1 / 250

RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

Diskrétní matematika. DISKRÉTNÍ MATEMATIKA pro obor aplikovaná informatika. RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::. Diskrétní matematika. diskrétní 1. ohleduplný, taktní 2. zachovávající tajemství 3. nespojitý, přetržitý Akademický slovník cizích slov (1998):.

emmanuel-parsons
Download Presentation

RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Diskrétní matematika DISKRÉTNÍ MATEMATIKA pro obor aplikovaná informatika RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  2. Diskrétní matematika diskrétní 1. ohleduplný, taktní 2. zachovávající tajemství 3. nespojitý, přetržitý Akademický slovník cizích slov (1998): RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  3. Diskrétní matematika Literatura Berka, M., Teorie grafů a úlohy na grafech, (http://home.eunet.cz/berka/o/grafy.htm) . Demel, J., Grafy a jejich aplikace, Academia, Praha 2002. Duží, M., Matematická logika, FEI VŠB, TU Ostrava, skripta. Fábry, J., Matematické modelování, Nakladatelství Oeconomica, VŠE FIS, Praha 2007. Hliněný, P., Diskrétní matematika, FEI VŠB, TU Ostrava 2005, (http://cs.vsb.cz/hlineny/vyuka/DIM-slides/DIM-text05.pdf). Konopík, M., Abstraktní datový typ graf – Úvod do teorie grafů, KIV, ZČU. (http://www.kiv.zcu.cz/~konopik/sem/cech/index.html). Kovár, M., Diskrétní matematika, FIT VUT, Brno 2002. (http://www.umat.feec.vutbr.cz/~kovar/webs/vyuka/fit/2006/ida/soubory/IDM.pdf). Kovár, M., Cvičení z diskrétní matematiky, FIT VUT, Brno 2003, (http://www.umat.feec.vutbr.cz/~kovar/webs/vyuka/fit/2006/ida/soubory/IDMCV.pdf). Kovář, P., Diskrétní matematika, FAM VŠB, TU Ostrava (http://homel.vsb.cz/~kov16/predmety_dm.php). Křemen, J.,Modely a systémy,Academia a ČMT, Praha 2007. Matoušek, J. a Nešetřil,J., Kapitoly z diskrétní matematiky, Karolinum, Praha 2002. Muhamma, R., Algorithmic Graph Theory, (http://www.personal.kent.edu/~rmuhamma/GraphTheory/graphTheory.htm). Raclavský, J., Logika, MU Brno, (http://www.phil.muni.cz/fil/logika/). Roberts, F.S., Discrete Mathematical Models with Applications to Social, Biological and Environmentals Problems, Prentice-Hall,Inc., New Jersey 1976. Ryjáček, Z., Teorie grafů a diskrétní optimalizace, KMA ZCU 2005, (http://www.kma.zcu.cz/TGD1). RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  4. Diskrétní matematika 1 Matematická logika 1.1 Výroky a úsudky 1.2 Výroková logika 1.3 Predikátová logika RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  5. Diskrétní matematika1. Matematická logika1.1 Úsudky a výroky 1/4 Definice. Výrokem je jakékoli tvrzení, o kterém lze říci, že je pravdivé nebo, že je nepravdivé. Úsudkem nazýváme duševní postup, při němž usuzujeme na pravdivost výroku A na základě pravdivosti výroků B1, B2,…, Bn. Výroky B1, B2,…, Bnnazýváme předpoklady neboli premisy a výrok A nazýváme závěr. Píšeme B1, B2,…, Bn→ A. Definice. Úsudek B1, B2,…, Bn → A je platný, jestliže závěr A logicky vyplývá z předpokladů B1, B2,…, Bn. Platný úsudek značíme B1, B2,…, Bn|= A. RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  6. Diskrétní matematika1. Matematická logika1.1 Úsudky a výroky 2/4 Několik platných úsudků. Všichni