WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEŃ DLA WSTĘPNIE WYGIĘTEGO PRĘTA ŚCISKANEGO

1. LIGHTWEIGHT STRUCTURES in CIVIL ENGINEERINGINTERNATIONAL SEMINAR of IASS POLISH CHAPTEROrganized by Polish Chapter ofInternational Association for Shell and Spatial StructuresWarsaw-Częstochowa, 3 December, 2004 J.K. ZAMOROWSKI Wydział Budownictwa, Politechnika Śląska w Gliwicach WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEŃ DLA WSTĘPNIE WYGIĘTEGO PRĘTA ŚCISKANEGO Z WĘZŁAMI PODATNYMI NA OBRÓT

2. W rozwiązaniu przyrostowym, wyprowadzono wzory transformacyjne metody przemieszczeń dla wstępnie wygiętego pręta obciążonego jak na rys 1, o zmiennych, w kolejnych krokach przyrostowych, sztyw- nościachEJk na zginanie i GAk na ścinanie. Uwzględniono przy tym wpływ siły poprzecznej na giętną deformację pręta. Rys. 1

3. Założono, że ugięcie pręta jest sumą wstępnego wygięcia (y0), ugięcia od wpływu zginania (yM) i ugięcia wywołanego siłą poprzeczną (yV). Sumaryczne ugięcie w pierwszym kroku przyrostowym (1a) sumaryczna krzywizna (1b) przyrost momentu zginającego i siły poprzecznej (2) gdzie (2a)

4. Wprowadzając do (1b) wyrażenie na krzywiznę zginanego pręta w postaci (3a) oraz przyjmując kąt odkształcenia postaciowego (3b) gdzie po zróżniczkowaniu otrzymuje się równanie (4a) gdzie

5. Po uporządkowaniu uzyskano równanie (4b) w którym (4c) oraz (4d)

6. Dla k – tego kroku przyrostowego uzyskano – sumaryczny przyrost krzywizny (5a) – przyrost momentu zginającego i siły poprzecznej (5b) gdzie

7. oraz równanie osi odkształconej pręta (5c) w którym (5d) oraz (5e)

8. Funkcje wstępnych wygięć pręta, przyrostów sprężystych wygięć, przyrostów wewnętrznych momentów zginających oraz przyrostów obciążeń przyjmuje się w postaci nieskończonych szeregów trygonometrycznych (6a) gdzie n = 1, 2, 3... . Amplitudy przyrostów momentów zginających uzyskano z równania równowagi (6b) w postaci (6c)

9. Dla obciążenia równomiernie rozłożonego i momentami na końcach, w dowolnym kroku przyrostowym otrzymano - wyrażenie naamplitudę momentu zginającego od obciążenia zewnętrznego (6d) oraz wyrażenia na pochodną siły poprzecznej (7)

10. Podstawiając szeregi trygonometryczne do równań różniczkowych odkształconej osi pręta, uzyskano równanie dla pierwszego kroku przyrostowym (8) a stąd wyrażenie na dowolną amplitudę strzałki ugięcia (8a)

11. Analogicznie postępując, dla k - tego kroku przyrostowego otrzymano (8b) gdzie jest sumą amplitud przemieszczeń z poprzednich kroków przyrostowych.

12. Sumaryczne kąty obrotu przekrojów poprzecznych od wstępnych i sprężystych wygięć oblicza się, zgodnie z rys. 2, wg wzoru (9) Rys. 2

13. Dla przyrostu obciążenia równomiernie rozłożonego oraz przyrostu momentów Mi, Mj, otrzymuje się: - w pierwszym kroku przyrostowym (9a) - w k – tym kroku przyrostowym (9b)

14. Dla wstępnie wygiętego pręta obciążonego jak na rys 3. Rys. 3 przyrost sprężystego kąta obrotu w pierwszym kroku oblicza się wg wzoru (10)

15. Wprowadzając szeregi trygonometryczne wraz amplitudami otrzymuje się w pierwszym kroku przyrostowym wyrażenie na przyrost sprężys- tego kąta obrotu (10a) A stąd dla x = 0 oraz x = l (10b i c) gdzie (10d) (10e)

16. Analogicznie, w k – tym kroku przyrostowym uzyskano (11a) oraz dla x = 0 oraz x = l (11b i c) gdzie (11d) (11e)

17. Rys. 4. Zależność M -  w podatnym węźle przy obciążeniach przemiennych Przyrost kąta obrotu od wpływu podatnego połączenia określa się ze wzoru (12a) gdzie (12b)

18. Przyrost kąta obrotu w pręcie podatnie utwierdzonym w węźle i Rys. 5. (13a) (13b) (13c)

19. Przyrost kąta obrotu od wpływ przemieszczenia podpory o  Rys. 6. Pręt podatnie utwierdzony w węźle j (13d) Skąd (13e)

20. Rys. 6. Pręt podatnie utwierdzony w węźle j Reakcje w układzie aktualnym (osie x, y ) (13d)

21. Rys. 6. Pręt podatnie utwierdzony w węźle j Reakcje w układzie pierwotnym (osie xp, yp) (13e)

22. Przyrosty kątów obrotu w pręcie podatnie utwierdzonym w węzłach i oraz j Rys. 7. od wpływu przyrostów momentów w węzłach i oraz j (14a)

23. Rys. 7. Pręt podatnie utwierdzony w węzłach i oraz j Z przedstawionych zależności, po przekształceniach otrzymuje się (14b) gdzie np. (14c)

24. W przypadku przemieszczenia podpory w węźle j w pręcie obustronnie Rys. 8. podatnie utwierdzonym, zależności wyprowadzono z warunku, że (14d)

25. Z porównania kątów obrotu, uzyskuje się zależności (14e) gdzie (14f) (14g) oraz (14h)

26. Reakcje w układzie aktualnym i pierwotnym (14i) (14j)

27. Wpływ obciążenia równomiernie rozłożonego Rys. 9. Pręt obustronnie podatnie utwierdzony (15a)

28. (15b) (15c) (15d)

29. Wyprowadzone w referacie wzory mogą mieć szersze zastosowa- • nie. Poza wykorzystaniem ich do obliczania konstrukcji z połącze- • niami podatnymi na obrót, z uwagi na możliwość zmiany sztyw- • ności EJ oraz GA w kolejnych krokach przyrostowych, można je • stosować np.: • do obliczania konstrukcji wzmacnianych, w których w czasie • użytkowania zmieniają się przekrojeelementów, czy też • do obliczania konstrukcji z elementami, o zmieniających się cha- • rakterystykach przekroju pod wpływem obciążenia z uwagi na • niestateczność miejscową ścianek. • Można wówczas do komputerowego programu wprowadzić odpo- • wiednie procedury określające zmianę wartości EJ oraz GA. • Z kolei, wprowadzona we wzorach na reakcje podporowe zmiana • konfiguracji na zasadzie efektu P - , pozwala śledzić ścieżkę poł- • ożenia równowagi elementów, a tym samym stateczność ogólną • układu.

30. DZIĘKUJĘ ZA WYSŁUCHANIE REFERATU