Kalman-féle rendszer definíció

1. Kalman-féle rendszer definíció Rendszerdefiníció:  = (T, X, U, Y, , , , ) ahol T – az időhalmaz X – a lehetséges belső állapotok halmaza U – a lehetséges bemeneti értékek halmaza Y – a lehetséges kimeneti értékek halmaza  - a lehetséges bemenet időfüggvények halmaza  - a lehetséges kimenet időfüggvények halmaza  - az állapotátmeneti függvény  - a kiolvasó függvény

2. Állapottér modell Lineáris, időinvariáns, folytonos idejű állapottér modell: ahol x – a belső állapotok vektora u – a bemeneti vektor y – a kimeneti vektor A – az állapotátmeneti mátrix B – a bemeneti mátrix C – a kimeneti mátrix D – a segédmátrix

3. Állapottér modell (folyt.) SISO MIMO dim(x) n n dim(u) 1 p dim(y) 1 r dim(A) nn nn dim(B) n1 np dim(C) 1n rn dim(D) 11 rp

4. Állapottér modell (folyt.) • az állapottér modell blokkdiagramja

5. Állapottér modell - példa • Példa ahol A1, A2 – az 1. ill. 2. tartály alapterülete h1, h2 – az 1. ill. 2. tartálybeli szintmagasság Kv1, Kv2– a szelep ellenállási tényezők Fi, F1, Fo – belépő, átfolyó, kilépő vízáram

6. Állapottér modell - példa • a leíró egyenletek: tartálybeli belépő kilépő mennyiség = áram - áram megváltozása • 1. tartály • 2. tartály

7. Állapottér modell - példa • legyen a két állapotváltozó h1 ésh2  x vektor elemei a bemenő változó Fi  u (egy bemenet) a kimenő változó F1  y (egy kimenet) • az egyenletek átalakítása után:

8. Állapottér modell - példa • ebből az állapottér modell: x = A  x + B  u x = C  x + D  u

9. Állapottér modell - megoldhatóság • induljunk ki a rendszeregyenletből: • Laplace-transzformálva x0 kezdeti feltételek mellett: • átrendezve

10. Állapottér modell - megoldhatóság • az (sI-A)-1 értelmezése: • inverz Laplace-transzformálva: ahol eAt a mátrixexponenciális és t  0.

11. Állapottér modell - megoldhatóság • inverz Laplace-transzformálva egyenletet: • a kimeneti egyenlet:

12. Állapottér modell - megoldhatóság • a megoldás értelmezése: pillanatnyi kiindulási bemeneti állapot = állapottól + változótól függő tag függő tag ha a bemeneti változó 0, akkor az első tag írja le a kezdő állapottól való függést eA(t-t0)= (t – t0) állapotátmeneti mátrix (nn-es mátrix) • ha a kezdőállapot nulla, akkor a második tag írja le a bemenettől való függést: kényszerfüggvény

13. Állapottér modell – I/O modell kapcsolata • induljunk ki az állapottér modellből: • Laplace-tarnszformáljuk mindkét egyenletet zérus kezdeti feltétel mellett és fejezzük ki az első egyenletből X(s)-t: • helyettesítsünk be a második egyenletben X(s) helyére:

14. Állapottér modell – I/O modell kapcsolata • innen • ez pedig nem más, mint az átviteli függvény: • azaz egy rendszer I/O modellje és állapottér modellje között az átviteli függvény teremti meg a kapcsolatot

15. Állapottér modell – megfigyelhetőség • Működés közben mérhető paraméterek a bemenetek u(t) és a kimenetek y(t). A modellhez viszont kellenek az állapotváltozók: Az így megadott rendszert akkor nevezzük teljesen megfigyelhetőnek, ha tetszőleges t0 időponthoz tartozó x(t0) kezdőállapothoz és u(t) = 0 bementhez létezik olyan t1>t0 időpont, hogy y(t) |t(t0, t1] kimenet ismerete elegendő x(t0) kezdőállapot megadásához.

16. Állapottér modell – megfigyelhetőség • A megfigyelhetőség teljesüléséhez az kell, hogy a egyenletből x(t0) kiszámítható legyen. Ehhez viszont CeA(t1-t0) mátrix sorainak kell a vizsgált időközben lineárisan függetlennek lenniük.

