Bråk och decimaltal och procent

1. Bråk och decimaltal och procent Mål, undervisning och resultat Wiggo Kilborn 2011

2. Att skriva en lokal plan Börja med det Centrala innehållet Bryt ner detta i mål och delmål. • Gör kriterieuppgifter. • Hur hänger de samman? • Vilka förkunskaper krävs? • På vilket sätt ska man behärska innehållet? • Hur vet man att ett mål är uppnått? Wiggo Kilborn 2011

3. Hur vet man att ett mål är uppnått? Till varje mål/delmål bör det finnas en diagnos. Diagnosen bör ge besked om vilka elever som nått delmålet respektive vilka som saknar förkunskaper för att nå nästa mål/delmål. Någon måste ges personligt ansvar för att alla elever nått uppställda mål. Wiggo Kilborn 2011

4. Planering av Bråk och Decimaltal Området består av sju diagnoser. • BD1. En del av en hel. (Nämnarens betydelse) • BD2. Flera delar av en hel. (Täljarens betydelse) • BD3. Del av ett antal • BD4. Bråk som tal • BD5. Begreppsförståelse av grundläggande operationer • BD6. Decimaltal • BD7. Grundläggande operationer/räkning med decimaltal. Wiggo Kilborn 2011

5. En del av en hel. Nämnarens betydelse Hur stor del är skuggad? Wiggo Kilborn 2011

6. En del av en hel. Nämnarens betydelse Hur stor del är skuggad? Är en fjärdedel skuggad? Wiggo Kilborn 2011

7. En del av en hel. Nämnarens betydelse Hur stor del är skuggad? Är en fjärdedel skuggad? Skugga en tredjedel Wiggo Kilborn 2011

8. Skugga en fjärdedel av figuren Wiggo Kilborn 2011

9. Skugga en fjärdedel av figuren Skriv med siffror En tredjedel En sjättedel Wiggo Kilborn 2011

10. Skugga en fjärdedel av figuren Skriv med siffror En tredjedel En sjättedel Är en tredjedel skuggad? Wiggo Kilborn 2011

11. Övergripande struktur En del av en hel Flera delar av en hel Del av ett antal Bråk som tal Räkning med bråk Decimaltal Räkning med decimaltal Wiggo Kilborn 2011

12. Bråk och decimaltal och procent Mål, undervisning och resultat Wiggo Kilborn 2011

13. I den här presentationen har jag valt att använda Tecknet / som bråkstreck. Bråket tre fjärdedelar skrivs alltså 3/4 Tecknet ÷ för division. Divison av 3 med 4 skrivs alltså 3 ÷ 4 Wiggo Kilborn 2011

14. Behöver vi bråk i dagens samhälle? Allt fler läromedel undviker att operera med bråk. Additionen 2/5 + 1/4 skrivs om i decimalform som 0,40 + 0,25 ≈ 0,65. Därmed missar eleverna ett verktyg för problemlösning och även en nödvändig förkunskap för att arbeta med algebra. Wiggo Kilborn 2011

15. Anders kan klippa en gräsmatta på 7 timmar och Stina kan klippa samma gräsmatta på 5 timmar. Hur lång tid tar det att klippa gräsmattan om de arbetar samtidigt med var sin gräsklippare? De klipper på en timma 1/7 + 1/5 av gräsmattan, alltså 12/35 av gräsmattan. Det tar således 35/12 timmar = 2 11/12 timmar = 2 timmar och 55 minuter. Wiggo Kilborn 2011

16. Lpo94. Uppnåendemål i årskurs 3 • kunna dela upp helheter i olika antal delar samt kunna beskriva, jämföra och namnge delarna som enkla bråk Lgr11. Centralt innehåll årskurs 1-3 • Del av helhet och del av antal. Hur delarna kan benämnas och uttryckas som enkla bråk samt hur enkla bråk förhåller sig till naturliga tal. • Naturliga tal och enkla tal i bråkform och deras användning i vardagliga situationer. Wiggo Kilborn 2011

17. Resultat på våren i årskurs 4 31% av eleverna vet inte att tre fjärdedelar av figuren är skuggad 22% av eleverna kan inte skriva tre fjärdedelar som ett bråk, alltså som 3/4 Wiggo Kilborn 2011

18. Resultat på våren i årskurs 4 31% av eleverna vet inte att tre fjärdedelar av figuren är skuggad 22% av eleverna kan inte skriva tre fjärdedelar som ett bråk, alltså som 3/4 39% av eleverna kan inte skugga 2/3 av figuren Wiggo Kilborn 2011

19. Ringa in de figurer där 1/3 är skuggad Årsk. 4 86% 38% 27% Årsk. 5 93% 45% 34% Wiggo Kilborn 2011

20. Lpo94. Uppnåendemål i årskurs 5 • ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och enkla tal i bråk- och decimalform Lgr11. Centralt innehåll årskurs 4-6 • Rationella tal och deras egenskaper. • Positionssystemet för tal i decimalform. • Tal i bråk- och decimalform och deras användning i vardagliga situationer. • Tal i procentform och deras samband med tal i bråk-och decimalform. samt. Wiggo Kilborn 2011