psi štěkají. Pudl je pes. → Pudl štěká. V seznamu novodobých římských císařů není žádná žena. Marie Terezie byla žena. → Marie Terezie nebyla římská císařovna. Je doma nebo odešel do kavárny. Je-li doma, pak nás očekává. → Jestliže nás neočekává, pak odešel do kavárny. Je-li tento kurz dobrý, pak je užitečný. Buď je přednášející shovívavý, nebo je tento kurz neužitečný. Ale přednášející není shovívavý. → Tento kurz je špatný. RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  7. Diskrétní matematika1. Matematická logika1.1 Úsudky a výroky 3/4 Definice. Jestliže je výrok A pravdivý za všech okolností, říkáme, že je platný, nebo že je tautologií a značíme |= A. Jestliže předpoklady v množině {B1,B2 ,..., Bn} nemohou být současně všechny splněny, říkáme, že množina {B1,B2,..., Bn}je kontradiktorická (sporná, nesplnitelná). Kontradikci značíme {B1,B2,..., Bn} |=. Z kontradiktorické množiny premis plyne jakýkoli závěr. RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  8. Diskrétní matematika1. Matematická logika1.1 Úsudky a výroky 4/4 Vlastnosti deduktivních úsudků. Logicky správný úsudek může mít nepravdivý závěr (např.: Všechny kobry jsou jedovaté. Tato hůl je kobra. → Tato hůl je jedovatá.) V takovém případě však musí být některý z předpokladů nepravdivý. Jestliže platí B1, B2,…, Bn|= A, platí i B1, B2,…, Bn, Bn+1 |= A pro libovolný další předpoklad Bn+1. Tato vlastnost závěru se nazývá monotónnost. Jestliže platí B1, B2,…, Bn |= A a C1, C2,…, Cn|= A′ , pak platí B1, B2,…, Bn, C1, C2,…,Cn|= A a zároveň B1, B2,…, Bn, C1, C2,…, Cn|= A′ . Tato vlastnost se nazývá tranzitivita. Jestliže je A rovno jedné z premis B1, B2,…, Bn, pak platí B1, B2,…, Bn |= A. Tato vlastnost se nazývá reflexivita. RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  9. Diskrétní matematika1. Matematická logika1.2 Výroková logika 1/7 Definice jazyka výrokové logiky Abeceda jazyka výrokové logiky je množina následujících symbolů: Výrokové symbolyp, q, r,…A, B,…. Symboly logických spojek (funktorů) ￢, ∧, ∨,⇒, ⇔. Pomocné symboly(závorky) ( ),[ ],{ },.... Symboly ￢, ∧, ∨, ⇒, ⇔nazýváme po řadě funktory negace, konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence. RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  10. Diskrétní matematika1. Matematická logika1.2 Výroková logika 2/7 Definice jazyka výrokové logiky - pokračování Gramatika jazyka výrokové logiky rekurzivně definuje formule: 1. Výrokové symboly jsou formule. 2. Jsou-li A, B formule, pak jsou formulemi i výrazy (￢A), (A ∧B), (A ∨B), (A ⇒B), (A⇔ B). 3. Jiných formulí výrokové logiky než těch, které vzniknou aplikací podle bodů 1. a 2., není. Jazyk výrokové logiky je množina všech formulí výrokové logiky. RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  11. Diskrétní matematika1. Matematická logika1.2 Výroková logika 3/7 Definice logických funktorů Negace výroku A se značí ￢A a znamená „není pravda, že“. Konjunkce výroků A a Bse značí A ∧B a znamená, že „platí zároveň A a zároveň B“. Disjunkce (alternativa) výroků A a Bse značí A ∨B a znamená, že „platí buď A nebo B“ (nebo obojí). Implikace: Vyplývá-li z výroku A výrok B, říkáme, že „z A plyne B“ nebo že „A implikuje B“ nebo „jestliže A, pak B“ nebo „když A, tak B“, … a píšeme A⇒B. Ekvivalence nastane, platí-li zároveň A ⇒ B a B ⇒A a říkáme, že výroky A a B jsou ekvivalentní, a značíme A ⇔B . Ekvivalenci čteme také: „B platí právě, když platí A“ nebo „B platí tehdy a jen tehdy, platí-li A“. RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  12. Diskrétní matematika1. Matematická logika1.2 Výroková logika 4/7 Definice sémantiky výrokové logiky Interpretace – pravdivostní ohodnocení (valuace) J přiřazuje každé formuli pravdivostní hodnotu z množiny {1,0}, která kóduje množinu {pravda, nepravda}. Tautologie je formule, která nabývá hodnoty pravda při každé interpretaci. Kontradikce je formule, která nabývá hodnoty nepravda při každé interpretaci. Pravdivostní tabulka A B A∧B A∨B A⇒B A⇔B 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  13. Diskrétní matematika1. Matematická logika1.2 Výroková logika 5/7 Zjistěme, zda množina formulí M ={p ⇒r, q ⇒r, p ∨q} je splnitelná, tj zda platí p ⇒r, q ⇒r, p ∨ q |= r p q r p ⇒r q ⇒ r p ∨ q 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  14. Diskrétní matematika1. Matematická logika1.2 Výroková logika 6/7 Seznam některých tautologií A) Tautologie s jediným výrokovým symbolem: ￢( p ∧ ￢p) zákon sporu ( p ∨ ￢p) zákon vyloučeného třetího p ⇒ p zákon totožnosti p ⇔￢￢p zákon dvojí negace p ⇔ ( p ∨p) zákon idempotence p ⇔ ( p ∧p) zákon idempotence B) ( p ∧ ￢p)⇒q zákon Dunse Scota p ⇒ (q ⇒p) zákon simplifikace ( p ⇒q)⇔(￢q ⇒ ￢p) zákon kontrapozice C) De Morganovy zákony: ￢( p ∨q) ⇔ (￢p ∧ ￢q) ￢( p ∧q) ⇔ (￢p ∨ ￢q) RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  15. Diskrétní matematika1. Matematická logika1.2 Výroková logika 7/7 Převod z přirozeného jazyka do jazyka výrokové logiky Je doma (p) nebo odešel do kavárny (￢p). Je-li doma, pak nás očekává (q). → Jestliže nás neočekává, pak odešel do kavárny. ( p ⇒q) ⇔ (￢q ⇒￢p) Převod z přirozeného do symbolického jazyka nemusí být vždy zcela jednoznačný. „Jestliže má člověk vysoký tlak (p) a špatně se mu dýchá (q) nebo má zvýšenou teplotu (r), pak je nemocen (s).“ Můžeme převádět jako 1. možnost: [(p ∧q)∨r]⇒s 2. možnost: [p ∧(q ∨r)]⇒s. Obě formule jsou různé, obě vyhovují zadání, ale ze zadání nepoznáme, jak bylo tvrzení myšleno. RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  16. Diskrétní matematika1. Matematická logika1.3 Predikátová logika 1/6 • Definice jazyka predikátové logiky • Abeceda predikátové logiky (následující symboly): • a. Logické symboly • i. individuové proměnné x,y,z, individuové konstanty a,b,c,… . • ii. symboly pro spojky ￢,∧,∨,⇒,⇔, • iii. symboly pro kvantifikátory ∀,∃, • iv. případně binární predikátový symbol = (predikátová logika s rovností). • b. Speciální symboly • i. predikátové symboly p,q,r,…, • ii. funkční symboly f,g,h,…. • c. Pomocné symboly – závorky. RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  17. Diskrétní matematika1. Matematická logika1.3 Predikátová logika 2/6 Definice jazyka predikátové logiky - pokračování II) Gramatika, která udává, jak tvořit a. termy: jsou proměnné nebo konstanty b. atomické formule: i. je-li pn-ární predikátový symbol a jsou-li t1,…,tntermy, pak výraz p(t1,…,tn) je atomická