Download
1 / 10
100 likes | 268 Views
Aplicatii ale teoriei numerelor in informatica.
E N D
Aplicatii ale teoriei numerelor in informatica Teoria numerelor este disciplina matematica ce se ocupa cu studiul proprietatilor numerelor naturale. Este considerata a fi ‘regina matematicii’, prin faptul ca rezultatele sale sunt aride si cu putine aplicatii in celelalte stiinte. Facand o paralela, matematica la randul ei este considerata ‘regina stiintelor’
Teorema. Pentru n>=3 si a,b,c apartine N* ecuatia urmatoare nu are solutii in multinea numerelor naturale nenule: an+bn=cn • Observatie:Teorema a fost enuntata in anul 1637 de catre matematicianul francez Pierre de Fermat. Acesta era cunoscut prin stilul lapidar al lucrarilor sale, de obicei nedand nici o indicatie de rezolvare in acele timpuri. Abia in 1993, folosind aparate de matematici superioare matematicianul englez Andreew Wiles, professor la Princetown, a reusit sa dea o demonstratie acestei teoreme, cunoscuta in literatura de specialitate drept marea teorema a lui Fermat. Aplicatie: Verificati teorema lui Fermat pentru cazul in care n=3 sau 4 si 1<=a,b,c<=100.
Rezolvare in pseudocod: • Start • Citeste N; • Pentru A<-1 la N executa • Pentru B<-A la N executa • Pentru C<-B la N executa • R<-|AN+BN-CN|; • Daca R=0 atunci • Scrie ‘teorema nu este adevarata’; • Sfarsit_daca • Sfarsit_pentru • Sfarsit_pentru • Sfarsit_pentru • Stop.
Problema: Fie o ecuatie de gradul II a*x2+b*x+c=0 unde a=1 iar b,c apartin lui N. Gasiti radacinile intregi ale ecuatiei( fara a folosi discriminantul delta) • Aplicatie: Rezolvati problema anterioare cu ajutorul calculatorului pentru 1<=b,c<=100.
Rezolvarea in pseudocod: • Start • Citeste B,C; • Ok<-false; • Pentru D<-1 la C executa • D2<-C div D; • Daca D2*D=-B atunci • Scrie D,D2; • Ok<-true; • Sfarsit_daca • Sfarsit_pentru • Daca ok=false atunci • Scrie ‘nu are solutii’ • Sfarsit_daca • Stop.
Teorema: Sirul numerelor prime este infinit.Demonstratie: Rationam prin reducere la absurd. Presupunem ca singurele numere prime sunt P1, P2, …, PN. Putem construi atunci numarul P1*P2* …*PN+1. Acest numar se dovedeste a fi si el numar prim. Contradictie. • Aplicatie: Verificati teorema pe cazul a cel mult 100 de numere prime. Cu alte cuvinte sa se constuiasca vectorul ce contine primele N numere prime (1<=N<=100).
Conjectura lui Goldbach: Orice numar par mai mare sau egal cu 4 poate fi descompus in suma de doua numere prime.OBS: Conjectura reprezinta o afirmatie matematica careia nu ni s-a dat o demonstratie, dar pentru care nici nu s-a gasit un contraexemplu. • Aplicatie: Verificati validitatea conjecturii lui Goldbach pentru numerele pare cuprinse intre 4 si 100.
Teorema: Orice numar intreg N poate fi decompus in mod unic sub forma N=P1Q1*P2Q2*…*PNQN.unde P1, P2,…, PN sunt numere prime distincte iar Q1,Q2,…,QN numere naturale strict mai mari ca 0. Acest lucru facand absractie de semnele numerelor prime si de ordinea in produs. • Aplicatie: Pentru un numar N cuprins intre 1 si 10000 sa se obtina cu ajutorul calculatorului descompunerea sa in factori primi. OBS:Aceasta teorema este cunoscuta drept teorema fundamentala a aritmeticii si demonstratia ei este dificila.
Rezolvare in pseudocod: • Start • Citeste N; • P<-2; • Cat_timp N>1 executa • Putere<-0; • Cat_timp N mod P=0 executa • Putere<-putere+1; • N<-N div P; • Sfarsit_cat_timp • Daca putere>0 atunci • Scrie P, ‘la puterea’, Putere • Sfarsit_daca • P<-P+1 • Sfarsit_cat_timp • Stop.
Tema pentru acasa: • 1.Problema: Pentru un numar N natural determinati numarul sau de divizori din multimea numerelor naturale. • Aplicatie: Rezolvati problema cu ajutorul calculatorului pentru N cuprins intre 1 si 100. • 2.Problema: Se numesc numere pitagorice tripletele de numere naturale nenule notate a,b,c, cu proprietatea ca : • a2+b2=c2. • Aplicatie: Determinati cu ajutorul calculatorului toate tripletele de numere pitagorice situate in intervalul [1…100]. Acelasi lucru pentru intervalul [1…1000]
