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Dinámica de Sistemas Neuronales

Escuela “J. A. Balseiro ” 2014 Modelado en Neurociencias. Dinámica de Sistemas Neuronales. Germán Mato Física Estadística e Interdisciplinaria Centro Atómico Bariloche CNEA y CONICET. Dinámica Neuronal. Altamente no-lineal Coexisten varias escalas de tiempo

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Presentation Transcript

  1. Escuela “J. A. Balseiro” 2014 Modelado en Neurociencias Dinámica de Sistemas Neuronales GermánMato FísicaEstadística e Interdisciplinaria Centro AtómicoBariloche CNEA y CONICET

  2. Dinámica Neuronal Altamente no-lineal Coexisten varias escalas de tiempo Puntos fijos y estados oscilatorios

  3. Dinámica Neuronal Necesitamos aproximaciones: Linealizar alrededor del potencial de equilibrio Descripciones simplificadas de las variables de excitación y recuperación Descripciones que usan las formas normales Modelos “tasa de disparo” (requieren interacciones) Modelos estocásticos (clases Marcelo Montemurro)

  4. Dinámica Neuronal Aproximación basada en linealizar la dinámica alrededor del potencial de reposo (Lapicque, 1907) Circuito RC. Cuando el capacitor llega a un voltaje umbral se descarga Modelo Integrate-and-Firelineal

  5. Dinámica Neuronal • Modelo Integrate-and-Fire lineal • Frecuencia of oscilaciones:

  6. Dinámica Neuronal • Modelo Integrate-and-Fire lineal • Trayectoria

  7. Dinámica Neuronal • Modelo Integrate-and-Fire lineal • Curva f-I

  8. Dinámica Neuronal • Stochastic response model • No hay un umbral “rígido” sino una probabilidad por unidad de tiempo de generar un potencial de acción

  9. Dinámica Neuronal • Variables de excitación y recuperación • Por ejemplo representan corrientes de sodio y potasio • Dos variables es el número mínimo para obtener oscilaciones en sistemas dinámicos continuos

  10. Dinámica Neuronal • Variables de excitación y recuperación • Modelo mínimo

  11. Dinámica Neuronal • Variables de excitación y recuperación • Nullclinas: líneas en el plano n-V donde las derivadas se hacen 0: • Nullclina V (dV/dt=0) • Nullclina n (dn/dt=0)

  12. Dinámica Neuronal • Variables de excitación y recuperación • Nullclinas: líneas en el plano n-V donde las derivadas se hacen 0 • Si n < nullclina V: dV/dt>0 • Si n > nullclina V: dV/dt<0 • Si n < nullclina n: dn/dt>0 • Si n < nullclina n: dn/dt<0

  13. Dinámica Neuronal • Variables de excitación y recupercón • Izhikevich (2005)

  14. Dinámica Neuronal • Variables de excitación y recuperación • Modelo de Fitzhugh-Nagumo

  15. Dinámica Neuronal • Variables de excitación y recuperación • Modelo de Fitzhugh-Nagumo

  16. Dinámica Neuronal • Variables de excitación y recuperación • Estabilidad equilibrios sistema bi-dimensional

  17. Dinámica Neuronal • Variables de excitación y recuperación • Estabilidad equilibrios sistema bi-dimensional

  18. Dinámica Neuronal • Variables de excitación y recuperación • Sistema linealizado:

  19. Dinámica Neuronal • Variables de excitación y recuperación • El punto fijo es estable si y solo si los autovalores de la matriz tiene parte real negativa. • Los autovalores están dados por

  20. Dinámica Neuronal • Variables de excitación y recuperación • Las soluciones son: • donde • son la traza y el determinante respectivamente

  21. Dinámica Neuronal • Variables de excitación y recuperación • Estabilidad equilibrios sistema bi-dimensional

  22. Dinámica Neuronal • Variables de excitación y recuperación • Estabilidad modelo Fitzhugh-Nagumo • Casodonde la variable weslenta • (b<<1, c<<1) • La traza de la matriz linealizada esta determinada por la derivada de la nullclinaV en el equilibrio