formule, ii. jsou-li t1 a t2 termy, pak výraz (t1 = t2) je atomická formule. c. formule: i. každá atomická formule je formule, ii. je-li výraz A formule, pak ￢A je formule, iii. jsou-li A a B formule, pak výrazy (A ∧B),(A ∨B),(A ⇒B) , (A⇔B) jsou formule, iv. je-li x proměnná a A formule, pak výrazy ∀xA a ∃xA jsou formule, v. jen výrazy dle i. – iv. jsou formule. RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  18. Diskrétní matematika1. Matematická logika1.3 Predikátová logika 3/6 Kvantifikátory. Kvantifikátor ∀ nazýváme obecným (velkým) kvantifikátorem a vyjadřuje „každý; žádný; všechna; kterýkoli; libovolný;…“. Kvantifikátor ∃ je existenčním (malým) kvantifikátorem a vyjadřuje „existuje; některé; lze nalézt; alespoň jeden;…“. Někdy se používá ∃! pro vyjádření „existuje právě jeden“. RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  19. Diskrétní matematika1. Matematická logika1.3 Predikátová logika 4/6 Univerzum. Univerzum je množina individuí, která spadají do našeho uvažování. Máme- li na mysli např. tři dívky, Annu, Báru a Gabrielu, pak tyto tři dívky tvoří naše univerzum U. Dívky po řadě označíme α ,β ,γ , tedy U ={α ,β ,γ}. Predikát. Predikátový symbol je výraz označující predikát, tedy vlastnost nebo vztah, který lze vypovědět (predikovat) o individuu. Vlastnost „být dívka“ je predikovatelná o třech individuích námi uvažovaného univerza a píšeme P(x). RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  20. Diskrétní matematika1. Matematická logika1.3 Predikátová logika 5/6 Příklady převodu z přirozeného jazyka do symbolického jazyka predikátové logiky 1) Nikdo, kdo není zapracován (P), nepracuje samostatně (S). ∀x[￢P(x) ⇒￢S(x)] 2) Ne každý talentovaný (T) spisovatel (Sp) je slavný (Sl). ￢∀x{[T(x) ∧Sp(x)]⇒Sl(x)} 3) Pouze zaměstnanci (Z) používají výtah (V). ∀x[V (x)⇒Z(x)] RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  21. Diskrétní matematika1. Matematická logika1.3 Predikátová logika 6/6 Příklady převodu z přirozeného jazyka do symbolického jazyka predikátové logiky - pokračování 4) Ne každý člověk (C), který hodně mluví (M), nemá co říci (R). ￢∀x{[C(x) ∧M(x)]⇒ ￢R(x)} 5) Někdo je spokojen (Sn) a někdo není spokojen. ∃xSn(x) ∧∃y￢Sn( y) 6) Někteří chytří lidé (Ch) jsou líní (L). ∃x[Ch(x) ∧L(x)] 7) Všichni zaměstnanci (Z) používají výtah (V). ∀x[Z(x)⇒V(x)] RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  22. Diskrétní matematika 2 Dokazování v diskrétní matematice 2.1 Stavba matematiky 2.2 Matematické důkazy RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  23. Diskrétní matematika2 Dokazování v diskrétní matematice2.1 Stavba matematiky • Ucelenou matematickou teorii tvoří: • - axiomy, • - definice, • - věty neboli tvrzení, • - lemmata, • matematické důkazy. RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  24. Diskrétní matematika Axiomy množiny přirozených čísel Giuseppe Peano 1891 P1. Existuje přirozené číslo, které není následníkem žádného přirozeného čísla. Nazveme ho 1. P2. Každé přirozené číslo má právě jednoho následníka. P3. Každé přirozené číslo je následníkem nejvýše jednoho přirozeného čísla. P4. Každá množina, která obsahuje přirozené číslo 1 a skaždým přirozeným číslem obsahuje i