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数学与科技进步 沈 灏 2013.0 4 .2 7 haoshen@sjtu

数学与科技进步 沈 灏 2013.0 4 .2 7 haoshen@sjtu.edu.cn. 一 . 数学在科学中的地位. 1.1. 何谓科学？何谓技术？ 科学 (Science): 是对客观规律的认识、揭示和描述 的系统知识； 技术 (Technoledge): 则是人们为了各种特定的目的 在科学理论指导下从事的种种发明与创造等等 . “ 科学”一词源于拉丁文 scientia, 原为“知识”与“学问”之意. 1.2. 梁启超关于 “ 学 ” 与 “ 术 ” 的定义

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数学与科技进步 沈 灏 2013.0 4 .2 7 haoshen@sjtu

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  1. 数学与科技进步沈 灏2013.04.27 haoshen@sjtu.edu.cn

  2. 一.数学在科学中的地位 1.1.何谓科学？何谓技术？ 科学(Science):是对客观规律的认识、揭示和描述 的系统知识； 技术(Technoledge):则是人们为了各种特定的目的 在科学理论指导下从事的种种发明与创造等等. “科学”一词源于拉丁文scientia,原为“知识”与“学问”之意.

  3. 1.2.梁启超关于“学”与 “术”的定义 学也者，观察事物而发明真理者也；术也者，取所发现之真理致之用者也.譬如以石投水则沉，投以木则浮.观察此事实以证明水之右浮力，此物理也.应用此真理以驾驶船舶，则航海术也.研究人体之组织，辨别各器官之机能，此生理学也.应用此真理以疗治疾病，则医术也.学与术之区分及其相关系，凡百皆准此. 梁启超,《学与术》，1911

  4. 1.3.中译名“科学”之由来 明清时期，与science 意义最相近的中文词语为“格致”,即“格物致知”之意,徐光启称之为“格物穷理之学”. 明治维新时期,日本学者西周将science译为“科学”, 其意为“分科之学”. 在古代中国,“分科之学”与“分科取士”的科举考试相关,因此，虽然“科学”一词在中国古已有之，然而它只和科举有关,而和science无关.

  5. 十九世纪九十年代，康有为首次将“科学”作为science 的译名从日本引入中国. 自此至1905年,“科学”与“格致”并用. 1905年,清政府废科举,兴新学.自此以后，“科学”逐步取代“格致”,专以指代science.

  6. 1.4.自然科学与自然哲学 “科学”一词,原来主要是指自然科学(Natural science）也称自然哲学（Natural Philosophy）. 例如，Newton的名著叫作《自然哲学的数学原理》. 广义的“科学”不但包括自然科学,还包括社会科学，人文科学等大类.

  7. 1.5. 科学与技术之间的关系 学为术之体，术为学之用 上述说法不无道理，但失诸片面: 技术固然要接受科学理论的指导，必须符合科学规律才有可能有所发明，有所创造； 反之,技术的进步也会为科学研究提供更多更好的 方法和手段，促进科学的发展.

  8. 科学是不讲功利的，而技术是一定要讲功利的.科学是不讲功利的，而技术是一定要讲功利的. 从个人来说，研究科学的动机是什么？ 是人的与生俱来的好奇心， 是人们探究未知世界奥秘的无穷无尽的乐趣.

  9. 1.8.科学的一种分类法: 自然科学—“物理”之学； 社会科学—“事理”之学； 人文科学—“情理”之学； 哲学； 数学.

  10. 1.9.六门基础科学 数,理,化,天,地,生

  11. 1.10.科学精神 最简洁的表达可概括为两个字： 求 是

  12. 1.11.数学之用 数学的计算功能； 数学是描述科学理论的合适语言； 数学是发现科学规律的锐利武器； 数学是培养学生思维能力的理想载体； 数学的哲学意义； 数学的美学价值.

  13. 二.数学的计算功能 2.1. 数学为计算提供方法和工具 数学是一门艺术，是一门通过发展概念和技巧以使人们较为轻快地前进，从而避免靠蛮力计算的艺术.

  14. 2.2. 从变中找不变 例2.1. 求前n 个自然数的和: S(n)= 1+2+3+……+n 解：1 + 2 + 3 +…...+(n-1) + n n + (n-1) +(n-2) +……+ 2 + 1 ------------------------------------------------- (n+1)+(n+1)+(n+1)+……+(n+1)+(n+1) 因此得： S(n)= n(n+1)/2.