17. Állapottér modell – megfigyelhetőség • Kalman-féle rangfeltétel: A szokásos módon megadott állapottér modellel leírt rendszer akkor és csak akkor megfigyelhető, ha az állapottér modell együtthatóiból képzett megfigyelhetőségi mátrix teljes rangú: és r(On-1) = n

18. Állapottér modell – irányíthatóság • A szabályozási feladatok célja, hogy a rendszer előírt állapotba kerüljön. Ez az állapottér modelleknél azt jelenti, hogy az állapotváltozó vektor elemei vegyenek fel egy meghatározott értéket egy adott időpontban. Azaz az irányíthatóság esetében azt vizsgáljuk, hogy azmodell állapotváltozóit adott induló állapotból kiindulva a bemenet megfelelő megválasztásával át lehet-e vinni egy előre megadott végállapotba.

19. Állapottér modell – irányíthatóság • Def.: ÁllapotirányíthatóságA modellel leírt rendszert egy adott (t0,t1] teljesen állapotirányíthatónak nevezzük, ha tetszőleges x(t0) kezdőállapothoz és tetszőleges x(t1) végállapothoz létezik olyan u(t) bemenő jel, ami a rendszert a kezdőállapotból a végállapotba átviszi.

20. Állapottér modell – irányíthatóság • Az állapotirányíthatóság teljesüléséhez az kell, hogy azösszefüggés alapján u(t) meghatározható legyen, ehhez viszont az eA(t1-t0) B mátrixsorainak lineáris függetlenségét kellene vizsgálni. Ez nyilvánvalóan nehézkes feladat, ezért helyette Kalman-féle rangfeltételt alkalmazzuk.

21. Állapottér modell – irányíthatóság • Tétel: Kalman-féle rangfeltétel A szokásos módon megadott állapottér modellel leírt rendszer akkor és csak akkor állapotirányítható, ha az állapottér modell együtthatóiból képzett irányíthatósági mátrix teljes rangú: és r(Cn-1) = n

22. Állapottér modell – irányíthatóság • Megj.: Létezik ún. kimenet-irányíthatóság is, amikor y(t1) vagyis a kimenet értékeire írunk elő követelményeket. • egy kimenetű rendszereknél triviálisan teljesül • szóhasználat: irányíthatóság  állapotirányíthatóság • megfigyelhetőség és az irányíthatóság együttes teljesülése nagyon fontos, illetve kapcsolatba hozható más állapottér tulajdonságokkal.

23. Állapottér modell – tulajdonságok állapottér modell megfigyelhető és irányítható az átviteli függvény tovább nem egyszerűsíthető az állapotváltozók száma minimális

24. Állapottér modell – tulajdonságok • Az átviteli függvény tovább nem egyszerűsíthető: nincs olyan pólus, ami megegyezne egy zérushellyel. • Állapotváltozók száma minimális: ha kevesebb állapotváltozóval írjuk le a rendszert, akkor nem ugyanazt a rendszert kapjuk (nem egyeznek meg az átviteli függvények).

25. Állapottér modell – tulajdonságok • Megj.: Az állapottér modell nem egyértelmű, definiálhatók ún. hasonlósági transzformációk, melyekkel a rendszer áttranszformálható másik alakra, de az átviteli függvény nem változik!

26. Állapottér modell – stabilitás • Stabilitás fogalmak • Tekintsük a állapottér modellt. • BIBO stabilitásKorlátos bemenetre korlátos kimenet – külső stabilitás • Belső stabilitása modell – adott együttható mátrixokkal leírt rendszer stabilitása

27. Állapottér modell – stabilitás • Def.: Belső stabilitás Legyen adott az alábbi modellazaz legyen a bemenet zérus, a kezdőfeltételek pedig nullától különbözőek. Akkor nevezzük ezt a modellt belső stabilitásúnak, ha az x(t) megoldás kielégíti az alábbi feltételt:

28. Állapottér modell – stabilitás • Def.: Stabilitási mátrix Egy ARnn mátrixot stabilitási mátrixnak nevezünk, ha valamennyi saját értéke negatív valós vagy negatív valós részű komplex szám:Re{i(A)}<0, i esetén • Megj.: A sajátérték fogalmaEgy ARnn mátrix sajátértékei a | I - A| = 0egyenlet i gyökei. Az nn-es mátrixnak n db sajátértéke van.

29. Állapottér modell – stabilitás • Tétel:Egy adott állapottér modell akkor és csak akkor belső stabilitású, ha az A mátrix stabilitási mátrix. • Tétel:A belső stabilitás magában foglalja a BIBO stabilitást.(Ha egy modell belső stabilitású, akkor BIBO stabil is, de fordítva nem igaz.)

