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5.3 Funciones Especiales

5.3 Funciones Especiales. Ecuación de Bessel de orden v (1) donde v  0, y x = 0 es un punto singular regular de (1). Las soluciones de (1) se llaman funciones de Bessel .

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5.3 Funciones Especiales

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  1. 5.3 Funciones Especiales Ecuación de Bessel de orden v (1)donde v  0,y x = 0es un punto singular regular de (1). Las soluciones de (1) se llaman funciones de Bessel. Lengender’sEquation de ordern (2)donde n es un entero no negativo, y x = 0 es un punto ordinario de (2). Las soluciones de (2) se llaman funciones de Legendre.

  2. La Solución de la Ecuación de Bessel Puesto que x = 0 es un punto singular regular, sabemos que existe al menos una solución de la forma . Entonces de (1), (3)

  3. De (3) tenemos la ecuaciónindicial r2– v2 = 0, r1 = v, r2 = −v. Cuandor1= v, tenemos (1 +2v)c1= 0(k + 2)(k + 2+2v)ck+2 + ck= 0ó (4)La elección de c1 = 0 implicac3= c5= c7= … = 0, asíqueparak = 0, 2, 4, ….,dejandoque sea k + 2 =2n, n = 1, 2, 3, …,tenemos (5)

  4. Así (6)

  5. Elegimos c0como valor específicodonde (1+ v)es la función gamma. Vease el Apéndice II. Hay una relación importante: (1 +) = ()Así que podemos reducir el denominador de (6):

  6. De ahí que podemos poner (6) como

  7. Funciones de Bessel de Primera Clase PodemosdefinirJv(x) mediante (7)y (8)En otraspalabras, la solucióngeneral de (1) en (0, ) esy = c1Jv(x) + c2J-v(x), v  entero(9) Fig 5.3

  8. Fig 5.3

  9. Ejemplo 1 Considere la EDHallamos v = ½,y la solución general en (0, ) es

  10. Funciones de Bessel de Segunda Clase Si v  entero,entonces (10)y la función Jv(x)son soluciones linealmente independientes de (1). Otra solución de (1) es y = c1Jv(x) + c2Yv(x). Como v  m, m un entero, (10) tiene la forma 0/0. De la regla de L’Hopital, la funcióny Jv(x)soluciones linealmente independientes de

  11. De ahí que para cada valor de v, la solución general de (1) es (11)Yv(x)se llama función de Bessel de segunda clase de orden v. Fig 5.4 ilustra y0(x)y y1(x).

  12. Fig 5.4

  13. Ejemplo 2 Considere la EDHallamos v = 3,y de (11) la solución general en (0, ) es

  14. EDs Solubles en Términos de Funciones de Bessel Sea t = x,  > 0,en (12)entonces por la regla de la cadena,

  15. Así, (12) pasa a serLa solución de la anterior ED esy = c1Jv(t) + c2Yv(t)Sea t = x, tenemosy = c1Jv(x) + c2Yv(x)(13)

  16. Otra ecuación se llama ecuación de Bessel modificada de orden v, (14) Ahora dejamos que sea t = ix, entonces (14) se transforma en Las soluciones son Jv(ix)y Yv(ix).Una solución de valores reales, llamada función de Bessel modificada de primera clase de orden v se define como (15)

  17. Análogamente a (10), la función de Bessel modificada de segunda clase de orden v entero se define como (16)y para cualquier v = n entero,Puesto que Iv y Kvson linealmente independientes en (0, ), la solución general de (14) es(17)

  18. Consideramosotra ED importante: (18)La solución general de (18) es (19)Aquí no se especifican los detalles.

  19. Ejemplo 3 Hallar la solución general de en (0, ) SoluciónEscribiendo la ED comorecurriendo to (18)1 –2a = 3, b2c2 = 9,2c – 2 = −1, a2 – p2c2 = 0luego a = −1, c = ½ .Además tomamos b= 6, p = 2.De (19) la solución es

  20. Ejemplo 4 Recordamos el modelo de la Sec. 3.8Se debe comprobar que tomandose tiene

  21. Ejemplo 4 (2) La solución de la nueva ecuación es x = c1J0(s) + c2Y0(s),Si volvemos a sustituirobtenemos la solución.

  22. Propiedades (1) (2) (3) (4)

  23. Ejemplo 5 Obtener la fórmula SoluciónDe la ecuación (7) se deduce

  24. Ejemplo 5 (2)

  25. El resultado del ejemplo 5 puede escribirse comoque es una ED lineal en Jv(x).Multiplicando ambos lados por el factor de integración x-v, se obtiene (20)Se puede demostrar que (21)Cuando y = 0, se deduce del (14) que(22)

  26. Funciones de Bessel Esféricas Cuando el ordenves la mitad de un enteroimpar, estoes, 1/2, 3/2, 5/2, …..La función de Bessel de primeraclaseJv(x) puedeexpresarsecomofunción de Bessel esférica :Como (1 + ) = ()y (1/2) = ½,entonces

  27. De ahí quey

  28. La Solución de Ecuación de Legendre Como x = 0 es un puntoordinario de (2), usamosDespués de sustituir y simplificar, obtenemoso en lasformassiguientes:

  29. Usando (25), para al menos |x| < 1, obtenemos

  30. Observaciones: Si n es un entero par, la primera serie termina, mientras que y2 es una serie infinita. Si n es un entero impar, la serie y2 termina con xn.

  31. Polinomios de Legendre Los siguientes polinomios de orden n son polinomios de Legendre: (27)

  32. Son a suvezsolucionesparticulares de lasEDs.(28) Fig 5.5

  33. Fig 5.5

  34. Propiedades (1) (2) (3) (4) (5)

  35. Relación de Recurrencia Sin comprobación, tenemos (29)que es válida para k = 1, 2, 3, …Otra fórmula puede generar los polinomios de Legendre por diferenciación. La fórmuladeRodrigues para estos polinomios es: (30)

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