t student para muestras simples JUAN JOSÉ HERNÁNDEZ OCAÑA

1. t studentpara muestras simplesJUAN JOSÉ HERNÁNDEZ OCAÑA Condiciones 1.-Si no se conoce la varianza de la población 2.- Si los datos siguen una distribución normal

2. Muestras simples Hay que considerar que tanto el estadístico Z como el estadístico t student para muestras simples, nos permite comparar una muestra con una población.

3. Estadístico t

4. Distribución t • Se considera que la distribución t tiene una mayor variabilidad que la distribución z debido a que en su análisis de datos se emplea la desviación estándar de la muestra y no la de la población ( en ésta encontramos una menor variabilidad en los datos) • El estadístico t , tiene dos variables aleatorias que son la media muestral y la desviación típica de la muestra que son independientes entre sí .

5. El valor de la desviación estándar depende del valor de n y por ello se tienen múltiples distribuciones para diferentes valores de n La curva t está totalmente definida en función del tamaño de la muestra (y por ende , de los grados de libertad ) Debido a ello es necesario “ajustar” empleando losgrados de libertad ( n -1) para determinar los valores para cada distribución diferente.

6. Distribución t • Hay que considerar que, conforme el tamaño de la muestra aumenta, la curva t se vuelve más semejante a la curva normal de la distribución z ( muestras mayores a 30) . • En el caso del estadístico z, la distribución de la muestra no depende del valor de n • Pero para el estadístico t , la distribución de la muestra, sí depende del valor de n

7. EJEMPLO • Sí consideramos el valor de alfa como 0.05 • Y una curva direccional , esto es, de una cola • Cuales son los valores criticos de z y t • Para las siguientes muestras ? • Considere que para buscar el valoren la tabla de t student se emplea • (gl)= n - 1

8. Distribución t student • Uso de tabla • Para el cálculo de los valores de t critico se debe considerar lo siguiente: • El valor critico t es el punto de corte de la región de rechazo de la distribución considerando los grados de libertad • Los grados de libertad se obtienen mediante n-1 esto es, el número del tamaño de la muestra menos uno. • En el caso de problemas que impliquen hipótesis unidireccionales deberemos emplear el apartado de área para una cola • En el caso de problemas que impliquen una hipótesis bidireccionales , deberemos emplear la tabla para el área de dos colas

9. Ejercicios USO DE TABLAS • 7.- Para una distribución de una muestra de 12 datos , obténgase el valor critico de t , en el caso de una curva de una cola ( hipótesis unidireccional) a cada una de las siguientes áreas bajo la curva • A.- Para un alfa de 0.025 ( el 2.5 %) • 2.2o • B.-Para un alfa de 0.05 ( 5%) • 1.79 • C.- Para un alfa de 0.01 ( 1% ) • 2.71 • Considerando una muestra de 12 datos, determine los valores para el caso de una hipótesis bidireccional, ( curva de dos colas) • 0.05 … • 2.20 • 0.01 …. • 3.106

10. Ejercicios • Sea X el salario por hora de cualquier psicólogo seleccionado al azar . Si los valores críticos de t fueran 2.624 , 2.492 y de 2.423 para un alfa de 0.01 . ¿ qué tan grande debería ser el tamaño de la muestra para una prueba de una cola? Considere la formula para calcular los grados de libertad. ( n-1) • Nos dan los valores críticos de t • Nos piden saber el tamaño de la muestra … n • Vemos en tabla el valor y consideramos el valor de gl • Ajustamos con ahora con gl + 1 • Para 2.624 …. gl es 14 , por lo que n es 15 • Para 2.494 …gl es 24 por lo que n es 25 • Para 2.423…gl es 40 por lo que n es 41

11. Criterios para prueba de Hipótesis • Rechazo Ho sí • tobt ≥ t critico

12. Ejercicios resueltos empleando estadístico t 1.- Se supone que una máquina vendedora automática proporciona 8oz de café. Para probar su funcionamiento correcto se toman 16 tazas de café como muestra. Se determina que la media de la muestra es de 7.5oz y el valor de la desviación estándar de la muestra es de 0.8oz . Pruébese la hipótesis nula de que la máquina está operando adecuadamente contra la hipótesis alternativa que afirma que no está funcionando adecuadamente. Use un nivel de significancia de 0.01 Determine la Hipótesis Nula Determine la Hipótesis Alternativa Cuáles serían sus conclusiones? Empleamos estadístico t ya que el número de la muestra es de 16 ( son 16 mediciones) y no se conoce la desviación de la población.