30. Állapottér modell – stabilitás • Stabilitásvizsgálati módszerek: • Stabilitási mátrix definíciója alapján: A mátrix sajátértékeinek meghatározásával (csak max. három állapotváltozós rendszerek esetében). • Ljapunov kritérium

31. Diszkrét állapottér modell • Diszkrét idejű állapottér modell • az időtartományban kitüntetett időpontok adottak • a változók értékei csak ezekben a mintavételi időpontokban ismertek • az állapottér modell első egyenlete differenciálegyenlet helyett differenciaegyenlet lesz • a diszkrét idejű modell a folytonos idejű modellből származtatható • a származtatásnál feltételezzük, hogy a bemenő jel(ek) egy nulladrendű tartón keresztül jut(nak) a rendszerbe

32. Diszkrét állapottér modell • A lineáris, időinvariáns, diszkrét idejű állapottér modell: ahol A, B a folytonos idejű modell együttható mátrixai,T a mintavételi idő

33. Diszkrét állapottér modell - megoldás • Legyen x(0) a kezdőállapot és nulladrendű tartó a bemenő jelen, ekkor

34. Diszkrét állapottér modell – diszkét átviteli fv. • Diszkrét idejű pulzus válasz függvény h(k) :Induljunk ki a diszkrét állapottér modell előbb levezett megoldásából és helyettesítsük be a kimeneti egyenletbe: ebből látható, hogy

35. Diszkrét állapottér modell – diszkét átviteli fv. • A diszkrét idejű átviteli függvény a diszkrét idejű pulzus válasz függvény z-transzformáltja lesz: illetve

36. Diszkrét állapottér modell - megfigyelhetőség • Def.: MegfigyelhetőségEgy szokásos módon megadott diszkrét idejű állapottér modellt megfigyelhetőnek nevezzük, ha véges k számú mintavételezési időponthoz tartozó bemenet-kimenet párok ismerete elégséges a kezdőállapot megadásához:

37. Diszkrét állapottér modell - megfigyelhetőség • Kalman-féle rangfeltétel: A szokásos módon megadott diszkrét idejű állapottér modellel leírt rendszer akkor és csak akkor megfigyelhető, ha az állapottér modell együtthatóiból képzett megfigyelhetőségi mátrix teljes rangú: és r(WO) = n

38. Diszkrét állapottér modell - irányíthatóság • Diszkrét idejű rendszereknél megkülönböztetjük a • irányíthatóságot • elérhetőséget • Az elérhetőség az erősebb fogalom: az a modell, amely elérhető az irányítható is, de az irányítható modell nem biztos, hogy elérhető is.

39. Diszkrét állapottér modell - irányíthatóság • Def.: IrányíthatóságEgy szokásos módon megadott diszkrét idejű állapottér modellt irányíthatónak nevezünk, ha tetszőleges x(0) kezdőállapothoz létezik olyan u(j) bemenőjel sorozat, hogy a rendszer a zérus állapotba x(k)=0 átvihető.

40. Diszkrét állapottér modell - elérhetőség • Def.: ElérhetőségEgy szokásos módon megadott diszkrét idejű állapottér modellt elérhetőnek nevezünk, ha tetszőleges x(0) kezdőállapothoz létezik olyan u(j) bemenőjel sorozat, hogy a rendszer a tetszőleges végállapotba x(k) átvihető.

41. Diszkrét állapottér modell - elérhetőség • Kalman-féle rangfeltétel az elérhetőségre: A szokásos módon megadott diszkrét idejű állapottér modellel leírt rendszer akkor és csak akkor elérhető, ha az állapottér modell együtthatóiból képzett elérhetőségi mátrix teljes rangú: és r(WC) = n

42. Diszkrét állapottér modell - stabilitás • Stabilitás • folytonos esethez hasonlóan értelmezhetjük itt is a a külső (BIBO) és a belső (nulla bementi) stabilitást • kiindulási modell itt is a diszkrét idejű, lineáris, időinvariáns állapottér modell.

43. Diszkrét állapottér modell - stabilitás • Def.: Belső stabilitás Tekintsük a x(k +1) = x(k)x(0)  0 azaz legyen a bemenet zérus, a kezdőfeltételek pedig nullától különbözőek. Akkor nevezzük ezt a modellt belső stabilitásúnak, ha az x(k) megoldás kielégíti az alábbi feltételt:

44. Diszkrét állapottér modell - stabilitás • Tétel:Egy diszkrét idejű állapottér modell akkor és csak akkor belső stabilitású, ha a  mátrix saját értékei az egység sugarú körön belül vannak:i() < 1