Un triangolo è un poligono che ha tre lati e si individua con le lettere dei suoi vertici.

1. Definizione I triangoli Un triangolo è un poligono che ha tre lati e si individua con le lettere dei suoi vertici. C Poiché anche un angolo si individua con tre lettere, per distinguere il triangolo dall’angolo si pone un simbolo diverso al di sopra delle tre lettere. Si scrive ad esempio: ACB per indicare l’angolo di vertice C A B Ogni lato di un triangolo è opposto a uno degli angoli: ABC per indicare il triangolo di vertici A, B, C • il lato AB è opposto all’angolo C; • il lato AC è opposto all’angolo B; • il lato BC è opposto all’angolo A. 1

2. Classificazione Classificazione dei triangoli in base ai lati È possibile fare una prima classificazione dei triangoli in base ai lati: Scaleno: un triangolo che ha tutti i lati disuguali. Isoscele: un triangolo che ha due lati congruenti. I due lati congruenti si dicono obliqui e il terzo lato si chiama base. Equilatero: un triangolo che ha tutti i lati congruenti. 2

3. Bisettrici e mediane Si dice inoltre: • bisettrice relativa all’angolo interno del triangolo sia la semiretta bisettrice dell’angolo, sia il segmento di bisettrice che ha un estremo nel vertice dell’angolo e l’altro sul lato opposto bisettrice • mediana di un triangolo il segmento che unisce un vertice con il punto medio del lato opposto mediana 3

4. I criteri di congruenza Primo criterio di congruenza. Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti due lati e l’angolo fra essi compreso. C C’ A B A’ B’ ACB ≅ A’C’B’ CA ≅ C’A’ CB ≅ C’B’ ABC ≅ A’B’C’ 4

5. I criteri di congruenza Secondo criterio di congruenza. Due triangoli sono congruenti se hanno un lato e gli angoli ad esso adiacenti ordinatamente congruenti. A’ A ABC ≅ A’B’C’ BC ≅ B’C’ B C B’ C’ ACB ≅ A’C’B’ ABC ≅ A’B’C’ 5

6. I criteri di congruenza Terzo criterio di congruenza. Due triangoli sono congruenti se hanno i tre lati ordinatamente congruenti. A A’ AB ≅ A’B’ AC ≅ A’C’ B C B’ C’ BC ≅ B’C’ ABC ≅ A’B’C’ 6

7. Le proprietà del triangolo isoscele Teorema. In un triangolo isoscele gli angoli adiacenti alla base sono congruenti. Viceversa, si può dimostrare anche che B Teorema. Se un triangolo ha due angoli congruenti, esso è isoscele. AB ≅ BC A C BAC ≅ BCA I due teoremi si possono esprimere con un solo enunciato dicendo: condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo sia isoscele è che abbia due angoli congruenti. 7

8. Le proprietà dei triangoli Il teorema dell’angolo esterno Teorema. In ogni triangolo ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni ad esso non adiacenti. A δ > α α δ > β δ β S B C Da ciò consegue che: • un triangolo non può avere più di un angolo retto o di un angolo ottuso; • gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono acuti. 8

9. Classificazione Classificazione dei triangoli in base agli angoli Acutangolo Un triangolo che ha tutti gli angoli acuti. Ottusangolo Un triangolo che ha un angolo ottuso. Rettangolo Un triangolo che ha un angolo retto. 9

10. Il quarto criterio di congruenza Il quarto criterio di congruenza Il seguente criterio è una conseguenza diretta del teorema dell’angolo esterno. Quarto criterio di congruenza. Due triangoli sono congruenti se hanno due angoli e il lato opposto a uno di essi ordinatamente congruenti. A A’ ABC ≅ A’B’C’ BAC ≅ B’A’C’ BC ≅ B’C’ B C B’ C’ ABC ≅ A’B’C’ 10

11. Relazioni fra lati e angoli C In ogni triangolo, se due lati sono disuguali, al lato maggiore è opposto l’angolo maggiore. AB > AC ACB > CBA Viceversa: In ogni triangolo, se due angoli sono disuguali, all’angolo maggiore è opposto il lato maggiore. B A C’ Se due triangoli hanno due lati ordinatamente congruenti e gli angoli compresi sono disuguali, allora i lati opposti a questi angoli sono anch’essi disuguali nello stesso verso. C A’ B’ C > C’ A B CB ≅C’B’ AC ≅A’C’ AB > A’B’ 11

12. Disuguaglianze triangolari Dalle proprietà elencate precedentemente si può dedurre che: • in ogni triangolo rettangolo l’ipotenusa è maggiore di ciascuno dei cateti; • in ogni triangolo ottusangolo, il lato opposto all’angolo ottuso è maggiore di ciascuno degli altri due lati. Vale poi il seguente importante teorema: Teorema. In ogni triangolo ciascun lato è minore della somma degli altri due ed è maggiore della loro differenza. C AC – CB < AB < AC + CB AC – AB < CB < AC + AB AB – CB < AC < AB + CB A B 12