jeho následníka, je množinou přirozených čísel. RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  25. Diskrétní matematika Eukleidovy axiomy Konec 4. stol. před n.l. E1. Od každého bodu ke každému lze vést přímou spojnici. E2. Ohraničenou spojnici lze libovolně prodloužit. E3. Z každého středu a poloměru lze narýsovat kružnici. E4. Všechny pravé úhly jsou navzájem shodné. E5. Daným bodem lze s danou přímkou vést právě jednu rovnoběžku. RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  26. Diskrétní matematika2 Dokazování v diskrétní matematice2.2 Matematické důkazy 1/5 Důkaz je posloupnost ověřitelných elementárních kroků, které pomocí již dokázaných faktů (popř. axiomů) podle logických pravidel dospějí k požadovanému tvrzení (větě). Rozlišujeme: a) důkaz převedením na známé (již dokázané) tvrzení, b) nepřímý důkaz, c) důkaz sporem, d) důkaz matematickou (tzv. úplnou) indukcí, e) důkaz konstrukcí nebo počítáním. RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  27. Diskrétní matematika2 Dokazování v diskrétní matematice2.2 Matematické důkazy 2/5 Důkaz převedením na známé tvrzeníprovádíme postupnými implikacemi z předpokladu A (jednoho nebo více) A ⇒B , B ⇒ C ,… ,Y ⇒Z až dojdeme k žádanému tvrzení Z. Tvrzení: Úhlopříčky v kosočtverci se navzájem půlí a jsou k sobě kolmé. Důkaz: Z definice kosočtverce plyne, že strany jsou stejně dlouhé a po dvou rovnoběžné. Úhlopříčky vytvoří se stranami čtyři trojúhelníky. Dva protilehlé trojúhelníky vytvoří mezi úhlopříčkami a stranami kosočtverce dvě dvojice stejných střídavých úhlů. Podle věty úsú jsou tyto trojúhelníky shodné. Pak podle věty sss jsou s nimi shodné i zbývající trojúhelníky. Z toho plyne, že se úhlopříčky půlí. V průsečíku úhlopříček se stýkají čtyři shodné úhly, musí tedy být pravé.□ RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  28. Diskrétní matematika2 Dokazování v diskrétní matematice2.2 Matematické důkazy 3/5 Důkaz sporem. Místo implikace A⇒B dokazujeme (A ∧ ￢B)⇒C , kde C je jasně nepravdivý výrok nebo je ve sporu s předpokladem. Tím jsme došli ke sporu a tudíž A⇒B . Tvrzení:Mezi přirozenými čísly menšími než 8 je nejvýš 5 prvočísel. Důkaz: Předpokládejme pro spor, že je jich 6. Pak mezi nimi musí být nejméně dvě čísla sudá, jedno rovné dvěma a druhé tedy různé od dvou, které tudíž není prvočíslo, a to je spor s předpokladem o šesti prvočíslech. Tím je tvrzení dokázáno.□ RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  29. Diskrétní matematika2 Dokazování v diskrétní matematice2.2 Matematické důkazy 4/5 • Matematická indukce. • Mějme tvrzení P(n) s přirozeným (nebo celočíselným) parametrem n. • Nechť platí: • Tvrzení P(n) je pravdivé pro nejmenší přípustné n. Toto tvrzení nazýváme základ indukce. • 2) Pro libovolné přirozené (či celé) n0 plyne z platnosti P(n0) také platnost tvrzení P(n0 + 1). • Pak P(n) platí pro všechna přirozená (či celá) n. RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  30. Diskrétní matematika2 Dokazování v diskrétní matematice2.2 Matematické důkazy 5/5 Tvrzení: Vztah platí pro libovolné n. Důkaz: Nejprve ukážeme dosazením, že vztah platí pro nejmenší uvažované n, v našem případě n = 1. V druhém kroku vyjdeme z