1 / 9

Singular Value Decomposition

Singular Value Decomposition. Josip Bakic 0036380715 Zagreb, 26. 11. 2003. Što je SVD?. Neke kvadratne matrice moguće je dijagonalizirati A = PDP -1 Olakšavanje računskih operacija na njoj, npr. potenciranje: A k = PD k P -1. Što je SVD?.

eron
Download Presentation

Singular Value Decomposition

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Singular Value Decomposition Josip Bakic 0036380715 Zagreb, 26. 11. 2003.

  2. Što je SVD? • Neke kvadratne matrice moguće je dijagonalizirati • A = PDP-1 • Olakšavanje računskih operacija na njoj, npr. potenciranje: • Ak = PDkP-1

  3. Što je SVD? • Nije moguće sve matrice rastaviti na takav način, no moguće je izvesti sljedeće: • A = QDP-1 • Postupak kojim se dobiva ovakav rastav matrice naziva se Singular Value Decomposition

  4. Singularne vrijednosti mxn matrice • Singularne vrijednosti općenite matrice A su kvadratni korijeni svojstvenih vrijednosti (eigenvalues) matrice ATA • Ako su svojstvene vrijednosti matrice ATA λ1,..., λn i vektori v1,..., vn odgovarajući svojstveni vektori, vrijedi: • ||Avi||2 = λi

  5. Postupak dobivanja SVD-a • Neka je A jedna mxn matrica. • ATA je onda simetrična i kao takva se može ortogonalno dijagonalizirati => rješavanjem karakteristične jednadžbe matrice det(ATA - λI) = 0 dobivamo njene svojstvene vrijednosti (λ1,..., λn), a onda i odgovarajuće svojstvene vektore {v1,..., vn}

  6. Postupak dobivanja SVD-a • Singularne vrijednosti matrice A su kvadratni korijeni svojstvenih vrijednosti matrice ATA σi = λi1/2 • Konstruiramo matricu Σ oblika =>

  7. Postupak dobivanja SVD-a gdje je D dijagonalna matrica na čijoj dijagonali se nalaze prvih r singularnih vrijednosti matrice A koje su sve različite od nule (r je ujedno i red matrice A): σ1 ≥ ... ≥ σr > 0 Bilokoji prikaz matrice A u obliku: A = UΣVT naziva se SVD-om matrice A, pri čemu je nužno da matrice U i V budu ortogonalne.

  8. Postupak dobivanja SVD-a • Za stupce matrice V uzimamo vektore {v1,...,vn} iz (I.), ali normirane. V = [ v1 v2 ... vn ] ove vektore nazivamo desnim singularnim vektorima matrice A • Za stupce matrice U uzimamo vektore {Av1,...,Avr}, također normirane: =>

  9. Postupak dobivanja SVD-a i proširene do ortonormirane baze prostora Rm(Gramm-Schmidt). Ove vektore nazivamo lijevim singularnim vektorima matrice A. • Za ovako dobivene matrice vrijedi jednakost: A = UΣVT

More Related