13. Ejercicios estadístico t student • 3.- La FDA está realizando una prueba para determinar si una nueva medicina tiene el indeseable efecto lateral de elevar la temperatura del cuerpo. Se sabe que la temperatura del cuerpo humano se distribuye normalmente con una media de 98.6 0F . Para probar su hipótesis la FDA administra la nueva medicina a nueve pacientes, se toman las temperaturas corporales en los mismos y se obtiene una media de 99 0 F , con una desviación estándar de 0.360 F de los datos . Debería permitirse a la compañía poner en venta la nueva medicina ? Emplee un alfa de 0.01 para la toma de decisiones

14. Un fabricante de baterías tomó una muestra de 13 baterías, de la producción diaria y las utilizó de manera continua hasta agotarlas ( los resultados se encuentran en la tabla adjunta) • Con un nivel de significancia de 0.05, ¿existe evidencia de que la vida media de las baterías es mayor a 400 horas • Utilizando la información anterior ¿ sería conveniente que el fabricante colocará anuncios de que las baterías duran más de 24 horas?

15. Usted es el gerente de un restaurante de comida rápida. Durante el año pasado, el tiempo promedio de espera en una ventanilla de servicio de un automóvil, fue de 3.7 minutos. El dueño de la franquicia le ayuda a establecer un nuevo proceso que pretende reducir el tiempo de espera. Usted selecciona una muestra aleatoria de 28 pedidos obteniendo una media muestral del tiempo de espera es de 3.57 minutos, con una desviación estándar muestral de 0.8 minutos. Utilizando un nivel de significancia de 0.05 ¿ existen evidencias de que la media poblacional del tiempo de espera es ahora menor a que 3.7 minutos?

16. | • Se registraron los pesos al nacimiento (en kg) de una muestra de 25 bebés hombres nacidos de madres que tomaron complemento vitamínico especial. Los resultados mostraron una media de 3.675 kg y una desviación estándar de los datos de 0.675 . Podría asegurar con un alfa de 0.05, qué los bebés cuyas madres habían tomado el vitamínico pesan más que 3.40 kg, que es la media poblacional?

17. Inferencia a partir de dos muestras Prueba de hipótesis

18. Se han empleado ejemplos que implicaron el uso de una muestra para hacer una inferencia acerca de una población Pruebas para determinar la diferencia entre dos medias muestrales En muchas ocasiones es muy difícil contar con datos disponibles de la población Además hay que considerar que existen muchos casos en las que es necesario comparar dos conjuntos de datos muestrales y no necesariamente datos poblacionales

19. Pruebas para determinar la diferencia entre dos medias Por ejemplo : queremos saber las diferencias entre los patrones de compra entre mujeres jóvenes y mujeres adultas Por ejemplo :queremos saber los niveles de stress en diferentes áreas de la empresa

20. Elección de estadístico de prueba • Para muestras de tamaño mayores a 30, se empleará el estadístico Z • Para muestras de tamaño menores a 30, se empleará el estadístico t

21. 1.- Grupos dependientes Se empleará el estadístico t student Pruebas para determinar la diferencia entre dos medias con datos que siguen una distribución normal 2.- Grupos independientes t student para tamaño de muestra menores a 30 estadístico z para un tamaño de muestra mayores a 30 Análisis de varianza 1.- Para datos cualitativos Se usará estadístico z para dos proporciones

22. Grupos dependientes o correlacionados USO DE ESTADISTÍCO t “ la característica esencial del diseño es que se usan datos apareados entre ambas condiciones y los puntajes de diferencia de cada par son analizados para determinar si el azar, por sí solo, puede explicarlos razonablemente” (1) Cada sujeto u objeto es sometido a dos condiciones diferentes

23. Diferencias entre dos medias para grupos correlacionados o dependientes • Grupos dependientes • Se denominan medias dependientes porque las medias de cada grupo de valores dependen entre sí en cuanto pertenecen a la misma persona u objeto • Son pares coincidentes , no es una relación de correlación entre variables, esto es, no implica que x sea función de y o viceversa. • En este caso se requiere obtener una nueva variable aleatoria para poder realizar la comparación entre las medias. • Por ello se empleará la diferencia entre dos observaciones de cada par coincidente o dependiente.