  15. 2.3. 待定系数法之应用 例 2.2. 求前n个 自然数的 平方之和. 例2.3. 设 k 为正整数，求前n个自然数的k次方之和. 逻辑用于证明,直觉用于发明!

  16. 2.5.级数求和之例. 计算： 1 ∕ 2+ 1 ∕ 6+1 ∕ 12 + 1 ∕ 20 + 1 ∕ 30 + 1 ∕ 42 + 1 ∕ 56 + 1 ∕ 72 + 1 ∕ 90 = (1- 1 ∕ 2) + (1 ∕ 2 – 1 ∕ 3) + (1 ∕ 3- 1∕ 4) + (1 ∕ 4 - 1∕ 5) + (1 ∕ 5- 1 ∕ 6)+ (1 ∕ 6 – 1 ∕ 7) + (1 ∕ 7 – 1 ∕ 8) + (1 ∕ 8 – 1 ∕ 9) + (1∕ 9 - 1 ∕ 10) = 1 – 1 ∕ 10 = 9 ∕ 10.

  17. 2.6. 斐波那契数列 1 , 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144，… … 前后相邻两项之比 趋近于 黄金比： (√5 – 1) ∕ 2 ≈ 0.618

  18. 2.8.朱载堉 (明朝,1536—1611)为了研究乐律学，发明十二平均律，用珠算 求2 的12次方根的近似值，精确到25位有效数字: 2的12次方根 ≈ 1.0594 6309 4359 2952 6456 1825.

  19. 2.9. 牛顿(1642-1727)和莱布尼茨(1646-1716)发明 微积分. 微分可用来求变化率： 切线的斜率；速度和加速度；… … … 积分可用来求 不规则图形的面积和体积; 运动物体所走的路程； … … … …

  20. 2.10. 计算数学与计算机 十九世纪中叶以前的数学大家一般都是计算能手，L.Euler (1707-1783)与K.Gauss（1777-1855)都在其一生中把很大精力花在数值计算以及计算方法的改进上.自电子计算机问世以后，即能以过去计算专家所无法比拟的速度与规模进行数值计算.π的数值计算曾长期作为判断计算技术水平的一个标准.

  21. 十九世纪中叶,π的近似值算到400位.英国计算 家W.Shanks（1812-1882）花了二十多年时光， 把π算到707位，传为美谈.不过到1946年通过计 算机发现第528位是错误的.1949年由计算机求π 的近似值,一下子精确到小数点后2000多位,十年 后推进到十万位，二十年后天推进到一百万位.

  22. 三.数学是描述科学规律的合适语言 万物皆数. --(古希腊）毕达哥拉斯 大自然是一部书, 这部书使用数学的语言写成的. --意大利）伽利略 没有哪一门科学能比数学更为清晰的阐明自然界 的和谐性.—保罗.卡洛斯

  23. 如果物理定律在数学形式上不美,那就是一种理 论还不够成熟的标志,说明理论有缺陷, 需要改进. 我没有试图直接解决某一物理问题,而只是试图 寻找某种优美的数学. （英）狄拉克

  24. 数学之所以有高的声誉,还有一个理由,那就是数数学之所以有高的声誉,还有一个理由,那就是数 学给予精确自然科学以某种可靠性.没有数学,这 些科学是达不到这种可靠性的. 理论科学家在他探索理论时,就不得不愈来愈从纯 粹数学的形式考虑,因为实验家的物理实验不能把 他提高到最抽象的领域中去.我们这个世界的图景可以由音乐的音符组成,也可 由数学的公式组成”. —（美）爱因斯坦

  25. 3.1. 天文学 天文学的研究对象是最纯洁,最美好,最有意义的 问题.无论是研究宇宙的旋转,天体的运行,还是研 究天体的大小,相互之间的距离变化,都可以使人 得到一种美的享受.天文学的研究目的就是为了 寻求宇宙是如何遵循数和数的关系和谐的运行, 即宇宙可以用数学关系来描述,却无法用别的方 法所替代. —（波兰)哥白尼:《天体运行论》

  26. 3.2.圆锥曲线理论（古希腊）与天体力学 开普勒是世界上第一个用数学公式描述天体运动的人.他使天文学从古希腊的静态几何学转化为动力学. 开普勒三定律证明了毕达哥拉斯主义核心的数学原理. 现象的数学结构提供了理解现象的钥匙.

  27. 开普勒行星运动三定律： (a). 行星在椭圆轨道上绕太阳运动，太阳位于此椭 圆的一个焦点上； (b). 从太阳到星星的向径在相等的时间内扫过相同 的面积； (c). 行星绕太阳公转的周期的平方与椭圆轨道的半 长轴的立方成正比.