platnosti vztahu pro nějaké n0 a dokážeme, že platí i pro n = n0 + 1. Tedy což je původní výraz pro n = n0 + 1 a tvrzení je dokázáno. □ RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  31. Diskrétní matematika 3 Množiny 3.1 Základní množinové operace 3.2 Čísla a číselné množiny 3.3 Princip inkluze a exkluze 3.4 Kartézský součin RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  32. Diskrétní matematika3. Množiny 3.1 Základní množinové operace 1/7 Definice Označíme X = {x} množinu X obsahující prvky x; také píšeme x∈X . Množinu, která nemá žádný prvek, nazýváme prázdnou množinou a značíme ji Ø. PodmnožinaX množiny Y je její částí: X ⊆Y ⇔ (∀x∈X ⇒x∈Y) Rovnost množin X a Y nastane, mají-li stejné prvky: X = Y ⇔X ⊆Y ∧Y ⊆X Sjednocení množin je množina Z obsahující prvky, které jsou buď prvky X nebo prvky Y (nebo obou): X ∪Y ={∀(x∈X ∨y∈Y)} RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  33. Diskrétní matematika3. Množiny 3.1 Základní množinové operace 2/7 Definice - pokračování Průnik množinX a Y je množina Z obsahující prvky, které jsou prvky X a zároveň prvky Y: X ∩Y ={∀a (a∈X ∧a∈Y)} Množiny, jejichž průnik je prázdná množina, nazýváme disjunktní. Rozdíl množin X a Y je množina Z obsahující prvky, které jsou prvky X a nejsou prvky Y : X \Y ={∀a ∈X ∧a ∉Y} Jestliže je Y ⊆X , pak Y = X \Y nazýváme doplňkem množiny Y v množině X. RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  34. Diskrétní matematika3. Množiny 3.1 Základní množinové operace 3/7 Vennův diagram: a) A∪B b) A ∩B c) A \ B d) doplněk B v A RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  35. Diskrétní matematika3. Množiny 3.1 Základní množinové operace 4/7 Vlastnosti množinových operací. Nechť A, B, C jsou množiny. Pak platí: 1. A∪B = B ∪A komutativní zákony 2. A∩B = B ∩A 3. (A∪B)∪C = A∪(B ∪C) asociativní zákony 4. (A∩ B)∩C = A∩(B ∩C) 5. (A∪B)∩C =(A∩C)∪(B ∩C) distributivní zákony 6. (A∩ B)∪C =(A∪C)∩(B ∪C) RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  36. Diskrétní matematika3. Množiny 3.1 Základní množinové operace 5/7 Pro konečnou množinu X budeme symbolem |X| označovat její mohutnost neboli počet prvků. Je-li mohutnost |X|sudá, říkáme, že množina X je sudé velikosti, je-li lichá, říkáme, že X je liché velikosti. RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  37. Diskrétní matematika3. Množiny 3.1 Základní množinové operace 6/7 Počet podmnožin - 1 Tvrzení:Nechť množina X má n prvků. Pak X má 2npodmnožin . Důkaz: 1. Pro n = 0 tvrzení platí, neboť prázdná množina má jedinou, opět prázdnou, podmnožinu. 2. Nechť platí dokazované tvrzení pro n ≥ 0 . Vezmeme libovolný prvek a ∈X , kde |X|= n +1. Utvoříme množinu X ′ = X \{a}, takže |X ′| = n , pro níž podle předpokladu tvrzení platí. Uvažujme libovolnou, pevně zvolenou podmnožinu P ⊆X a máme dvě možnosti: buď je a∉ P nebo je a∈P . Není-li a∈P , je P podmnožinou X ′ a takových P je podle indukčního předpokladu 2n. Je-li a∈P , je P′ = P \{a} podmnožinou X´a takových P′ je opět 2n. Dohromady je tedy 2n+1 možností volby P ⊆X. □ RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  38. Diskrétní matematika3. Množiny 3.1 Základní množinové operace 7/7 Počet podmnožin - 2 Tvrzení:Každá n-prvková ( n ≥ 1) množina má právě 2n-1 podmnožin sudé velikosti a 2n-1 podmnožin liché velikosti. Důkaz: Opět pomocí matematické indukce. 