Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum-Szenario

1. Reelle quadratische Abbildungen:das Feigenbaum-Szenario

2. Inhaltsübersicht: • Einleitung • Was hat eine Kaninchenpopulation mit einer quadratischen Abbildung zu tun? • Das Feigenbaum-Diagramm: Was für Strukturen sind sichtbar und wie lassen sie sich erklären?

3. Einleitung • Chaostheorie Ende des 19. Jahrhunderts durch den franz. Mathematiker Henri Poincaré ins Leben gerufen • Früher: Chaos und Ordnung galten als Gegensatzpaare • Aber: Viele natürliche Systeme gehen den Weg von der Ordnung ins Chaos

4. Kaninchenpopulation Szenario 1: Beliebige Menge von Kaninchen wird ausgesetzt. Die Population pendelt sich nach einigen Generationen auf einem stabilen Wert ein. Szenario 2: Die Population oszilliert über mehrere Generationen (Jahre) zw. Maximal- und Minimalwert. Szenario 3: Die Population schwankt von Generation zu Generation sehr stark und zeigt chaotisches Verhalten.

5. Wie kann man die Generationsstärke x einer Population darstellen? • xn+1 = a·xn mit a: Reproduktionsrate und xn: Generationsstärke im n-ten Jahr xn = an·x0 • Besser: Reproduktionsrate a durch a(1-xn) ersetzen • (Element negativer Rückkopplung) • logistisch bzw. quadratische Abbildung: • xn+1 = a·xn (1-xn) • fa(x) = a·x (1-x)

6. Graphische Iteration für fa(x) = a·x für fa(x) = a·x (1-x) mit a = 2

7. Darstellung des Langzeitverhaltens des quadrat. Iterators für a = 2 Zeitreihe und Endzustand

8. Darstellung des Langzeitverhaltens des quadrat. Iterators für a = 1,75 und a = 2,75

9. Feigenbaum-Diagramm

10. Feigenbaum-Punkt soo=3,5699456...trennt den Periodenverdopplungsbaum vom chaotischen Bereich.

11. Mitchell Jay Feigenbaum geboren am 19.12.1944 in Philadelphia, USA

12. graphische Iteration für a = 1,75 und a = 2,75 Winkelhalbierende schneidet die Parabel an den Fixpunkten p0= 0 stößt die Iteration ab und heißt deshalb abstoßender oder instabiler Fixpunkt pa heißt attraktiver oder stabiler Fixpunkt

13. Der Fixpunkt pa ist superattraktiv für a=2

14. Was passiert nun für a > 3 ? a= 3,1 und x0 = 0,075 bzw. 0,65 pa verliert für Parameter a > b1 = 3 (Verzweigungspunkt) seine Stabilität.

15. Was bedeutet dies für das Endzustands-Diagramm ? Es kommt zur Oszillation zwischen dem tieferen Wert xl(a) und dem höheren Wert xh(a). Der 2er-Zyklus {xl(a), xh(a)} ist stabil. Zeitreihe mit Anfangswert x0 = 0,1

16. Genaue Berechnung der Fixpunkte Da es zu einer Oszillation zwischen zwei Fixpunkten kommt, muss die zweite Iteration fa(fa(x)) = f ²a(x) betrachtet werden. Die Fixpunktgleichung ist dann: fa(fa(x)) = x -a³x4 + 2a³x³ - (a²+a³)·x² + (a²-1)·x = 0 Lösungen:

17. Betrachtung der graphischen Iteration für fa(fa(x)) • Der Abschnitt im Quadrat sieht aus wie die umgekehrte Parabel von fa(x) • Die Polylinie weist in diesem Abschnitt ähnliches Verhalten auf, wie bei die Iteration von fa(x)

18. Systematischer Vergleich der Graphen von fa(x)undf2a(x) • a = 1: Fixpunkt p0 = 0 wird instabil; für alle a > 1 existiert nun neuer Fixpunkt pa • a = 2: superattraktiver Fall

19. Systematischer Vergleich der Graphen von fa(x)undf2a(x) • a = b1 = 3: periodenverdoppelnde Verzweigung; pa verliert seine Stabilität. Es entstehen 2 zusätzliche Fixpunkte xl(a) und xh(a) • a = s1= : superattraktiver Fall für f2a(x) • a= b2 3,4495: xl(a) und xh(a) von f2a(x)werden instabil. Für a > b2 werden Fixpunkte von f2a(f2a(x))entstehen, die sich bei xl(a) und xh(a) verzweigen

20. Systematischer Vergleich der Graphen von f2a(x) und fa(x) • Alle Veränderungen, die für fa(x)mit 1 < a < 3 vorliegen, können auch für f2a(x)mit 3 < a < b23,4495 beobachtet werden.

21. Es gibt 2 Folgen wichtiger Parameter • s1, s2,....bei denen superattraktive Fälle auftauchen. Der kritische Punkt xcrit = 0,5 ist dann Fixpunkt von fs1, fs2, fs3,.. • b1, b2,...liefern periodenverdoppelnde Verzweigung. • Die beiden Folgen konvergieren gegen einen bestimmten Wert. • Dieser Wert bedeutet das Ende des Bereichs, in dem sich die Perioden verdoppeln.

