Unidad de competencia IV La distribución Normal

1. Unidad de competencia IV La distribución Normal

2. Distribución normal. Los métodos gráficos pueden ayudarnos a visualizar gran variedad de formas que toman las distribuciones de frecuencias. Algunas perfectamente simétricas o libres de sesgo; otras sesgadas ya sea negativa o positivamente y algunas otras, incluso, tienen más de una “joroba”, las cuáles se muestran en la siguiente diapositiva. Dentro de esta gran diversidad existe una distribución de frecuencia con la cuál ya estamos familiarizados. Esta distribución se

3. Distribución normal. Sesgo positivo Sesgo negativo Simétrica o unimodal Bimodal

4. Distribución normal. conoce como la distribución normal o la curva normal. La utilidad de la curva normal, puede verse en aplicaciones a situaciones reales de investigación. La distribución normal es un ingrediente esencial en la toma de decisiones en la estadística, por medio del cuál el investigador generaliza sus resultados de muestras a poblaciones. Antes de proceder a un estudio de las técnicas de la toma de decisiones es necesario lograr primero una comprensión de las

5. Distribución normal. propiedades de la distribución normal. Característica de la curva normal. La gráfica de la curva normal es como la siguiente:

6. Distribución normal. La curva normal es un tipo de curva uniforme y simétrica cuya forma recuerda a muchos una campana y por tanto se conoce como la “curva en forma de campana” o “campana de Gauss”. La curva normal es simétrica y unimodal. Además la media, mediana y moda ocurren en el mismo punto. Desde el pico central de la distribución normal, la curva cae gradualmente en ambos lados, extendiendose indefinidamente en una y otra dirección y acercándose más y más a la línea

7. 4.1 Distribución normal. horizontal sin alcanzarla realmente. Una distribución normal es definida por 2 parámetros: la media µ y la desviación estándar σ. Su función de densidad de probabilidad está dada por: La media de una distribución normal puede tener cualquier valor, negativo, positivo o cero. Ejemplos de 3 distribuciones normales que tienen la misma desviación estándar, pero diferentes medias: -10, 0, 20.

8. 4.1 Distribución normal. a. b.

9. 4.1 Distribución normal. Como ejemplos de distribuciones de datos reales, que se asemejan o se aproximan a una distribución normal, podemos citar la estatura de las personas, el cociente intelectual y las calificaciones que se les asigna a los alumnos. Área bajo la curva normal. Para poder emplear la curva normal en la resolución de problemas, debemos familiarizarnos con el área bajo la curva normal:

10. Distribución normal. aquella área entre la curva y la línea horizontal y que contiene el 100% o todos los casos, es una distribución normal dada, el 50% cae a la derecha de la media y 50% a la izquierda. Podríamos encerrar una porción de esta área total dibujando líneas a partir de 2 puntos cualesquiera, desde la línea horizontal hasta la curva. Por ejemplo, usando la media como punto de partida, podríamos dibujar una línea en y otra que está a 1 desviación estándar (sigma= )

11. Distribución normal. de . Como lo ilustra la siguiente figura, esta porción sombreada de la curva normal incluye 34.13% de la frecuencia total. De igual forma, se puede decir que el 47.72 %

12. Distribución normal. de los casos bajo la curva normal están entre y 2 sigmas y que el 49.87% están entre y 3 sigmas. Como se verá, una proporción constante del área total, bajo la curva normal, estará entre la media y cualquier distancia dada de x, medida en desviaciones estándar. Esto es cierto a pesar de la media y de la desviación estándar de la distribución en particular, y se aplica a todos los datos que se distribuyen normalmente, ya sean estaturas,

13. Distribución normal. inteligencia, calificaciones, etc. La naturaleza simétrica de la curva normal, nos lleva a otra importante conclusión: Cualquier distancia sigma dada arriba de la media, contiene una proporción idéntica de casos que la misma distancia sigma por abajo de la media. Así, el 68.26% del área total de la curva normal cae entre y de la media, el 95.44% de área cae entre y de la media, el 99.74% cae entre y de la media, como se muestra:

14. Distribución normal. 68.26% 95.44% 99.74%

15. 4.2 Distribución normal estándar. Distribución normal estándar. Una distribución normal con media cero (µ=0) y desviación estándar uno (σ =1) se llama distribución normal estándar (z). La siguiente es la gráfica de una distribución normal estándar.

16. 4.2 Distribución normal estándar. Para calcular la probabilidad en cualquier distribución normal, se hace calculando el área bajo la curva normal. Para la distribución normal estándar ya se encuentran calculadas las áreas bajo la curva normal y se cuenta con tablas que dan estas áreas y que se utilizan para calcular las probabilidades. Al final del libro de Anderson, Sweeney y Williams, vienen 2 tablas, la primera de ellas contiene las probabilidades acumuladas correspondientes a valores de z menores o iguales a la media, cero. La segunda contiene áreas, o

17. 4.2 Distribución normal estándar. probabilidades acumuladas, correspondientes a valores de z mayores o iguales a la media, cero. Los tres tipos de probabilidades que se necesitan calcular son: a) la probabilidad de que z sea menor o igual que un valor dado, P(z ≤ z1); b) La probabilidad de que z esté entre 2 valores dados, P(z1 ≤ z ≤ z2) ; c) la probabilidad de que z sea mayor o igual que un valar dado, P(z ≥ z1).

18. 4.2 Distribución normal estándar. Calculo de probabilidades con uso de tablas Si se desea calcular la siguiente probabilidad de que z sea igual o menor a 1.27, esto es P(z≤1.27), consultando la primera tabla, se localiza primero el valor de los dos primeros dígitos, 1.2, en la primera columna vertical y luego se localiza el 0.07 en la primera columna horizontal, la intersección de las 2 columnas nos proporciona el resultado de 0.8980 . Tal como se muestra a continuación:

19. 4.2 Distribución normal estándar.

20. 4.2 Distribución normal estándar.

21. Distribución normal. • Ejemplo 1. • Utilizando la tabla , determine el área bajo la distribución normal que cae entre los siguientes valores: • Menor que 0.23 R. 0.5910 • Mayor que 1.24 R. 1-0.8925 = 0.1075 • Mayor que -1.62 R. 1-0.0526 = 0. 9474 • Menor que -0.97 R. 0.166 • -2.34 y 0. R. 0.50 - 0.0096 =0.4904 • b. -0.59 y 2.16 R. 0.9846 - 0.4846 = 0.707

22. 4.3 Probabilidades de cualquier distribución normal La razón por la cuál la distribución normal estándar se estudia de manera particular, es que todas las distribuciones normales pueden ser calculadas mediante la distribución normal estándar. Esto es, las probabilidades de cualquier distribución normal con media µ y desviación estándar σ, se pueden obtener pasando primero a la distribución normal estándar. La fórmula que se emplea para convertir cualquier variable aleatoria x con media µ y desviación estándar σ, en variable aleatoria z, es:

23. 4.3 Probabilidades de cualquier distribución normal Para ver cómo esta distribución permite calcular probabilidades de cualquier distribución normal, veamos un ejemplo. Ejemplo. sea una distribución con media µ=10 y desviación estándar σ = 2. ¿Cuál es la probabilidad de que la variable aleatoria x esté entre 10 y 14? Calculemos primero los correspondientes valores en la variable z, de cada uno de los valores 10 y 14, esto es:

24. 4.3 Probabilidades de cualquier distribución normal De la manera simbólica, lo probabilidad que buscamos es: P( 10 ≤ x ≤ 14) = P( 0≤ z ≤ 2) que, utilizando las tablas obtenemos P( 0≤ z ≤ 2) =0.9772 - 0.5 = 0.4772 por lo tanto, la probabilidad de que x esté entre 10 y 14 es 0.4772.

25. 4.3 Probabilidades de cualquier distribución normal Las probabilidades de cualquier distribución normal, se pueden obtener utilizando Excel. La función de Excel es DISTR.NORM, que da las probabilidades acumuladas de una distribución normal. Su forma general es: DISTR.NORM(x, media, desv_estándar, acum), en acum se especifica verdadero, si se desea una probabilidad acumulada. De esta manera, para calcular la probabilidad del ejemplo anterior se ingresaría en cualquier celda la fórmula

26. 4.3 Probabilidades de cualquier distribución normal = DISTR.NORM(14, 10, 2, VERDADAERO) – DISTR.NORM(10, 10, 2, VERDADAERO) = 0.97724 - 0.5 = 0.47724

27. Distribución normal. • Ejemplo 2. • Si se tiene una variable X con media 500 y desviación estándar de 100, encontrar el área de las distribución de los valores X: • a. Mayores que 700. • b. Menores que 635. • c. Entre 450 y 560. • e. Menores que 355. • d. Menores que 396 y mayores que 680. • Solución: • Mayores que 700 • Se obtiene el puntaje estándar con la relación anterior

28. Distribución normal. Solución: nos apoyamos de las tablas para encontrar el área para valores mayores que z =2, esto es, 1- 0.9772 = 0.0228. b. Menores que 635: nos apoyamos de las tabla para encontrar el área para valores menores que z =1.35, esto es, 0.9115. c. Entre 450 y 560: y nos apoyamos de las tablas para encontrar el porcentaje de valores que caen entre z = -0.5035 y z = 0.60, esto es, 0.7257-0.3085 = 0.4172. Los incisos d) y e) se dejan como ejercicios.

29. Distribución normal. • Ejemplo 3. • Dada una distribución normal de la variable cociente intelectual en la cuál = 100 y una desviación estándar de 12, determinar: • El porcentaje de alumnos que tienen un CI de 130 o más. • Se obtiene el puntaje estándar , • nos apoyamos de las tablas para encontrar el área de los valores • que son mayores que z = 2.5, así, 1- 0.9938 = 0.0062 Por lo • que el porcentaje de alumnos que tiene un CI de 130 o más es • 0.62%.

30. Distribución normal. b. La probabilidad de que un alumno tenga un CI entre 80 y 120. así, la probabilidad de que z esté entre -1.67 y 1.67 es: 0.9525-0.0475 = 0.905 Por lo que la probabilidad de que un alumno tenga un CI entre 80 y 120 es 0.905.

