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Circuits et nombres 2-adiques

Circuits et nombres 2-adiques. Gérard Berry Chaire Algorithmes, machines et langages. Collège de France Cours 2, le 9 avril 2013. Source du cours. Ce cours reprend la théorie et la pratique de Jean Vuillemin (Digital Equipment  X  ENS ). J . Vuillemin.  On circuits and numbers ,

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Circuits et nombres 2-adiques

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  1. Circuits et nombres 2-adiques Gérard Berry Chaire Algorithmes, machines et langages Collège de France Cours 2, le 9 avril 2013

  2. Source du cours Ce cours reprend la théorie et la pratique de Jean Vuillemin (Digital Equipment  X  ENS) J. Vuillemin. On circuits and numbers, IEEE Trans. on Computers, 43:8:868-79, 1994 G. Berry, Collège de France, cours 2

  3. Nombres 2-adiques (Hensel, ~1900) • R est une complétion de Q. Est-ce la seule? • Non : nombres p-adiques pour p premier • nombre infinis écrits poids faibles d’abord • Beau, mais physique ? cf. Matière à Pensée, p. 32 • Alain Connes / JP Changeux • Jean Vuillemin : les entiers 2-adiques sont le bon • Jean Vuillemin :modèle des circuits numériques • En un sens, nous allons créer leur physique Ils unifient l’arithmétique infinie calculable et la logique Booléenne G. Berry, Collège de France, cours 2

  4. 2Z : anneau des entiers 2-adiques x 2x0x1x2… poids faibles d’abord opérations et de gauche à droite 0200000...  2(0) 1210000... 21(0) 2201000...  201(0) 1211111...  2(1) 2201111...  20(1) x 2101010...2(10) y 2010101... 2(01) x2100000... 2001010... y 2x ou x y 1 x14x x 1/3 y 2/3 G. Berry, Collège de France, cours 2

  5. L’anneau des 2-adiques p/q existe pour p, q entiers ssi q est impair (cf. Euclide) 1/2 n’existe pas car la somme de bits x0x0ne peut pas valoir 1 Pas d’ordre compatible avec les opérations 1  0  1 G. Berry, Collège de France, cours 2

  6. 2Z comme algèbre Booléenne • 2-adique x vu comme l’ensemble {i |xi1 } • exemple:1/3 2101010...  { i|i pair} • Opérations Booléennes point par point • x  yx  y  x • (x  y)n xnynetc. • Relation arithmético-logique fondamentale 2100011... x  x  1 2011100... 2111111... G. Berry, Collège de France, cours 2

  7. Espace Métrique de Cantor d(x,x) 0 d(x,y)  2nn min t.q. xnyn Exemple: d(201111..., 201101...  1/8) • Lemme :2Z est ultramétrique : • d(x,z) max(d(x,y),d(y,z)) x y  z d(x,z)  min(d(x,y),d(y,z)) G. Berry, Collège de France, cours 2

  8. Espace Métrique de Cantor • Base d’ouverts : préfixes finis • x0x1...xn {2x0x1...xny0y1...yn...| y2Z} ex. ouvert de préfixe 210010 1 1 0 0 0 • Compact – très différent des réels! G. Berry, Collège de France, cours 2

  9. Fonctions continues • Lemme :f: 2Z 2Zcontinue ssi • f(x)nnedépend que d’un nombre fini de xm 2x0x1......xm... 2y0y1...yn... Continuité  préservation de la finitude de l’information G. Berry, Collège de France, cours 2

  10. Fonctions synchrones f(x) x 0x0x1...xn... x0x1...xn... G. Berry, Collège de France, cours 2

  11. Fonctions synchrones et contractantes f(x) x • Définition :f: 2Z 2Zsynchrone ssi calculable par un circuit synchrone (de mémoire finie ou infinie) • Théorèmef: 2Z 2Z est synchrone si et seulement si • f(x)n ne dépend que de x0x1...xn, i.e., est contractante x,y. d(f(x),f(y)) d(x,y) Preuve : « seulement si » trivial, Preuve: pour « si » voir la construction SDD diapo G. Berry, Collège de France, cours 2

  12. Circuits de Moore et contraction strictes • Un circuit synchrone est de Moore ssi tout fil entre une entrée et une sortie passe par au moins un registre Circuit de Moore • Une fonction f: 2Z 2Z est strictement contractante • ssi f(x)n dépend seulement de x0x1...xn1 x,y. d(f(x),f(y)) d(x,y) Théorème : une fonction est strictement contractante ssi elle est réalisable par un circuit de Moore G. Berry, Collège de France, cours 2

  13. Rebouclage des circuits de Moore Circuit de Moore f(x) x G. Berry, Collège de France, cours 2

  14. Rebouclage des circuits de Moore Circuit de Moore f(x)  x f(x) x,y. d(f(x),f(y)) d(x,y)  x,y. d(f(x),f(y)) 0,6 d(x,y) Lifschitz Théorème de Banach :toute fonction Lifschitzienne sur un compact a un point fixe unique G. Berry, Collège de France, cours 2

  15. r r = 0 s + + 1 0 0 + + a b s r 2 1 1 1 a b r s 3 2 2 2 L’addition dans l’espace + a 0 + b s  ab mais en temps infini ! 0 continuité : couper à n bits pour n bits de sortie x2nxmod2n s2n1 a2nb2n  G. Berry, Collège de France, cours 2

  16. + + Additionneur 3 bits (Full Adder) s a oux a s b b r c c et r bits et ou abc  s2r et s  aouxbouxc r  (a et b) ou (b et c) ou (c et a) G. Berry, Collège de France, cours 2

  17. + + Opérateurs 2-adiques de base a s abc  s2r b r c 20x0x1...xn... 2x0x1...xn... 2x0x1...xn... x 12x x 2x 21x0x1...xn... G. Berry, Collège de France, cours 2

  18. s s Addition et soustraction dans le temps a a + + b b + + 2r r r 12r ab2r  s2r ab12r  s2r bb 1 s  ab b1 b même équation que dans l’espace ! ab  s tick ! s  ab G. Berry, Collège de France, cours 2

  19. si sp Addition mixte espace / temps a  apai x y 2x0y0x1y1... ap ai + + bp bi + + s  spsi b  bpbi rp tick ! s  ab 2ri ri toujours la même équation ! Code source constant pour tous les échanges espace / temps G. Berry, Collège de France, cours 2

  20. s Addition stéréo a + b + spsi (apai)(bp bi) r additionneur stéréo Alterne deux additions dans le temps stéréo  canal gauche  canal droit G. Berry, Collège de France, cours 2

  21. s s Addition et soustraction dans le temps a a + + b b + + a a   s s b b tick ! G. Berry, Collège de France, cours 2

  22. x 3x  x _ y  x/3 Multiplication et division par une constante preuve : x2x  3x preuve : yx2y division seulement par des entiers impairs! G. Berry, Collège de France, cours 2

  23. Quasi-inverse y1/(12x) y2xy 1 y12xy ?  x y12xy1/(12x) contractante  synchrone mais mémoire infinie (cf. construction SDD diapo ??) G. Berry, Collège de France, cours 2

  24. x z y   Quasi-racinecarrée y 18x ça ne nous dit rien sur les bits qui passent ! y 14z y2 18z16z2 zx2z2 y2 18x16z216z2 G. Berry, Collège de France, cours 2

  25. Décomposition spatio-temporelle de f synchrone f0premier bit sorti par f pour l’entrée 0... f1... 1... fwdernier bit sorti par f pour le mot fini w f00-prédicteur : f0w=f(w0) pour tout mot w f11-prédicteur : f1w=f(w1) fuu-prédicteur : fuw=f(wu) pour tout mots w,u G. Berry, Collège de France, cours 2

  26. x 3x + Automate de x  3x 0/0 1/1 00 10 0/1 0/1 1/0 0/0 01 11 1/0 1/1 G. Berry, Collège de France, cours 2