  28. 3.3.伽利略与力学科学的建立 除了牛顿之外，伽利略要算是近代科学最伟大的奠基者了. 与亚里士多德不同，伽利略认为，科学必须寻求数学描述，而不是物理解释. 这个方法开创了科学的新纪元和物理科学数学化的进程. 伽利略建立了力学科学，设计和树立了近代科学的思维模式.

  29. 1650年前后，在科学家头脑中占据最主要地位 的问题是： 能否在伽利略的地上物体运动定律和开普勒的天体运动定律之间建立一种联系？ 他们确信, 上帝用数学化的思想和方式设计了世界.

  30. 4.4. 万有引力定律 牛顿在伽利略和开普勒工作的基础上，发现了万有引力定律,给出了万有引力公式： F = G • Mm ∕ r 2 这是一个伟大的发现. 世界上从来没有运 用方程式到到过如此程度的单一化和统一化.牛顿的功绩在于，他为宇宙奠定了新秩序，以最确凿的证据证明了自然界是按数学设计的.

  31. 1679年, 牛顿证明： (1)行星以一个焦点为力的中心的圆锥曲线轨道上运动(开普勒定律）,由此可推出平方反比律； (2)反过来,如果假定在给定初始条件下解得唯一性, 则由平方反比律也可推出(行星)做圆锥曲线轨道 运动; (3) 从1684年到1687年的写书过程中,牛顿发现, 引力与物体质量成正比,引力与质量有恒定联系. 由此得出引力的“万有性”.

  32. 3.5. 牛顿的万有引力的思想从1666年开始酝酿到 1687年巨著出版，整整经历了二十年.在这期间许 多人都有引力概念，并知道平方反比律.胡克甚至 说他能根据平方反比律对行星运动做出完善的解 释.但这需要真正过硬的数学功夫,胡克等人是不具 备的,在当时只有牛顿才能完成这项伟业,其结果就 是《原理》一书的诞生.

  33. 第三章.数学是描述科学规律的合适语言 3.6. 自然哲学的数学原理 近代科学诞生的标志是1687年牛顿《自然哲学的 数学原理》一书的出版. 牛顿真正给近代科学确定了 前所未有的特征： (1)给出一般的、普遍的概念、理论和体系,特别是万 有引力; (2)建立数学模型,给出数学解法,导出定量的规律； (3)根据数学模型可以通过观察和实验检验的预言； (4)提出新问题，为未来学科发展指明方向.

  34. 牛顿不仅为物理学和力学奠定基础，而且通过数牛顿不仅为物理学和力学奠定基础，而且通过数 学化使之成为精密科学.这就使物理学或力学不再停 留在一方面是哲学思辨、另一方面是唯象的经验， 两方面脱节的前科学阶段. 而在由前科学上升为科 学、由哲学进化为科学、由定性精密化为定量的过 程中，数学起了关键作用.

  35. 3.7. 拉格朗日与他的《分析力学》 18世纪的数学家和科学家继承牛顿的思想继续前进. 拉格朗日的《分析力学》是牛顿数学方法的典范，对力学作了完全数学化的处理. 这种方法也用到了流体力学、弹性力学和电磁 学.定量的数学化方法构成了科学的本质.真理大 多存在于数学中，数学支配一切，自然法则就是 数学法则,18世纪最伟大的智者对此深信不疑.

  36. 3.8.无用与有用之间 方程X^2+1=0的求根- - 复数与复数的几何表示 复数理论与复变函数论 流体力学， 空气动力学， 麦克斯韦的电磁理论……

  37. 3.9. 方程的根式解问题 一元三次方程(卡当公式); 一元四次方程(费拉里公式). 一元五次方程的求根公式是否存在？

  38. 3.10.群论(关于对称性的理论）与量子力学 阿贝尔(1802-1829)证明，一般的5次或5次以上的代数方程不存在根式解; 伽罗华(1811-1832)进一步给出一种方法，利用这种方法，可以判断给定的一个任意次数的代数方程是否可以根式解.由此诞生了纯粹数学的一个极其重要的分支—群论. 这一高度抽象的数学理论后来成了研究量子力学的最合适的数学语言和工具.

  39. 3.11.数学与生物学 孟德尔(1822—1884)于1865年发现遗传定律,但知道1900年前后才被重新发现,这是生物学上一大突破,做数学上也刺激了数量遗传学的发展,于是,生物学与数学正式结合在一起.1939年,数学生物学成为一门正式学科而今,分子生物学,DNA测序,种群遗传,生物分类等等,数学在生物科学上的应用方兴未艾,前程无限.