31. Distribución normal. c. La probabilidad de que un alumno tenga un CI mayor que 110, pero menor que 124. así, la probabilidad de que z esté entre 0.83 y 2 es: 0.4772 - 0.2967 = 0.1805 por lo que la probabilidad que un alumno tenga un coeficiente intelectual mayor que 110, pero menor que 124 es 0.1805.

32. Distribución normal. Estadísticos y parámetros. Matemáticamente, podemos describir muestras y poblaciones al emplear mediciones como la media, la mediana, la moda y la desviación estándar. Cuando estos términos describen las características de una muestra, se denominan estadísticos. Cuando describen las características de una población, se llaman parámetros. Es común emplear letras latinas minúsculas para denotar los estadísticos de la muestra y letras griegas o latina mayúsculas para representar los

33. Distribución normal. parámetros de una población. Distribuciones muestrales. Una distribución de frecuencias relativas o de probabilidad de todas las medias posibles de las muestras es una distribución de las medias de las muestras. Cualquier distribución, sea de probabilidad o de muestreo, puede ser descrita por su media y su desviación estándar.

34. Distribución normal. Media de la distribución de medias. La media de todas las medias muestrales, se representa por , es exactamente igual a la media de la población . Concepto de error estándar. En lugar de decir “la desviación estándar de la distribución de las medias de la muestra”, para describir una distribución de medias de la muestra, nos referiremos al error estándar de la media. El error estándar de las medias muestrales

35. Distribución normal. es igual a la desviación estándar de la población dividida por el tamaño de la muestra n. Es decir: Además, la cantidad es una distribución normal estándar.

36. Distribución normal. Ejemplo 4. Se sabe que en el tiempo que emplea un deportista en recorrer tres kms se distribuye de manera normal con media 10 minutos y varianza 9 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 16 deportistas se obtenga un tiempo medio de respuesta superior o igual a 11 minutos. Solución: Tenemos que así,

37. Distribución normal. Solución: La probabilidad de que z sea mayor o igual a 1.33 es: 1- 0.9082= 0.0918 Por lo que la probabilidad que se tenga un tiempo medio igual o superior a 11 minutos es 0.0918.

38. Distribución normal. Ejercicio 1. Una población tiene una distribución normal con media 98.6 y desviación estándar de 17.2. Si se toma una muestra de 25 observaciones, ¿cuál es la probabilidad de que la media esté entre 92 y 102? Encuentre la probabilidad correspondiente en un muestra de 36. R. 0.8115, 0.8703

39. Distribución normal. Muestreo en poblaciones que no están distribuidas normalmente. Con frecuencia un investigador sabe que la población de la que se sacó su muestra no está normalmente distribuida. En este caso, no se pueden aplicar los resultados establecidos anteriormente para las poblaciones normalmente distribuidas. De ninguna manera la situación es insoluble. Hay métodos que se puede emplear cuando se necesita hacer una inferencia sobre la media correspondiente a una población de este

40. Distribución normal. tipo. Una solución usada con frecuencia requiere que se extraiga una muestra grande de la población de interés. Lo anterior se basa, en el teorema de límite central: Sin tener en cuenta la forma funcional de la población de donde se extrae la muestra, la distribución de las medias muestrales, calculadas con muestras de tamaño n extraídas de una población con media y varianza finita , se aproxima a una distribución normal con media y varianza , cuando n aumenta.

41. Distribución normal. Si n es grande, la distribución de las medias muestrales puede aproximarse mucho a una distribución normal. Podemos preguntarnos qué tan grande debe ser n para que tenga valor el uso del teorema de límite central. Es práctica común usar un tamaño de muestra de 30 como una muestra grande, en este curso usaremos esta práctica aún siendo esta un poco arbitraria.

42. Distribución normal. Ejercicio 2. La ingestión media diaria de agua de un animal de laboratorio es de 16 gramos. La desviación estándar es de 2 gramos. ¿Cuál es la probabilidad de que la ingestión media diaria de agua para una muestra aleatoria de 65 animales esté entre 15.50 y 16.25 gramos? R. 0.8185

43. Distribución normal. Muestreo en poblaciones finitas. La varianza de la distribución muestral de la media está dada por cuando el muestreo se hace sin reemplazo (procedimiento usual en la práctica) en una población finita). Cuando n/N es menor o igual que 0.05, se puede omitir el factor . N=Tamaño de la población n = Tamaño de la muestra

44. Distribución normal. Ejemplo 5. Una universidad emplea 1500 profesores. La cantidad promedio gastada durante un año determinado en servicios médicos personales fue de $2575 pesos, con una desviación estándar de $525 pesos. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 100 profesores arroje una media entre $2500 y $2700 pesos? Solución: Tenemos que utilizamos la fórmula de la varianza muestral para poblaciones finitas

45. Distribución normal. Solución: la desviación estándar sería entonces, así, los puntajes estándar son: la probabilidad de que z esté entre -1.48 y 2.46 es: 0.9931 - 0.0694= 0.9237 La probabilidad de que una muestra aleatoria de 100 profesores arroje una media entre 2500 y 2700 es 0.9237.