  23. Dinámica Neuronal • Variables de excitación y recuperación • Estabilidad modelo Fitzhugh-Nagumo

  24. Dinámica Neuronal • Variables de excitación y recuperación • Estabilidad modelo Fitzhugh-Nagumo • La transición se daporunabifurcación de Hopf

  25. Dinámica Neuronal • Variables de excitación y recuperación • Modificando la forma de la nullclinaw se puedeobtenerunabifurcacióntiposaddle-node:

  26. Dinámica Neuronal • Variables de excitación y recuperación • Modificando la forma de la nullclinaw se puedeobtenerunabifurcacióntiposaddle-node:

  27. Dinámica Neuronal • Variables de excitación y recuperación • Rebotepost-inhibitorio • (verejercicio 4)

  28. Dinámica Neuronal • Variables de excitación y recuperación • Rebotepost-inhibitorio:

  29. Dinámica Neuronal • Variables de excitación y recuperación • Rebote post-inhibitorio:

  30. Dinámica Neuronal • Variables de excitación y recuperación • En resonadoresinhibiciónpuedefacilitar la generación de spikes

  31. Dinámica Neuronal • Formas Normales • ¿En quecondiciones un puntofijo se vuelveinestable? • Uno o mas de los autovaloresadquiere parte real positiva • Estosucedetípicamente de dos maneras: • Un autovalorpuramente real • Dos autovalorescomplejosconjugados

  32. Dinámica Neuronal • Formas Normales • En el primer casotenemos un bifurcación • tiposaddle-node y en el segundounabifurcacióntipoHopf • Independientemente de los detalles del modelo el sistemadinámicocerca de la bifurcacióntomasiempre el mismoaspecto: estaes la forma normal

  33. Dinámica Neuronal • Formas Normales: SN • Forma normal saddle-node • Sistemadinámicos: • Con la condición

  34. Dinámica Neuronal • Formas Normales: SN • Expandiendo en • Donde:

  35. Dinámica Neuronal • Formas Normales: SN • Llamando a los auovectoresizquierdos(derechos) de la matrizA

  36. Dinámica Neuronal • Formas Normales: SN • Todaslascomponentes con autovaloresestable se cancelan • Solos sobrevive la componente en la dirección del autovectornulo (l=1)

  37. Dinámica Neuronal • Formas Normales: SN • En esadirecciónqueda: • Reescaleando:

  38. Dinámica Neuronal • Formas Normales: SN • Si hay dos puntosfijos (unoestable y otroinestable) (verejercicio 5) • Si no hay puntosfijos. La variable x diverge en tiempofinito

  39. Dinámica Neuronal • Formas Normales: SN • Hay dos posibilidades: • La dinámica se mueve a otra región de espacio de fases que puede incluir una solución oscilatoria • La bifurcación ocurre sobre un ciclo límite invariante (SNIC: saddle-node in aninvariantcycle)

  40. Dinámica Neuronal • Formas Normales: SN

  41. Dinámica Neuronal • Formas Normales: SNIC • Neurona • Si la frecuencia de oscilaciónesproporcional a

  42. Dinámica Neuronal • Formas Normales: SNIC • Imponiendo resettinga valor finito de la variable • Modelo QIF (QuadraticIntegrate-and-Fire) • Neurona

  43. Dinámica Neuronal • Formas Normales: Hopf • Si hay dos autovalores complejos conjugados que pierden la estabilidad tenemos un bifurcación de Hopf • La dinámica es efectivamente bidimensional • Modelo QIF (QuadraticIntegrate-and-Fire) • Neurona

  44. Dinámica Neuronal • Formas Normales: Hopf • En ese plano podemos poner coordenadas polares • La forma normal es • Neurona

  45. Dinámica Neuronal • Formas Normales • Si tenemos una bifurcación de Hopfsupercrítica • El punto fijo estable da lugar a un punto fijo inestable y a una oscilación estable. • Neurona

  46. Dinámica Neuronal • Formas Normales • Si tenemos una bifurcación de Hopfsubcrítica • El punto fijo estable coalesce con una oscilación inestable y se vuelve inestable. • Neurona

  47. Dinámica Neuronal • Resumen propiedades neuro-computacionales • Neurona

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