1. Pro n = 1 tvrzení platí, neboť jednoprvková množina má jednu podmnožinu liché velikosti (prázdnou) a jednu sudé velikosti (prázdnou a s jedním prvkem). 2. Nechť množina X má libovolně zvolený počet prvků n a platí pro ni dokazované tvrzení. předchozí tvrzení. … RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  39. Diskrétní matematika3. Množiny 3.2 Čísla a číselné množiny 1/5 Množina přirozených čísel je {1,2,3,4,5,...} a značíme ji ℕ. Interval přirozených čísela < b značíme [a,b] = {a,a +1,...,b −1,b}. Celá část čísla x se značí takto: ⌊x⌋. Znamená to, že např. ⌊3,14159⌋ = 3. Množina celých čísel se značí ℤ = {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…} V diskrétní matematice se pracuje s přirozenými čísly rozšířenými o nulu, tj. {0,1,2,3,4,5,...} RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  40. Diskrétní matematika3. Množiny 3.2 Čísla a číselné množiny 2/5 Racionální čísla ℚjsou čísla, která vzniknou podílem dvou celých čísel (kromě dělení nulou). Jejich desetinné vyjádření má konečný počet nenulových desetinných míst nebo je ukončeno opakující se skupinou číslic - periodou. Iracionální číslajsou ta čísla, která nelze vyjádřit jako podíl dvou celých čísel. Mají nekonečně mnoho číslic za desetinou čárkou, jež se neopakují. Iracionální je většina odmocnin, hodnot goniometrických funkcí, logaritmů apod. Racionální a iracionální čísla dohromady tvoří reálná čísla ℝ. RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  41. Diskrétní matematika3. Množiny 3.2 Čísla a číselné množiny 3/5 Spočetná množina je množina, jejíž prvky dokážeme seřadit do pořadí očíslovaného přirozenými čísly. Množiny, které nejsou spočetné, označujeme jako nespočetné. Množina přirozených čísel, ač nekonečná, je spočetná. Její mohutnost označujeme prvním kardinálním číslem ℵ0 (alef nula). Tvrzení: Racionálních čísel je spočetně mnoho. Důkaz: Racionální čísla seřadíme takto: 0, 1/1, -1/1, 1/2,-1/2, 2/1,-2/1, 1/3, -1/3, 2/3,-3/2, 3/1,-3/1,… . Tato seřazená racionální čísla se dají očíslovat. □ RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  42. Diskrétní matematika3. Množiny 3.2 Čísla a číselné množiny 4/5 Tvrzení. Reálných čísel je nespočetně mnoho. Důkaz: Dokážeme, že i v intervalu (0,1) je nespočetně mnoho reálných čísel. K důkazu sporem vyjdeme z předpokladu, že reálných čísel v (0,1) je spočetně mnoho. Pak existuje způsob, jak je seřadit za sebou jako přirozená čísla. Nechť je to toto uspořádání kde aij jsou čísla 0, 1, 2,…,9 a k,l jsou přirozená čísla. RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  43. Diskrétní matematika3. Množiny 3.2 Čísla a číselné množiny 5/5 Pokračování důkazu: Budeme uvažovat následující číslo b = 0,b1,b2,… podle pravidla: Je-li na m-tém desetinném místě čísla am číslo 5, bude bm = 4, není-li na m-tém desetinném místě čísla am číslo 5, bude bm = 5. Takto utvořené číslo b se nutně liší od čísla am na m-tém desetinném místě pro libovolné m. Liší se tedy od všech čísel, které jsou v předpokládaném uspořádání, to znamená že předpoklad o spočetnosti reálných čísel