Matemática Básica para Economistas MA99

1. Matemática Básica para Economistas MA99 UNIDAD 6 Clase 14.1 Tema: Composición de Funciones Función Inversa

2. Composición de Funciones Ejemplo:El ingreso mensual I obtenido por vender zapatos de determinado modelo es una función de la demanda “x” del mercado. Si una función ingreso mensual y la demanda dependieran del precio “p” por par,tal como se muestra : I= 300p - 2p2 y p=300 – x/2. ¿Cómo depende I de x?

3. Composición de Funciones Definición: Sean f y g dos funciones. Sea x en el dominio de g de tal manera que g(x) pertenezca al dominio de f. Entonces la composición fog (f compuesta con g) se define por: (f o g)(x) = f(g(x))

4. Composición de Funciones Por ejemplo: y g(x) y (fog)(x) f(x) x x 0 2 2 -2 Dom(f) = RDom(g) = [0, ∞[ Dom(fog) = [2, ∞[

5. g f Composición de Funciones fog x. . g(x) .f(g(x)) Dom de g Ran de f Ran de g Dom de f

6. Composición de Funciones La función compuesta fog, de dos funciones, f y g se define así: (fog)(x) = f(g(x)) El dominio defog es el conjunto de todas las x en el dominio deg, tales que g(x)esté en el dominio def.

7. Ejemplo: Sean las funciones : a) Determinar la regla de correspondencia (fog)(x) y el dominio de fog b) Determinar la regla de correspondencia (gof)(x) y el dominio de gof.

8. a) (fog)(9) b) (fog)(4) c) fog d) (gof)(6) e) (gof)(1) c) gof Ejemplo: Sean las funciones : Evalúe:

9. Ejemplo: Sean las funciones : a) Determine fog. b) Determine fog(-1).

10. Composición de FuncionesAplicación Un estudio ambiental de cierta comunidad señala que el nivel medio diario de monóxido de carbono en el aire será: partes por millón cuando la población es de p miles. Se estima que dentro de t años, la población de la comunidad será de: miles. • Grafique en un plano coordenado la función C(p) indicando su dominio y rango. • Calcule e interprete la función (CoP)(t)

11. Función Inversa Introducción: Supongamos que la función de demanda de un mercado es lineal y puede representarse como: p = -3q + 8 ¿Cómo expresa la demanda en función del precio?, ¿Cómo sería la gráfica?

12. Definición previa: función biunívoca • Una función f , con dominio D es una función biunívoca si cumple una de las condiciones siguientes: - Si a  b en D, entonces f(a)  f(b) - Si f(a) = f(b), entonces a=b en D

13. Ejemplo 1: ¿Es biunívoca la función f, con regla de correspondencia: f(x) = 2x-1? Si es biunívoca

14. Ejemplo 2:¿Es biunívoca la función f(x)=x2-1? No es biunívoca

15. ¿En qué dominio será biunívoca? x -; 0 x[0;  [

16. Observaciones: • Una función f es biunívoca si y sólo sí toda recta horizontal intercepta a su gráfica a lo más en un punto. • Una función creciente es biunívoca. • Una función decreciente es ………… biunívoca

17. Función Inversa: La función inversa de f se denota por f-1 Definición: Si f-1 es inversa de f: (fof-1)(x) = x Dom (f-1) = Ran (f) Ran (f-1) = Dom (f)

18. Función Inversa: Para determinar la función inversa (f-1): • Verificar que f es biunívoca. • Despejar x en términos de y. • Cambiar x por y.

19. Ejemplo: Hallar f-1(x) si f(x) = 4x – 3, si x ε [-2, 5] Dom f-1 = Ran f

20. 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 Regla: la función inversa f-1 es simétrica con f, respecto a la recta y = x f(x) y = x f(x) f-1(x) x

21. Halle la inversa de f(x) = x2 - 1, x>0 y grafique f y f-1 en el mismo plano: 2.x = f -1(x)= , x > -1 • 3. Composición: • f -1(x2 - 1) = , x>0 • f ( ) = ( )2 - 1= x,x>-1 1.Es biunívoca en x>0

22. f(x) y f –1(x) x Graficando f y f -1 en un mismo plano:

23. ¿Por qué una función que no es biunívoca no tiene inversa? y x No sería una función

24. Ejercicios: Hallar y graficar: