1 / 69

Matematyka finansowa

Matematyka finansowa. Marcin Krzywda, 21.11.2007. Procent. Procent. 1 % =. Procent (2). Zad. Przed rokiem cena pewnego towaru wynosiła 200zł i w ciągu roku wzrosła o 25%. Ile wynosi cena tego towaru obecnie?. Procent (3).

alize
Download Presentation

Matematyka finansowa

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Matematyka finansowa Marcin Krzywda, 21.11.2007

  2. Procent

  3. Procent 1 % =

  4. Procent (2) Zad. Przed rokiem cena pewnego towaru wynosiła 200zł i w ciągu roku wzrosła o 25%. Ile wynosi cena tego towaru obecnie?

  5. Procent (3) Zad. Przed rokiem cena pewnego towaru wynosiła 200zł i w ciągu roku wzrosła o 25%. Ile wynosi cena tego towaru obecnie? 200zł + 200zł x 25% = 250zł

  6. Procent (4) Zad. Wzrost kursu euro w stosunku do złotego spowodował podwyżkę ceny wycieczki zagranicznej o 5%. Ponieważ nowa cena nie była zachęcająca, postanowiono obniżyć ją o 8%, ustalając cenę promocyjną równą 1449 zł. Oblicz pierwotną cenę wycieczki dla jednego uczestnika.

  7. Procent (5) X ·1,05 · 0,92 = 1449 X · 0,966 = 1499 X = 1500

  8. Procent (6)

  9. Procent (7) Dochód bez uwzględnienia prowizji: 530 ·(45-25) = 10600 zł Prowizja I: 530·25·1% + 60 = 13250·1% + 60 = 192,5zł Prowizja II: 530·45·0,7% + 105 = 23850·1% + 105 = 271,95zł Dochód – prowizja: 10600 - 192,5 - 271,95 = 10379,55zł

  10. Oprocentowanie proste

  11. Oprocentowanie proste Oznaczenia: P – kapitał r – stopa procentowa (roczna !!!) t – okres oprocentowania (jako ułamek roku)

  12. Oprocentowanie proste (2) ZASADA. Odsetki rosną liniowo w stosunku do upływu czasu. I = P·t·r F = P + I = P + P·t·r = P(1 + t·r)

  13. Oprocentowanie proste (3) Zad. Jaką wartość osiągnie kapitał początkowy 10 000 PLN oprocentowany na 12% (kap. prosta) po: • 4 latach • 180 dniach (rok = 360 dni) ?

  14. Oprocentowanie proste (4) P = 10 000 PLN r = 12% t = 4 F = 10 000 · (1 + 4 ·12%) = = 10 000 · 1,48 = 14 800 PLN

  15. Oprocentowanie proste (5) P = 10 000 PLN r = 12% t = 180/360 = 1/2 F = 10 000 · (1 + 1/2·12%) = = 10 000 · 1,06 = 10 600 PLN

  16. Oprocentowanie proste (6) Zad. Właścicielowi 18-miesięcznej lokaty (kap. prosta) na sumę 20 000 PLN wypłacono przy jej likwidacji 23 450 PLN. Jaka była roczna stopa procentowa?

  17. Oprocentowanie proste (7) P = 20 000 PLN P = 23 450 PLN t = 1,5 r = ? F = P + P·t·r P·t·r = F – P r = r = 3 450 / 30 000 = 11,5 %

  18. Oprocentowanie składane

  19. Oprocentowanie składane ZASADA. Odsetki oblicza się za każdy okres (kapitalizacji) i dopisuje do kapitału na koniec okresu. Zatem, w kolejnym okresie liczy się odsetki od wyższej kwoty! Def. Kapitalizacja = doliczenie odsetek!

  20. Oprocentowanie składane Oznaczenia: P – kapitał r – stopa procentowa (roczna, nominalna !!!) t – okres oprocentowania (jako ułamek roku)

  21. Oprocentowanie składane (2) Zad. Policzmy ile wyniosą odsetki od kwoty 1000 PLN z lokaty 2 letniej, przy 10 % stopie, jeśli odsetki są obliczane: • raz na końcu (procent prosty) • po upływie każdego roku (procent składany).

  22. Oprocentowanie składane (3) • I = 1000 · 2 · 10% = 200 PLN • I1 = 1000 · 10 % = 100 PLN I2 = 1100 · 10 % = 110 PLN I = 210 PLN

  23. Oprocentowanie składane (4) Wariant I. Kapitalizacja roczna • Odsetki dopisujemy na koniec roku

  24. Oprocentowanie składane (5) • Jak powiększa się kapitał w kolejnych latach? F = P(1+r)n (dowód: indukcja)

  25. Oprocentowanie składane (6) OBSERWACJA. Przy oprocentowaniu składanym wartość kapitału rośnie w postępie geometrycznym. Fn+1 = Fn(1+r)

  26. Oprocentowanie składane (7) Jak w ciągu 10 lat stać się milionerem? F0 = 1 000 PLN F5 = 16 000 · 2 = 32 000 PLN F1 = 1 000 · 2 = 2 000 PLN F6 = 32 000 · 2 = 64 000 PLN F2 = 2 000 · 2 = 4 000 PLN F7 = 64 000 · 2 = 128 000 PLN F3 = 4 000 · 2 = 8 000 PLN F8 = 128 000 · 2 = 256 000 PLN F4 = 8 000 · 2 = 16 000 PLN F9 = 256 000 · 2 = 512 000 PLN F10 = 512 000 · 2 = 1 024 000 PLN 

  27. Oprocentowanie składane (7) Zad*. Po ilu latach wartość kapitału wzrośnie dwukrotnie, zakładając kapitalizację roczną, stopę r=20%?

  28. Oprocentowanie składane (8) Szukamy n takiego, aby: P(1+r)n = 2P czyli: (1+r)n = 2 (1+0,2)n = (1,2)n = 2

  29. Rozważmy ogólniejszy problem. Mamy liczby: a € R+\{1}, b € R+. Pytanie: Do jakiej potęgi c podnieść a, aby otrzymać b? ac = b, c=?

  30. ac = b, c=? Przykład. a = 2 b = 4 c = ?

  31. ac = b, c=? Przykład (2). a = 3 b = 81 c = ?

  32. ac = b, c=? Przykład (3). a = 1/16 b = 1/2 c = ?

  33. Logarytm Def. Logarytmem przy podstawie a z liczby b nazywamy taką liczbę c, że ac = b Piszemy wtedy c = logab Uwaga! Obowiązują wcześniejsze założenia!

  34. Logarytm (2) UWAGA. Istnienie oraz jedyność logarytmu nie jest oczywista. Dowód tych faktów można znaleźć np. tutaj: http://math.uni.lodz.pl/~kfairr/analiza/rozdzial3.pdf

  35. Wróćmy do zadania  Dla przypomnienia, szukamy n takiego, aby: (1+r)n = 2

  36. Wróćmy do zadania  (2) (1+r)n = 2, n=? Teraz znamy już odpowiedź: n = log(1+r)2

  37. Logarytm (3) Fajną podstawą logarytmu jest liczba e (inaczej liczba Eulera lub liczba Nepera) e ≈ 2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274 2746639193 2003059921 8174...

  38. Logarytm (4) Dlaczego akurat e? Z pewnych względów (<naturalności> obliczeń) jest ona ważna w matematyce. Dla nas powodem jest to, że wartości logarytmu o podstawie e (log. naturalnego) można znaleźć w tablicach (lub obliczyć na kalkulatorze). Ozn. ln x := logex

  39. Logarytm (4) Twierdzenie. Każdy logarytm (o dowolnej podstawie) można wyrazić za pomocą logarytmów naturalnych i działań arytmetycznych.

  40. Logarytm (5) Lemat. Własność logarytmu. (*) c – dowolne, spełniające założenia

  41. Logarytm (6) Dowód twierdzenia: Korzystając z (*) , c := e, mamy: ■

  42. Wróćmy do zadania  (3) Jako, że nie można wypłacić pieniędzy z lokaty przed upływem pełnego roku (traci się wtedy odsetki) musimy wziąć n naturalne. Zatem n = 4.

  43. Oprocentowanie składane (9) Dotychczas zajmowaliśmy się sytuacją, gdy odsetki do lokaty dopisywano raz do roku na koniec okresu kapitalizacji. F = P(1+r)n W tym wariancie okres kapitalizacji ( 1 rok) zgadza się ze skalą stopy procentowej ( 1 rok).

  44. Oprocentowanie składane (10) Wariant II. Kapitalizacja częstsza niż roczna • Odsetki dopisujemy na koniec podokresu. • Stopa procentowa w każdym podokresie to r/m, gdzie m – liczba podokresów w roku. • Długość podokresu to 1/m.

  45. Oprocentowanie składane (11) Przez analogię: F = P(1+r/m)mn n – liczba lat (ewentualnie możemy dopuścić ułamki postaci k/m)

  46. Oprocentowanie składane (12) Zad. Porównajmy zysk z lokat rocznej, oraz kwartalnej, ale odnawianej przez rok o tej samej stopie procentowej (w skali rocznej) r = 12%.

  47. Lokata roczna. I = (1+0,12) – 1 = 0,12 = 12% Lokata kwartalna. I = (1+0,12/4)4 – 1 = (1+0,03)4 – 1 = 1,1255 – 1 = 12,55% Oprocentowanie składane (13)

  48. Oprocentowanie składane (14) Zad. Banki różnicują stopy procentowe dla lokat o różnych terminach. Która opcja lokaty będzie korzystniejsza, lokata roczna, czy lokata kwartalna odnawiana 4-krotnie?

  49. Oprocentowanie składane (14) Dla przykładu: P = 10 000 PLN rrok = 4,6% rkwartał = 3,9% Frok = 10 460 PLN F4xkwartał = 10 000 (1 + 0,039/4)4 = 10 395 PLN

More Related