21. Centrala metoder för beräkningar med naturliga tal och enkla tal i decimalform vid överslagsräkning, huvudräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder och miniräknare. Metodernas användning i olika situationer Wiggo Kilborn 2011

22. Del av ett antal Måla 3/4 av cirklarna Åk 5 54% Åk 6 62% Hur mycket är 2/3 av 6? Åk 5 44% Åk 6 51% Wiggo Kilborn 2011

23. Enkla problem med andelar • I en skål låg det 12 karameller. Först åt Ola upp en tredjedel av karamellerna. Sedan åt Lisa upp hälften av de karameller som var kvar. Hur många karameller låg det då i skålen? Årskurs 5 51% Årskurs 6 57% Wiggo Kilborn 2011

24. Wiggo Kilborn 2011

25. Resultat på våren i årskurs 6 Beräkna 2/3 – 1/3 Lösningsfrekvens 72% Beräkna 1 – 3/4 Lösningsfrekvens 49% Beräkna 2 ∙ 2/5 Lösningsfrekvens 71% Beräkna 4/5  2 Lösningsfrekvens 63% Beräkna 1  1/2 Lösningsfrekvens 10% Observera: Detta handlar om taluppfattning! Wiggo Kilborn 2011

26. Lpo94. Uppnåendemål i årskurs 9 - ha utvecklat sin taluppfattning till att omfatta hela tal och rationella tal i bråk- och decimalform, - ha goda färdigheter i och kunna använda överslags-räkning med naturliga tal och tal i decimalform samt procent och proportionalitet i huvudet, med hjälp av skriftliga räknemetoder och med tekniska hjälpmedel Wiggo Kilborn 2011

27. Lgr11. Centralt innehåll i årskurs 7-9 • Reella tal och deras egenskaper samt deras användning i vardagliga och matematiska situationer. • Centrala metoder för beräkningar med tal i bråk-och decimalform vid överslagsräkning, huvudräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder och digital teknik. Metodernas användning i olika situationer. Wiggo Kilborn 2011

28. Resultat på våren i årskurserna 8 och 9 Uppgift Rätt svar åk 8 Rätt svar åk 9 1/3 + 1/4 35% 21% 3/4 – 1/4 74% 57% 3/5 – 1/3 27% 32% 6 · 1/2 65% 65% 6/5 ÷ 3 33% 27% 2 ÷ 1/3 12% 9% Wiggo Kilborn 2011

29. Varför har svenska elever så stora problemmed bråkräkning? Det finns två svar på detta ● Man har tonat ner bråkräkningen och satsat på decimaltal ● De räkneregler som lärs ut är oftast föråldrade och kan inte konkretiseras Exempel: Division lärsutsom 3/4 ÷ 1/2 = 3/ 4 · 2/1 en regel som inte konkretiseras Wiggo Kilborn 2011

30. Vad står det i kursplanens strävansmål? Strävan skall också vara att eleven utvecklar sin tal- och rumsuppfattning samt sin förmåga att förstå och använda – grundläggande talbegrepp och räkning med reella tal, närmevärden, proportionalitet och procent Utbildningen skall också ge en god grund för studier av andra ämnen, fortsatt utbildning och ett livslångt lärande Wiggo Kilborn 2011

31. Förmågorna enligt Lgr11 • formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, • använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp, • välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter, • föra och följa matematiska resonemang, och • använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser. Wiggo Kilborn 2011

32. Hur gör man bråkräkningen begriplig? Ett begripligt och konkretiserbart alternativ kräver kunskaper om: 1 Nämnarens innebörd 2 Täljarens innebörd 3 Varje tal i bråkform kan skrivas på oändligt många sätt Dessutom bör eleverna behärska de vanligaste räknereglerna. Wiggo Kilborn 2011

33. 1. Nämnarens innebörd Om man delar en hel i 3 delar får man 3 tredjedelar Wiggo Kilborn 2011

34. 1. Nämnarens innebörd Om man delar en hel i 3 delar får man 3 tredjedelar En sådan del kallas för en tredjedel och kan skrivas 1/3 Wiggo Kilborn 2011

35. 2. Täljarens innebörd Ett bråk som 2/3 betyder 1/3 + 1/3 = + Wiggo Kilborn 2011

36. 2. Täljarens innebörd Ett bråk som 2/3 betyder 1/3 + 1/3 = + Ett bråk som 3/4 betyder 1/4 + 1/4 + 1/4 = + + Wiggo Kilborn 2011

37. 3. Ett tal i bråkform kan skrivas på oändligt många olika sätt Ett bråk som 1/3 kan skrivas som 1/3 = 2/6 = 3/9 = 4/12 …. = = = Wiggo Kilborn 2011

38. Addition, Subtraktion och Jämförelse Regel: När man adderar, subtraherar och jämför två bråk bör man se till att de har samma nämnare För att addera talen 2/3 och 1/4 kan man först skriva om dem så att nämnarna blir lika: 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12 = 10/15 = …. 1/4 = 2/8 = 3/12 = 4/16 = 5/20 = …. Detta ger 2/3 + 1/4 = 8/12 + 3/12 = 11/12 Wiggo Kilborn 2011

39. Konkretisering av 2/3 + 1/4 2/3 kan konkretiseras så här och 1/4 kan konkretiseras så här Wiggo Kilborn 2011

40. Konkretisering av 2/3 + 1/4 2/3 kan konkretiseras så här och 1/4 kan konkretiseras så här Genom att kombinera mönstren ser man att 2/3 = 8/12 och 1/4 = 3/12 Wiggo Kilborn 2011

41. Multiplikation av ett bråk med ett naturligt tal Eleverna känner bara till multiplikation som upprepad addition. Det gäller därför att använda sig av täljarens betydelse. 2/5 betyder 1/5 + 1/5 Det innebär att 3 · 2/5 = (1/5 + 1/5) + (1/5 + 1/5) + (1/5 + 1/5) Tydligen är 3 · 2/5 = 3 · 2 · 1/5 = 6/5 Wiggo Kilborn 2011

42. Vi återvänder nu till 6 · 1/2 Lösningsfrekvensen var 45% i årskurs 7. Varför? 6 · 1/2 kan tolkas som 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 Detta kan tecknas (1/2 + 1/2) + (1/2 + 1/2) + (1/2 + 1/2) = 3 ·1 = 3 Man kan också använda den associativa lagen: 6 · 1/2 = 3 · 2 · 1/2 = 3 · (2 · 1/2) = 3 · 1 Wiggo Kilborn 2011

43. Multiplikation av två tal i bråkform När multiplikationer som 1/3 · 2/5 förekommer i grundskolan så menar man i allmännhet 1/3 av 2/5, vilket matematiskt sett är något helt annat. Att ta 1/3 av ett tal innebär en division med 3. Detta är lätt att konkretsera och förstå. Att konkretisera 1/3 · 2/5 är mer komplicerat. Passa istället på förklara att matematik inte handlar om att konkretisera. Matematik handlar om att abstrahera och på ett logiskt sätt använda sig av definitioner och regler. Wiggo Kilborn 2011

44. Allt kan inte konkretiseras Man kan betrakta skolmatematiken på följande sätt Konkretiserbart Ej konkretiserbart Det som kan konkretiseras bör givetvis konkretiseras! Wiggo Kilborn 2011

45. Regler och metaforer Multiplikationen a/b · c/d definieras som a/b ∙ c/d = ac/bd Exempel: 1/3 · 2/5 = 2/15 Att detta är rimligt, kan “förklaras” med hjälp av metaforen area. Wiggo Kilborn 2011

46. Man kan beräkna 1/3 · 2/5 genom att betrakta en given yta med måtten 1 dm x 1 dm och dela den på följande sätt Wiggo Kilborn 2011

47. Man kan beräkna 1/3 · 2/5 genom att betrakta en given yta med måtten 1 dm x 1 dm och dela den på följande sätt Varje ruta har då måtten 1/3 dm x 1/5 dm och det mörkare området har arean 2/15 dm². 2/5 1/3 Wiggo Kilborn 2011

48. Division med ett naturligt tal Regel:I ett bråk som 4/5 talar täljaren om hur många gånger bråket innehåller enheten 1/5 Tänk att 4/5 = 4 · 1/5 elleriklartext 4 femtedelar Exempel: Utfördivisionen 4/5 ÷ 2 Eftersom 4/5 = 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 såinnebärdettaatt 4/5 ÷ 2 = 1/5 + 1/5 Detäralltsålogiskt sett antaletfemtedelarsomskalldivideras med 2 Wiggo Kilborn 2011

49. Vi återvänder nu till 6/5 ÷ 3 Lösningsfrekvensen är 18% i årskurs 7 och 37% i årskurs 9 Men 6/5 = 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 = = (1/5 + 1/5) + (1/5 + 1/5) + (1/5 + 1/5) Det betyder att 6/5 ÷ 3 = (1/5 + 1/5) = 2/5 6/5 kan uttryckas som 6 femtedelar, alltså 6 av enheten 1/5 Att dividera med 3 innebär att dividera mätetalet 6 med 3, inte att dividera enheten 1/5 Wiggo Kilborn 2011

50. Fungerar detta även om man dividerar 2/5 med 3? Svaret är ja. Det enda problemet är att täljaren 2 inte är delbar med 3. Men ett bråk kan ju skrivas på oändligt många olika sätt. Skriv därför om 2/5 så att täljaren blir delbar med 3, alltså som 6/15. Den som inte kan genomskåda tekniken kan ju alltid skriva 2/5 = 4/10 = 6/15 = 8/20 = … Vi får då 2/5  3 = 6/15 ÷ 3 = 2/15. Wiggo Kilborn 2011