Lezione 10 Misure d’impulso

1. B B Lezione 10Misure d’impulso Un apparato che mi permette una misura di tracce ( insieme di camere MWPC o a deriva o silici) posto in un campo magnetico (possibilmente uniforme) mi fornisce una misura dell’impulso delle particelle ( misura dib dalla misura del raggio di curvatura). Rivelatori di Particelle

2. Lezione 10Misure d’impulso • Magneti per esperimenti a targhetta fissa il più comune magnete usato in esperimenti a targhetta fissa è il magnete bipolare. All’uscita della targhetta i prodotti della reazione sono concentrati in un cono attorno alla direzione della particella incidente, a causa del pT limitato ( ~350 MeV ) e del boost di Lorentz lungo la direzione del fascio. L’apertura del cono è approssimativamente dato dal rapporto pT/pL(con pT impulso trasverso e pL impulso longitudinale rispetto alla direzione della particella incidente)  non serve un magnete con una grande apertura. Rivelatori di Particelle

3. x y z fascio targhetta Camere per trovare le tracce Lezione 10Misure d’impulso Rappresentazione schematica di uno spettrometro magnetico Rivelatori di Particelle

4. Lezione 10Misure d’impulso La forza di Lorentz è : Con |p| costante. La forma di questa equazione cioè dp/dt ortogonale ap ed a Bimplica moto circolare. Rivelatori di Particelle

5. ŷ x ŝ r Lezione 10Misure d’impulso Per ricavare il raggio di curvatura conviene utilizzare un sistema di coordinate curvilineo: In questo sistema di riferimento l’equazione di Lorentz diventa: con x, y ed s sistema destrorso. r raggio di curvatura s coordinata curvilinea B diretto lungo l’asse y (By) a Rivelatori di Particelle

6. Lezione 10Misure d’impulso L’equazione di Lorentz : può essere semplificata osservando che |p| = costante e v= velocità   r = (p/qBy) Rivelatori di Particelle

7. L B q s r q Lezione 10Misure d’impulso La deflessione nel piano xs si vede dalla figura:. 2sin(q/2)=L/r Il raggio di curvatura della traiettoria è molto maggiore della lunghezza del magnete L  l’angolo di deflessione q può essere approssimato a : x A causa della deflessione dovuta al campo magnetico la particella acquista un impulso trasverso addizionale: Dpx=2psinq/2~pq=LqBy Rivelatori di Particelle

8. Lezione 10Misure d’impulso Se il campo magnetico non è uniforme, ma varia lungo L(z) allora: Rivelatori di Particelle

9. Lezione 10Misure d’impulso La precisione della misura dell’impulso è influenzata da : • Precisione dell’apparato tracciante • Scattering multiplo Rivelatori di Particelle

10. x q/2 z q Lezione 10Misure d’impulso Consideriamo una configurazione conB diretto lungo l’asse y, il fascio incidente sulla targhetta diretto lungo z dato il pT limitato le particelle prodotte nella reazione sono dirette quasi lungo z. Le traiettorie delle particelle secondarie entranti nello spettrometro sono misurate prima e dopo il magnete. Consideriamo per semplicità una particella che entra nel magnete diretta lungo z. Poiché il campo magnetico è diretto lungo y la deflessione delle particelle è nel piano xz. Rivelatori di Particelle

11. Lezione 10Misure d’impulso Precisione dell’apparato tracciante. Le particelle prima di entrare nel magnete e dopo essere uscite sono rettilinee  misura di q. Per determinare q devo avere almeno 4 punti ( 2 prima e 2 dopo il magnete), perché mi servono 2 direzioni. Misure di posizione x q h Rivelatori di Particelle

12. Lezione 10Misure d’impulso Se ogni punto ha lo stesso errore s(x) la varianza dell’angolo di deflessione sarà: Siccomeq=x/h essendo h il braccio di leva per la misura angolare prima e dopo il magnete  E ricordando che: s(p) e’ dunque proporzionale a p2. s(q)=2s(x)/h Rivelatori di Particelle

13. Lezione 10Misure d’impulso A seconda della qualità dell’apparato si possono ottenere risoluzioni : Se definiamo impulso massimo misurabile quello per cui: Si ha che uno spettrometro magnetico con risoluzione data dalla (1) può misurare impulsi fino a : (1) Rivelatori di Particelle

14. Lezione 10Misure d’impulso L’impulso di una o più particelle secondarie è, di norma, misurato in un magnete con la gap in aria  l’effetto dello scattering multiplo è di regola piccolo se paragonato all’errore dovuto alla misura di q nel tracciatore. Se però vogliamo misurare l’impulso di m, i quali non interagiscono forte ed, ad energie inferiori alle centinaia di GeV, non fanno Bremsstrahlung, spesso si usa un magnete di ferro magnetizzato pieno  alto scattering multiplo. Rivelatori di Particelle

15. x z DpTms p ferro L Lezione 10Misure d’impulso Unmche attraversa un magnete di ferro pieno di spessore L acquisterà un impulso trasverso DpTms, dovuto allo scattering multiplo DpTms = psinqrms~ pqrmsovvero DpTms ~ 19.2(L/X0)½ [MeV/c](b = 1) campo magnetico non uniforme: Siccome la deflessione dovuta al campo magnetico ènella direzione x (particella lungo z e B lungo y, solo la componente x èquella che ci interessa Dpxms = 13.6(L/X0)½. La risoluzione in impulso, a causa dello scattering multiplo, diventa, nel caso di Rivelatori di Particelle

16. Lezione 10Misure d’impulso Sia l’angolo di deflessione q dovuto al campo magnetico, che l’angolo di scattering multiplo sono inversamente proporzionali all’impulso p la risoluzione (relativa) in impulso non dipende dall’ impulso della particella incidente. Per spettrometri di ferro pieno (X0= 1.76 cm) si considerano valori tipici di B = 1.8 T (saturazione del ferro)  L in metri Se L = 3 m  Rivelatori di Particelle

17. s(p)/p|traccia errore totale s(p)/p|ms Lezione 10Misure d’impulso Sommando l’ errore dovuto all’incertezza della misura di posizione  Per un magnete in aria (X0=304m) l’errore dovuto allo scattering multiplo è molto piu’ piccolo.  per un magnete sempre di 1.8 T e lungo 3 metris(p)/p|ms = 0.08 % s(p)/p % 30 20 10 p [Gev/c] 100 200 300 Rivelatori di Particelle

18. Lezione 10Misure d’impulso Un altro metodo utilizzato per determinare l’impulso (per un magnete in aria è la misura della sagitta (s). La sagitta s è connessa al raggio di curvatura r ed all’angolo di deflessione q tramite : Poiché per particelle relativistiche q è piccolo Se B è in [T] L in [m] e p in [GeV/c]  Rivelatori di Particelle

19. Lezione 10Misure d’impulso Per determinare la sagitta servono almeno 3 misure di posizione. Questo si può ottenere con una camera all’ingresso (x1), una al centro (x2) ed una all’uscita (x3) del magnete. Poiché: Assumendo risoluzioni s(x) uguali per le 3 camere  Per cui la risoluzione in impulso diventa: Se la traccia è misurata in N punti equispaziati lungo la lunghezza del magnete L, si può dimostrare che la risoluzione in impulso dovuta all’errore della misura della traccia è: Per B=1.8 T, L=3 m, N=4 e s(x)=0.5 mm Se le N>>4 misure sono distribuite su L a k intervalli (L=kN)  Rivelatori di Particelle

20. Punto d’interazione B Fascio 2 Magnetebipolare Magneti di compensazione Lezione 10Misure d’impulso • Magneti per esperimenti ad un Collider. A seconda del tipo di anello di accumulazione possono essere usati diversi tipi di magneti. Per protone-protone o antiprotone-protone possiamo usare un magnete bipolare, ma attenzione vengono deflessi anche i fasci incidenti  servono dei magneti di compensazione, ma con gradiente di campo opposto: Fascio 1 Rivelatori di Particelle

21. Punto d’interazione Fascio 2 B B Fascio 1 Lezione 10Misure d’impulso Un magnete bipolare può autocompensarsi se si usa la configurazione split-field. In questo caso nella zona di giunzione dei dipoli il campo è tutt’altro che omogeneo  impossibile misure d’impulso per particelle prodotte ad angolo polare ~ 90o. Rivelatori di Particelle

22. Lezione 10Misure d’impulso Il magnete toroidale non disturba i fasci del collider, in quanto il campo è nullo nella zona dei fasci. Fra i 2 cilindri B è circolare e di intensità ~1/r. Lo svantaggio maggiore in un toro è lo scattering multiplo nel cilindro interno del toro e nei suoi avvolgimenti. risoluzione della misura d’impulso dominata dallo scattering multiplo. Cilindro esterno del toroide I B Punto di interazione Cilindro interno del toroide Rivelatori di Particelle

23. Giogo cilindrico I B Punto d’interazione Lezione 10Misure d’impulso I magneti più comunemente usati in un collider sono quelli solenoidali. In questo caso I fasci viaggiano paralleli al campo magnetico quindi non sono disturbati dal magnete ( a parte effetti di bordo ). Sia toroidi che solenoidi non causano radiazione di sincrotrone  Vanno bene sia per anelli di collisione di protoni che di elettroni. Rivelatori di Particelle

24. Lezione 10Misure d’impulso In un solenoide i tracciatori sono installati all’interno del solenoide stesso e sono cilindrici. Il campo magnetico (solenoidale quindi // ai fasci) agisce solo sulla componente trasversa dell’ impulso delle particelle  Doves(x)è la risoluzione per la coordinata nel piano ortogonale all’asse dei fasci. Per determinare l’impulso devo misurare anche pL (componente longitudinale dell’impulso)  Rivelatori di Particelle

25. z P y f Q x Lezione 10Misure d’impulso Utile usare coordinate cilindriche. In questo caso le coordinate sonor, f e z Considerando un generico punto P e la sua proiezione Q sul piano xy, la coordinata z indica la distanza PQ. Con r si denota la distanza dall’origine del punto Q, mentre f individua l’angolo che si forma fra il vettore r e l’asse x. Per passare dal sistema cilindrico a quello cartesiano avremo: x=rcosf y=rsinf z=z e per passare dal sistema cartesiano a quello cilindrico: r=(x2+y2) f=arctan (y/x) z=z Rivelatori di Particelle

26. Lezione 10Misure d’impulso Utile usare coordinate cilindriche  r f m- m- q z m+ m+ punto d’interazione proiezione rf proiezione rz Rivelatori di Particelle

27. Lezione 10Misure d’impulso Se misuriamo N punti lungo una traccia di lunghezza totale L (m) con un’accuratezza srf (m) in un campo magnetico B (T), la risoluzione nell’impulso trasverso e’: Oltre all’errore sulla traccia dobbiamo considerare anche lo scattering multiplo: Rivelatori di Particelle

28. pT q r z Lezione 10Misure d’impulso L’impulso totale della particella è ottenuto da pT e dall’angolo polare q: Come nel caso del piano rf (trasverso) anche la misura dell’angolo polare ha un errore, sia dovuto alla risoluzione del tracciatore, sia allo scattering multiplo. A questa s dobbiamo sommare in quadratura l’errore dovuto allo scattering multiplo Nel caso di una misura di 2 sole z Se la traccia è misurata in N punti equidistanti si avrà: dove p è in GeV/c, l è la lunghezza di traccia in unità X0 e b=1. A parte il (3)-1/2è la formula usuale dello scattering multiplo. Rivelatori di Particelle

29. l q Dr qpiano Lezione 10Misure d’impulso spiegazione di 1/(3)1/2….. L’angolo di scattering multiplo <q> che ci interessa per la misura dell’angolo polare deve essere inteso come il rapporto dello spostamento della traccia Dr ( a causa dello scattering multiplo ) diviso per la lunghezza di traccia l. Nei solenoidi si usano normalmente camere a bassa massa come tracciatori  possiamo ignorare lo scattering multiplo. Rivelatori di Particelle

30. Lezione 10Misure d’impulso Concludendo: dalla notiamo che la precisione migliora aumentando BL2. Migliora solo come (N)1/2 aumentando N, dove N è il numero di misure Rivelatori di Particelle