22. Feigenbaum-Punkt Vergrößerungsfaktor von einer Vergrößerung zur nächsten entlang der horizontalen Achse: d = 4,6692... Vergrößerungsfaktor von einer Vergrößerung zur nächsten entlang der vertikalen Achse ist etwa 2,3  selbstähnliche Struktur

23. Betrachtung des Abstandes dk zweier aufeinander folgender Verzweigungspunkte dk = bk+1 – bk , k = 1, 2, 3, .. verkleinert sich rapide Diese Verkleinerung ist annähernd geometrisch: Für wachsende k gilt:

24. Feigenbaum-Konstante d • Im Oktober 1975 von Feigenbaum entdeckt • Sie ist universell, d.h. sie tritt in vielen anderen Systemen ebenfalls auf/ ist für eine große Klasse verschiedener Iteratoren gleich. • Im Umfeld von Chaos ist sie eine Konstante mit ähnlich großer Bedeutung wie p in der Geometrie.

25. Feigenbaum-Punkt soo: Eintritt ins Chaos Schematische Darstellung des Periodenverdopplungsbaumes unter Berücksichtigung der Skalierungsfaktoren 4,6692... und 2,3.  Blätter des Baumes bilden eine streng selbstähnliche Cantor-Menge (fraktale Dimension: 0,5376 < D <0,5386)

26. Darstellung der Oszillation

27. Betrachtung des rechten Teils des Feigenbaum-Diagrammss00 < a < 4 • Chaotisches Spiegelbild des Periodenverdopplungs-Baumes • Chaos von Fenstern der Ordnung unterbrochen

28. a = 4 : nur ein einziges Band • a < 4 : verengt sich das Band langsam • a = m1 : Aufspaltung des Bandes in 2 Teile • a = m2 : jedes dieser Bänder spaltet sich wieder in 2 Teile • .....

29. Es gibt unendliche Folge von Parametern m1, m2, m3, .. • Die Folge mk konvergiert gegen den Feigenbaum-Punkt moo = soo • Quotient der Abstände der Verschmelzungspunkte (dk = mk+1 – mk):

30. Genauere Untersuchung für a = 3,67 (etwas unterhalb von m1) Zeitreihe von fa Zeitreihe von f²a

31. Vergleich von fa undf²a mittels graphischer Iteration für a = 4 und a = m1 = 3,678... • Parabel für a = 4 : logistische Parabel, passt genau in das Einheitsquadrat. • Polynom vierten Grades für a = m1 = 3,678... : enthält logistische Parabeln. In diesen Bereichen ist die Iteration gefangen und chaotisches Verhalten ist zu erwarten. • Für a = mk sind ebenfalls logistische Parabeln zu finden fa f²a

32. Aber wie erklärt sich das Durchschimmern der Bänder für a mk ? Betrachtung der ersten 4 bzw. 8 Iterierten von xcrit = 0,5 für soo < a < 4 aber: im Endzustands-Diagramm sind nicht alle Linien vollständig zu sehen  Fenster

33. Fenster • Es gibt unendlich viele Fenster, die alle zu stabilen, periodischen Bahnen gehören. • Größtes Fenster zwischen a = 3,828.. und a = 3,857.. : Fenster der Periode 3

34. Fenster der Periode 3 • Selbstähnlichkeit • Im Fenster der Periode 3 baut alles auf f³a(x) auf. • Bei a = 3,8415.. liegt ähnliches Verhalten vor wie beim Feigenbaum-Punkt soo (Übergang zum chaotischen Verhalten)

35. Fenster der Periode 6 Im gestrichelten Rechteck findet man alles aus dem gesamten Diagramm wieder jedoch mit verdoppelter Periode

36. Wie kommen diese Fenster zustande? • a = w3 = 3,82843... : Anfang des Fensters der Periode 3 • a > w3 : stabiler Zyklus der Periode 3 • a < w3 : Chaos • völlig anderer Weg ins Chaos, als über periodenverdoppelnde Verzweigungen

37. Zeitreihe für x0 = 0,5 und a = 3,82812 < w3 • Das Chaos kommt erst im Langzeitverhalten zum Vorschein.  Intermittenz

38. Wie kommt Intermittenz zustande? • Wieso scheint der Verzweigungsbaum bei a = 1,7264... Aus dem • Nichts zu entstehen? • Was geschieht für a < 1,7264... ?  graphische Iteration

39. a = 1,6 und a = 1,7 : Iteration führt zum attraktiven Fixpunkt 0 • Graph rückt immer näher an die Winkelhalbierende. • a = 1,7264... : Winkelhalbierende berührt Graphen tangential bei xs (Sattelpunkt) • a = 1,9 : zwei neue Fixpunkte

40. Zurück zum bekannten quadratischen Iterator Graph von f³a für a = 3,81 und a = w3 = 3,82843....  Es ist eine Tangentialverzweigung beim Sattelpunkt xs zu erkennen.

41. Verhalten des quadrat. Iterators für a < w3

42. Abschließend: was geschieht bei a > 4 ? • Die Parabel sprengt das Einheitsquadrat. • Die Bahnen streben entland der negativen y-Achse ins Unendliche

43. Zeitreihe für a = 4,001 • Bahn beginnt mit chaotischem Bereich, verhält sich aber nur über wenige Iterationen chaotisch. • Das Langzeitverhalten der Bahn ist vollkommen bestimmt und vorhersagbar.  Zusammenbruch des Chaos in der Krise

45. Literatur: • H.-O. Peitgen, H. Jürgens, D. Saupe, Chaos- Bausteine der Ordnung, Springer-Verlag, 1994 • K. Richter, J.-M. Rost, Komplexe Systeme, Fischer Verlag, 2002