  40. 3.12. 数学与经济学 作为一门科学,首先需要搞清基本概念,描述可观的经济现象,阐述经济是如何发展的,然后仿照自然科 学的方法建立经济模型,研究其中规律,特别是变量之间的函数关系以及各种量如何演化的微分方程. 若由此再沿着数学化道路发展,即得抽象的数理经济学;若沿着联系实际的道路往前,就会得出符合实际的经济学结论,这首先需要对函数或方程的系数按实际情况进行估算,这时还需要运用统计工具及其他数学方法来确定.确定之后还需解方程以得出结论.

  41. 诺贝尔经济学奖获得者大多是数学家或数学功底深厚的经济学家.诺贝尔经济学奖获得者大多是数学家或数学功底深厚的经济学家. 一个典型的例子:《美丽心灵》中的纳什

  42. 四.数学是探索未知世界的锐利武器 无用之用，众用之基. ------（明朝）徐光启 数学是科学的大门和钥匙, 忽视数学必将伤害所有的知识, 因为忽视数学的人是无法了解任何其他科学乃至世界上任何其他事 物的. ——（英）R .培根

  43. 没有哪一门科学能比数学更为清晰的阐明自然界的和谐性.没有哪一门科学能比数学更为清晰的阐明自然界的和谐性. —保罗.卡洛斯 数学的发展和国家的繁荣昌盛密切相关. ——（法）拿破仑

  44. 音乐能激发或抚慰情怀， 绘画能使人赏心悦目， 诗歌能动人心弦， 哲学能使人获得智慧， 科技可以改善物质生活， 而数学则能提供以上的一切. ——（美）克莱因

  45. 4.1. 海王星的发现 天王星於1781年3月13日被威廉.赫歇尔发现. 但是到1830年,对天王星的观察与理论之间有了不能容忍的误差,已经达到20”,1850年更达到2’.从表面上看,似乎万有引力定律的正确性已值得怀疑.

  46. 两位青年数学家— 剑桥大学23大学生亚当斯(1819-1892)和法国青年数学家勒威亚(1811-1877)认为,偏差是由某个未知行星的扰动所引起. 亚当斯经过近两年的思考和计算，证明天王星运行上的偏差是由一未知行星的摄动引起，他将结果通知英国有关机构，但未受到重视.

  47. 法国勒威耶于同年(1945年）研究同一问题,完成了两个报告，发表于1946年6月1日与8月31日.法国勒威耶于同年(1945年）研究同一问题,完成了两个报告，发表于1946年6月1日与8月31日. 1836年9月18日，勒威耶致信柏林天文台天文学家加耳,告诉他未知行星的坐标.加耳在9月23日收到来信的当天晚上,将望远镜对准宝瓶座内勒威耶所指的那一点，看到一颗星不在星图上面,这正是那颗未知行星.9月25日.加耳给勒威耶去信说:“先生,你给我们指出位置的那颗行星是真实存在的.”这颗星就是海王星. 海王星——由数学家计算出来的行星.

  48. 加耳在9月23日收到来信的当天晚上,将望远镜对准宝瓶座内勒威耶所指的那一点，看到一颗星不在星图上面,这正是那颗未知行星.9月25日.加耳给勒威耶去信说:“先生,你给我们指出位置的那颗行星是真实存在的.”这颗星就是海王星.加耳在9月23日收到来信的当天晚上,将望远镜对准宝瓶座内勒威耶所指的那一点，看到一颗星不在星图上面,这正是那颗未知行星.9月25日.加耳给勒威耶去信说:“先生,你给我们指出位置的那颗行星是真实存在的.”这颗星就是海王星. 海王星——由数学家计算出来的行星.

  49. 4.2. 化学元素周期律 在门捷列夫的发现之前数十年,科学家才从化合物中分离出元素,定出大约60种元素的性质.纽兰兹、迈尔等科学家已经发现元素之间隐藏着某种秩序的征兆.1866年,纽兰兹提出“八行周期律”理论,指出当元素按原子量递增顺序排列时,每八个元素的性质相类似.门捷列夫更进一步,他花了数年时间进行研究分析,按质量、性质、与氢碳氧合成的方式、形成的盐类、结晶的形状等将元素分类,在卡片上列出元素及其性质,反复重排数百次.1869年终于发现关键所在,提出8点研究报告：

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