Sistemas e Sinais (LEIC) – Resposta em Frequência

1. Sistemas e Sinais (LEIC) – Resposta em Frequência Carlos Cardeira Diapositivos para acompanhamento da bibliografia de base (Structure and Interpretation of Signals and Systems, Edward A. Lee and Pravin Varaiya)

2. Sumário • Definições • Sistemas sem memória • Sistemas causais • Sistemas Invariantes no Tempo • Sistemas Lineares • Resposta em Frequência

3. Definições y x S • x  Entradas = [tempo → Reais ou Complexos] • y  Entradas = [tempo → Reais ou Complexos] • Tempo = Inteiros ou Reais

4. Exemplos (contínuos) • Ganho K • Delay T • Média Móvel

5. Exemplos (contínuos) • Reverse • Fast Forward • Câmara Lenta • Energia

6. Definições: Resposta Impulsiva • A saída do sistema pode-se calcular através da convolução da resposta impulsiva com a entrada

7. Exemplos (discretos) • Ganho K • Delay T (T inteiro) • Média Móvel

8. Exemplos (discretos) • Reverse • Down Sample (subamostrar) • Up Sample (sobreamostrar, introduzindo zero ou outro valor, nos pontos não definidos)

9. Resposta Impulsiva (discretos) • A saída do sistema pode-se calcular através da convolução da resposta impulsiva com a entrada

10. Sistema sem memória • Um sistema S não tem memória se existir uma função tal que: • Exemplos: Sem memória Sem memória Com memória

11. Definições: Sistema causal • Um sistema S é causal se a saída não depender de entradas futuras: • Se duas entradas forem iguais até um determinado instante t, a saída, até esse instante, é igual para ambas

12. Causalidade O sistema é causal porque para entradas x e w iguais até ao instante t, produz a mesma saída S(x) e S(w) até ao instante t.

13. Definições: Sistema Invariante no tempo • Considere-se a função Delay • Um sistema é invariante no tempo se, para qualquer delay T, tivermos: • Ou seja:

14. Exemplo: Sistema Invariante no tempo • Atrasar uma entrada produz um atraso equivalente na saída. As funções atraso e S podem ser aplicadas na ordem que quisermos.

15. Exemplos • S(x)(t)=x(t+3) • DT o S = x(t-T+3) • S o DT = x(t+3-T) • O sistema é invariante no tempo

16. Exemplos • S(x)(t)=x(-t) • DT o S = DT (S(x)(t))(t)= DT (x(-t))(t) =x(-t+T) • S o DT = S(DT(x)(t))(t)=S(x(t-T))(t)=x(-t-T) • Não é Invariante no Tempo

17. Exemplos • S(x)(t)=(x(t-1))2 • DT o S = DT (S(x)(t))(t)= DT ((x(t-1))2)(t) =(x(t-T-1))2 • S o DT = S(DT(x)(t))(t)=S(x(t-T))(t)=(x(t-1-T))2 • É invariante no tempo

18. Exemplos • É invariante no tempo • Não é invariante no tempo. Só o seria se a função x fosse nula para t<a

19. Exemplos - Convolução • É invariante no tempo

20. Linearidade • S(x+w)=S(x)+S(w) • S(ax)=aS(x) • S(ax+bw)=aS(x)+bS(w) • S(0) tem que ser 0 porque senão não seria possível garantir S(ax)=aS(x) para qualquer ‘a’

21. Linearidade

22. Exemplos • Média Móvel • Linear • Invariante no Tempo • Delay • Linear • Invariante no Tempo • Ganho • Linear • Invariante no Tempo • Reverse • Linear • Não Invariante no Tempo

23. Exemplos • Fast Forward • Linear • Não Invariante no Tempo • Câmara Lenta • Linear • Não Invariante no Tempo • Energia • Não Linear • Invariante no Tempo • Convolução • Linear • Invariante no Tempo

24. Resposta em Frequência • Teorema: • Se a entrada for uma exponencial complexa (ejwt) de determinada frequência, a saída também terá a mesma frequência • H(w) é a resposta em frequência do sistema

25. Exemplo:

26. Exemplo: |H(w)| Filtro passa baixo

27. Exemplo: fase

28. Cálculo da Resposta em Frequência O circuito RC (se normalizado de forma a R=C=1) tem a forma: Qual será a resposta em frequência ?

29. Cálculo da Resposta em Frequência do circuito R/C Filtro passa baixo

30. Exemplo: Resposta em Frequência da Média Móvel

31. Exemplo: Resposta em Frequência da função Delay A amplitude mantém-se, apenas a fase do sinal varia

32. Exemplo: Resposta em Frequência da função GanhoK Se K>0, a amplitude é multiplicada por K, a fase mantém-se. Se K<0, a amplitude é multiplicada por |K|, a fase varia de p.

33. Resposta em Frequência

34. Linear e Invariante no Tempo • Linear porque as derivadas são operadores lineares • Invariante no tempo se ai e bi não dependerem de t

35. Causalidade e Resposta Impulsiva • Considere-se um sistema definido pela resposta impulsiva:

36. Resposta em Frequência • A resposta em frequência de um sistema definido pela convolução da entrada com a resposta impulsiva é: • O que significa que a resposta em frequência de um sistema é a transformada de Fourier da resposta impulsiva

37. Resposta em Frequência de Sistemas Discretos Analogamente:

38. Exemplo: média móvel

39. Exemplo: média móvel + autoregressão De uma forma geral, a componente média móvel fica no numerador e a componente autoregressiva no denominador. Consegue-se escrever a resposta em frequência sem ter que fazer as contas

40. Exemplo: equação às diferenças genérica

41. Peridicidade da resposta em frequência para sistemas discretos Mas como x(n)=x’(n) : Em sistemas discretos, H(w) tem sempre período 2 e, por convenção, desenha-se apenas entre -  e 

42. Resposta em frequência de dois sistemas LTI em cascata • A resposta em frequência é o produto das respostas em frequência de cada sistema H(w) G(w) ejwt H(w)ejwt G(w)H(w)ejwt

43. Resposta em Frequência de dois sistemas com feedback H(w)[1+G(w)F(w)]ejwt [1+G(w)F(w)]ejwt ejwt F(w)ejwt H(w) + F(w)ejwt G(w)F(w)ejwt G(w) F(w)

44. Amplitude e fase • H(w)=|H(w)|ejH(w) ,H(w) representa o angulo de H(w) com o eixo real • |H(w)| é a amplitude da resposta em Freq. •  H(w)) é a fase da resposta em frequência

45. Exemplo:

46. Exemplo: • >> w=-2*pi:pi/1000:2*pi; • %embora bastasse de 0 a pi • >> H=(1+exp(-i*w))/2; • >> subplot(2,1,1) • >> plot(w,abs(H)) • >> subplot(2,1,2) • >> plot(w,angle(H))

47. Exemplo

48. Decibels • É vulgar medir a amplitude em dB

49. Propriedades (sinais reais)

50. Propriedades • Se a entrada for periódica de período p a saída é periodica com o mesmo período • Quando o sistema é real, H(w)=H*(-w) • |H(w)|=|H(-w)| → amplitude é par • H(w)=-H(-w) → fase é ímpar