24. Ho • µ1 = µ2 • µ1 - µ2 = 0 • no existe diferencia entre las dos medias de los dos grupos y los resultados encontrados se pueden explicar por el azar • Ha • µ1 ≠ µ2 • µ1 - µ2 ≠ 0 • existen diferencias entre las medias de los dos grupos y los resultados pueden ser explicados en función de la variable

25. Supuestos para datos apareados • 1.-Los datos muestrales consisten en datos apareados “ existe alguna relación para que cada valor en un muestra se aparee con un valor correspondiente en la otra muestras” • 2- Las muestras son aleatorias simples • 3.- Cualquiera o ambas de estas condiciones se satisface: • a.-el número de datos apareados o datos muestrales es menor a 30 • b.- los pares de valores tienen diferencias que se toman de una población con una distribución aproximadamente normal

26. D puntaje de la diferencia D promedio media de los puntajes de diferencia de la muestra sd desviación estándar de los puntajes de la diferencia de la muestra N número de puntajes de diferencia SCd suma de los cuadrados de los puntajes de diferencia de la muestra

27. Esta formula se empleará cuando se pretenda establecer una diferencia especifica en la condición antes y en la condición después

28. Ejercicio resuelto Grupos Dependientes • El neurotransmisor gelanina parece influir de manera directa el deseo de ingerir alimentos con un alto contenido de grasa. Recientemente una compañía desarrolló una sustancia experimental que bloquea la gelalina sin alterar el apetito por otros alimentos más saludables. Se cree que la administración diaria de este medicamento hará que la persona ingiera alimentos con menos grasa, lo que promoverá la pérdida de peso. Se diseña un experimento para probar el efecto de la gelanina, para lo cual se elige de manera aleatoria a 15 mujeres obesas y se les administra el medicamento experimental durante 6 meses. Se registra el peso inicial y final durante el período del experimento

29. Cuál es la hipótesis alternativa? Cuál es la hipótesis nula? Suponga que los datos se distribuyen normalmente Cuál es su conclusión del experimento sí emplea un alfa de 0.05

30. Ejercicio Grupos dependientes

31. Grupos dependientes Se desea determinar sí el desempeño de un estudiante es en español, en promedio, diferente a su desempeño en historia en el mismo semestre. Considerando un alfa de 0.01 y que los datos se distribuyen normalmente , podría considerarse que el desempeño promedio en español es el mismo que el desempeño en historia? Formule la hipótesis nula y la alternativa. Cuáles son sus conclusiones?

32. Ejercicio por resolver. Se compara si el desempeño de un estudiante es en promedio diferente al su desempeño en historia. Considere una alfa de 0.02 para evaluar si existe diferencia entre el desempeño en español e historia?

33. Ejercicio grupos dependientes • Como la tensión muscular en la región de la cabeza se ha asociado con los dolores de cabeza, usted razona que si la tensión muscular disminuye, los dolores de cabeza disminuirán. Usted diseña un experimento que emplea una técnica de relajación para reducir la tensión muscular y por consecuencia los dolores de cabeza. Para ello selecciona nueve sujetos , a los cuales se les mide la frecuencia de dolores de cabeza que sufren durante un período de dos semanas y posteriormente se les vuelve a mediar la frecuencia de los dolores de cabeza una vez que han recibido el tratamiento de relajación • Empleando un alfa de 0.05 y considerando que los datos se distribuyen normalmente cuáles serían sus conclusiones de acuerdo a sus planteamientos de Hipótesis un la y Hipótesis alternativa.

35. Una propaganda de un producto asegura que si se toma diariamente y por un mes, se obtendrá una pérdida de peso de 2 kg; por ello el Instituto del Consumidor verifica si la información es cierta, por lo que realiza un estudio en 12 personas que se prestaron voluntariamente . Si emplea un alfa de 0.05 , ¿ cuáles serían sus conclusiones ? • Los datos se presentan en la siguiente tabla.

