteiros não permitem a resolver este problema!

  9. “Para resolver isso foram criados os númerosfracionários.” • Q = Z  { números fracionários } • Q = {a/b | a, b  Z e b  0}

  10. SUBCONJUNTOS DOS RACIONAIS • Racionais não Negativos e não nulos (Q*+): Q*+ = {Z*+}  {Todos os números fracionários não negativos} • Racionais não Positivos e não nulos (Q*-): Q*- = {Z*-}  {Todos os números fracionários não Positivos}

  11. SUBCONJUNTOS DOS RACIONAIS • Racionais não Negativos (R+): Q+ = {Z+}  {Todos os números fracionários não negativos} • Racionais não Positivos (Q-): Q- = {Z-}  {Todos os números fracionários não Positivos}

  12. NÚMEROSIRRACIONAIS Como descrever números que não são inteiros nem fracionários?

  13. O "IRRACIONAIS“ é formado por todos os números que NÃO podem ser representados por uma fração de números inteiros. I = {Todos os números que Q não consegue descrever}

  14. NÚMEROSREAIS “Descreve todo o conjunto dos números racionais e irracionais” R = { Q }  { I }

  15. R Números Reais Q Números Racionais ..., -3/2, -1, -1/2, 0, 1/2, 1, 3/2, ... I Números Irracionais N Números naturais 0, 1, 2, 3, 4... Z Números Inteiros ...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...

  16. NÚMEROSIMAGINÁRIOS “Descreve todo o conjunto dos números reais e números complexos”

  17. C Números Imaginários R Números Reais Q Números Racionais ..., -3/2, -1, -1/2, 0, 1/2, 1, 3/2, ... I Números Irracionais N Números naturais 0, 1, 2, 3, 4... Z Números Inteiros ...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...

  18. Axiomas “Um axioma é uma  sentença ou proposição que não é provada ou demonstrada, é considerada como óbvia, um consenso inicial necessário para a construção ou aceitação de uma teoria!”

  19. Axiomas para os números Reais Toda e qualquer subtração, na verdade, é uma soma, ou seja: a – b = a + (– b) Toda e qualquer divisão, na verdade, é uma multiplicação, ou seja: = a ÷ b = a· ) ( a 1 b b

  20. Axiomas para os números Reais Lei de Fechamento: A soma a+b e o produto a·b de dois números reais são únicos. Lei Comutativa: a + b = b + a a·b = b·a “A ordem na adição e na multiplicação é irrelevante!”

  21. Axiomas para os números Reais Lei Comutativa: a + (b + c) = (a + b) + c = (a + c ) + b = a + b +c (a·b)·c = a·(b·c) = b·(a·c) = a·b·c “A ordem em adições e multiplicações sucessivas é irrelevante!”

  22. Axiomas para os números Reais Lei Distributiva: a·(b + c) = a·b + a·c b·(a + c) = b·a + b·c c·(a + b) = c·a + c·b “A multiplicação é distributiva em relação a adição!”

  23. Axiomas para os números Reais Lei de Identidade: Existe apenas um número real na qual a soma dele com outro número qualquer X é igual a X, ou seja: X + 0 = 0 + X = X Existe apenas um número real na qual a multiplicação dele com outro número qualquer x é igual a x, ou seja: 1·X = X·1 = X

  24. Axiomas para os números Reais Lei de Inverso: Para qualquer número Real X existe um Real – X, tal que: X + (–X) = (–X) + X = 0 Para qualquer número Real X ≠ 0, existe um número real X-1 tal que: X·(X-1) = (X-1)·X = 1

  25. Axiomas para os números Reais Lei do fator zero: Para qualquer número Real X: X·0 = 0 Se X e Y são dois números reais tal que X·Y = 0, então obrigatoriamente X = 0 ou Y = 0.

  26. Axiomas para os números Reais Lei do número negativo: (–1)·a = – a (–1)·(–a) = – (–a) = a (–a)·(–b) = a·b –ab = (–a)·b = a·(–b) = – (–a)·(–b)

  27. Axiomas para os números Reais Lei dos Quocientes:

  28. Axiomas para os números Reais Lei do número absoluto: Qualquer número Real tem um número absoluto correspondente, tal que: Se a < 0, ou seja, o negativo de a, | – a | = a Se a > 0, ou seja, o positivo de a, | a | = a | – a | = | a | = a

  29. Axiomas para os números Reais Lei da ordem das operações: “Em uma expressão, uma soma ou uma subtração só deve ser realizada após todas as operações de multiplicação e divisão já terem sido efetuadas, ao menos que elas apareçam isoladas por ( ), [ ] ou { }”.

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