  27. x 3x + Prédicteur 0 de x  3x 0/0 0/0 0/ 1/1 1/ 1/1 00 00 10 10 0/1 0/ 0/0 0/1 0/0 0/ 1/0 1/ 1/0 0/0 0/1 0/ 01 11 01 11 1/0 1/0 1/ 1/1 1/ 1/0 G. Berry, Collège de France, cours 2

  28. x f1 1 f(x) 0 f0 Etape de décomposition f(x) = mux(x, f12f1(x), f02f0(x)) f1 f0 G. Berry, Collège de France, cours 2

  29. x f11 f11 1 x f10 f10 0 f1 1 f1 f(x) x f0 0 f0 f01 f01 1 f00 0 f00 Forme normale SDD de f : 2z2z ... ... ... ... Table de vérité dans l’espace et le temps ultra-rapide : chemin critique  un mux La moitié des bits disparaît à chaque cycle G. Berry, Collège de France, cours 2

  30. x f11 f11 1 x f10 f10 0 1 f1 f1 f(x) x f0 0 f0 f01 f01 1 f00 0 f00 SDD partagé de f : 2z2z à mémoire finie ... ... ... ... f à mémoire finie  nb fini de prédicteurs fu distincts n f à n registres  SDD(f) peut avoir 22registres G. Berry, Collège de France, cours 2

  31. Trace d’une fonction synchrone Tr(f) 2f0f1f00f01 f10f11f000f001... f02f14(Tr(f0) ʘ Tr(f1 )) L’application d’une trace Tr(f) à un argument x est continue  calcul ? Série formelle sur Z/2Z : S(f) = n Tr(f)nzn Théorème : f:2Z 2Zest de mémoire finie ssi S(f) est algébrique dans Z/2Z G. Berry, Collège de France, cours 2

  32. Des traces synchrones aux trancendants Théorème (Van der Porten) : si f est à mémoire finie, alors le nombre réel 0, f0f1f00f01 f10f11f000f001... est soit rationnel soit transcendant AutomaticSequences: Theory, Applications, Generalizations Jean-Paul Allouche et Jeffrey Shallit Cambridge University Press (21 juillet 2003) Cf. aussicours 5 2010, systèmes finis, http://www.college-de-france.fr/site/gerard-berry/index.htm#|m=course|q=/site/gerard-berry/course-2009-2010.htm|p=../gerard-berry/course-2009-12-16-10h00.htm| G. Berry, Collège de France, cours 2

  33. Des fonctions continues aux circuits f continue mais pas synchrone  dilater le temps • nombre 2-adique : < valeur, validité> • 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 ... • 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 ... • 0 1 1 0 1 Théorème : toute fonction continue peut être réalisée par un circuit synchrone avec validité G. Berry, Collège de France, cours 2

  34. Conclusion Merci à Jean Vuillemin • Les 2-adiques sont le bon modèle des circuits synchrones arithmétiques (seulement ?) • La distance 2-adique, la continuité et le synchronisme sont des notions vraiment fondamentales • La structure de l’espace des prédicteurs reste à comprendre • La relation fonction continue / circuit synchrone à validité est encore largement à étudier (calcul?) G. Berry, Collège de France, cours 2

  35. + + + + Commutation opérateurs / délais a a s  s’ s’ b r b r’ r’ c c s’2r’  2(abc) s’2r’  2a2b2c Utilisation: couper les chemins critiques G. Berry, Collège de France, cours 2

  36. Annexe – optimisation par retiming • Commutation opérateurs / registres • Le retiming comme optimisation fondamentale des circuits en temps G. Berry, Collège de France, cours 2

  37. Le retiming, un accélérateur majeur 0 + + Calcule2s + + + + G. Berry, Collège de France, cours 2

  38. Le retiming, un accélérateur majeur 0 + + Calcule2s + Calcule4s + + + G. Berry, Collège de France, cours 2

  39. Le retiming, un accélérateur majeur 0 + n bits: latence n-1, temps 1 + + Calcule4s + + + G. Berry, Collège de France, cours 2

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