38. Grupos independientes En cada condición se emplea un nivel diferente de la variable independiente “En la prueba para grupos independientes se calcula la media de cada muestra y luego se analiza la diferencia entre esas dos medias muestrales para ver si el azar, por sí solo, es una explicación razonables de la diferencia observada entre ambas medias” (1)

39. Grupos independientes Para datos que siguen una distribución normal

40. Grupos independientes • Dos muestras son independientes si las observaciones de una muestra no están relacionadas en ninguna forma con las observaciones de la otra. • Los sujetos son escogidos aleatoriamente a partir de una población se les asigna una condición, también de manera aleatoria, ya sea la de experimental ó la condición de control • Los sujetos de cada grupo son sometidos a una prueba solo una vez • son dos grupos diferentes,. • “Uno grupo de control y un grupo de experimentación”

41. Grupos independientes • Son grupos de individuos están sometidos a diferentes condiciones , las parejas comparten características comunes “estandarizadas” de manera específica. • Se considera que la variación debido a factores como edad, estado nutricional, coeficiente intelectual, etc. , son consideradas insignificantes y que no influyen en los resultados

42. Grupos independientes • Consideramos el hecho de que la modificación de la variable independiente va afectar la media de las distribuciones de los dos grupos de manera diferente. • Pero también se considerará que dicha modificación no afectara la desviación estándar ni la varianza, por lo que vamos a asumir que las varianzas de los dos grupos son iguales. • No se puede formar parejas de datos entre las dos condiciones , por lo que emplearemos un estadístico para cada grupo y después se evaluará las diferencias entre las medias muestrales para determinar si el azar puede darnos una explicación de las mismas

43. Grupos independientes • Supuestos para la prueba t para grupos independientes • Las dos muestra son independientes • Ambas muestras son aleatorias simples • Existe homogeneidad de la varianza, esto es, supone que la variable independiente afecta a las medias de las poblaciones , pero no a sus desviaciones estándar. • Si no se cumple la normalidad y/o la homogeneidad se puede emplear una prueba alternativa como la de U Mann-Whitney

44. Muestras independientes estadístico t • En este caso se considera que la hipótesis nula determina que no existe ninguna diferencia entre las dos diferentes medias de los grupos evaluados • La hipótesis alternativa determina que sí existe diferencia entre las dos diferentes medias • El estadístico de prueba T deberá compararse con el valor crítico de t para el nivel de significancia y para n1 +n2 - 2 para los grados de libertad.

45. Si n1≠ n2 X1 media es la media de los datos del grupo 1 X2 media es la media de los datos del grupo 2 Si n1 = n2 Para ambos casos Gl = N-2 = n1 +n2 -2

46. Prueba t robusta La prueba t es relativamente insensible a la violación de los supuestos matemáticos subyacentes. Por lo tanto es relativamente insensible a la violación de la normalidad y la homogeneidad de la varianza Si n1 = n2 Ý si el tamaño de cada muestra es igual o mayor a 30 , entonces podemos emplear la prueba t para grupos independientes , sin un error apreciable, a pesar de que sean infringidos de manera moderada los supuestos de normalidad y homogeneidad

47. Estimación de la variabilidad total de Y que es atribuible a X • Para ello podemos emplear el valor de omega • ώ2 = t 2obt - 1 t 2obt + N- 1 donde N = n1 + n2

48. ejercicios

49. Ejercicio resuelto Grupos Independientes • Un psicólogo desea determinar si la capacidad de la memoria inmediata resulta afectada por la falta de sueño. A un primer grupo se les priva del sueño por 24 horas y a un segundo grupo se le permite dormir normalmente. A ambos se les somete posteriormente a un examen, que consiste en presentarle diapositivas en periodos breves , después de lo cual deben de recordar la mayor cantidad posible de imágenes ( los datos se presentan en la siguiente tabla). Empleando un alfa de 0.05 y considerando que los datos se distribuyen normalmente, puede concluir que la falta de sueño afecta la capacidad de memoria inmediata? • Cuál es su Hipótesis nula y su hipótesis alternativa • Cuáles son sus conclusiones?