intervalu (0,1) byl nesprávný. Správné je tedy dokazované tvrzení tj., že reálných čísel je nespočetně mnoho. □ RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  44. Diskrétní matematika3 Množiny 3.3 Princip inkluze a exkluze Tvrzení (Princip inkluze a exkluze). Mějme množiny Ai , i = 1,…,n a uvažujme všechny neprázdné podmnožinyI ⊆{1,…,n}. Pak pro mohutnost sjednocení množin platí |A1∪A2| = |A1| + |A2| - |A1∩A2| |A1∪A2∪A3| = |A1| + |A2| + |A3| - |A1∩A2| - |A1∩A3| - |A2∩A3| + |A1∩ A2∩A3| ……………………………………………………..atd. RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  45. Diskrétní matematika3. Množiny 3.4 Kartézský součin Uspořádaná dvojice, je dvojice prvků (x,y), u níž záleží na pořadí x a y. Kartézský součin množin Xa Y, X×Y, je množina všech uspořádaných dvojic (x,y), kde x∈X a y∈Y. RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  46. Diskrétní matematika 4 Relace 4.1 Binární relace 4.2 Ekvivalence 4.3 Zobrazení 4.4 Skládání zobrazení 4.5 Relace uspořádání RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  47. Diskrétní matematika 4 Relace 4.1 Binární relace Definice.Binární relaceR mezi dvěma množinami X a Y je množina uspořádaných dvojic (x,y), kde x∈X a y∈Y. R je tedy podmnožinou kartézského součinu. Vznikne-li dvojice (x,y) relací R, říkáme, že (x,y) náleží R a píšeme (x,y) ∈R nebo jednoduše xRy. Definice.Relace na množiněX je množina dvojic prvků X.Matice sousednostirelace R na množině X o n prvcích je n × n matice A = (aij), kde aij = 1 jestliže (xi,yj) ∈R, aij = 0 jestliže (xi,yj) ∉R. RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  48. Diskrétní matematika4 Relace 4.2 Ekvivalence 1/2 Definice. Relace R na množině X je reflexivní, jestliže pro každé x ∈ X platí xRx, je symetrická, jestliže kdykoliv platí xRy, platí i yRx, je transitivní, jestliže ze vztahů xRy a yRz plyne xRz. Relace R na X, která je reflexivní, symetrická a transitivní se nazývá ekvivalence na X. Nechť R je ekvivalence na množině X, nechť x je libovolný prvek X. Označme symbolemR[x] množinu všech prvků y, které jsou ekvivalentní s x. R[x] se nazývá třída ekvivalence R určená prvkem x. RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  49. Diskrétní matematika 4 Relace 4.2 Ekvivalence 2/2 • Tvrzení. Pro každou ekvivalenci R na množině X platí: • 1) R[x] je neprázdná množina pro každý prvek x ∈ X. • 2) Pro každé dva prvky x,y množiny X je buď R[x] = R[y]nebo je R[x] ∩R[y] = ∅ (prázdná množina). • 3) Třídy ekvivalence jednoznačně určují R. • Důkaz: Plyne z definice ekvivalence. RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

  50. Diskrétní matematika 4 Relace 4.3 Zobrazení • Definice.Zobrazeníf množiny X do množiny Y je relace f ⊆ X × Y, pro kterou platí, že pro každý prvek x∈X existuje právě jediný prvek y∈Y tak, že xfy; píšeme y = f(x), nebo také f : X→Y. • Definice.Zobrazení nazýváme • prosté (neboli injektivní), jestliže pro x ≠y je f(x) ≠f(y), • b)zobrazení na (neboli surjektivní), jestliže pro každé y ∈ Y existuje x ∈ X splňující rovnost f(x) = y a • c) vzájemně jednoznačné zobrazení (neboli bijektivní), jestliže f je prosté a na a píšeme f : X↔Y. RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

More Related