Lógica de Descrição x Lógica modal

1. Lógica de Descrição x Lógica modal Everton Guerra Marques

2. Roteiro • Introdução à lógica Modal • Saul Kripke • Lógica modal K • Lógica de Descrição x Lógica modal K • Conclusão • Referências

3. Introdução à lógica modal • Principais contribuidores da lógica modal • Clarence Irving Lewis - em 1912 deu origem a lógica moderna, composta pelas três tradições: semântica, algébrica e sintática. • Saul Aaron Kripke - amplamente conhecido como um dos mais importantes filósofos vivos. Publicou SemanticalConsiderationson Modal Logic em 1963, onde propôs uma resposta a uma dificuldade da teoria clássica da quantificação. • Amir Pnueli - primeiro utilizador da lógica temporal. • Vaughan Ronald Pratt - desenvolvedor do sistema de lógica dinâmica • Arthur Norman Prior - fundou a lógica temporal e contribuiu com a lógica intencional.

4. Introdução à lógica modal • A Lógica Modal faz parte da pesquisa atual em diversas áreas da ciência da computação. • Encontram-se algumas aplicações na área de: • Inteligência artificial • Representação do conhecimento e dedução automática • Especificação formal de sistemas • Engenharia de software e lingüística computacional.

5. Introdução à lógica modal • A Lógica Modal pode ser encarada como uma extensão da Lógica Proposicional. • Grande parte das lógicas modais teve origem em uma lógica "fraca", conhecida como Lógica K. • A lógica K leva este nome em homenagem a Saul Kripke por sua contribuição. • A Lógica Modal é bastante utilizada na análise semântica, visto que as representações dos conectivos modais permitem expressar advérbios, dentre os quais a Lógica Clássica não pode representar.

6. Introdução à lógica modal • Uma compreensão da Lógica Modal é particularmente valiosa na análise formal de argumento filosófico onde expressões da família modal são comuns e confusas. • Trata-se da lógica do "é necessário que" (representado por “") e do é "possível que" (representado por “◊”). • Portanto, não considera apenas a veracidade e a falsidade das proposições como se apresentam, mas como seria se fossem diferentes.

7. Introdução à lógica modal • Como um operador pode ser derivado do outro, pode-se manter uma representação de apenas um deles e fazer uma transformação na expressão trabalhada sempre que se encontra o outro. • Há algumas variações de lógica modal, dependendo de quais axiomas são incluídos no conjunto de axiomas básicos (da lógica proposicional).

8. Introdução à lógica modal • Há outros operadores lógicos que podem ser derivados dos já definidos (os quatro da lógica proposicional, mas os dois acima citados). • Por exemplo, o 'ou-exclusivo'. Apesar de não ter uma notação padrão, é comum representá-lo por f1 f2 . • A regra do ou-exclusivo é se duas fórmulas f1 e f2 são ambas verdadeiras ou ambas falsas, f1f2 é falsa. Caso contrário é verdadeiro.

9. Introdução à lógica modal • Esta lógica permite analisar não só o que dizem as coisas no mundo, mas o que diriam em um mundo alternativo; não factual, mas possível. • Isto é, se interessa pelas verdades e falsidades que são geradas por asserções neste mundo real e em outros possíveis mundos, visto que se chama de mundo possível uma situação contra-fatual que não aconteceu, mas poderia ter acontecido. • Neste sentido, uma proposição será necessária em um mundo se ela é verdadeira em todos os possíveis mundos relacionados com este, e possível em um mundo se essa é verdadeira em pelo menos um daqueles mundos relacionados a este.

10. Introdução à lógica modal • Lógicas modais tratam de modalidades. Além dos conectivos são inseridos dois novos conectivos unários (modalidades):

11. Introdução à lógica modal • Linguagem das lógicas modais: • Alfabeto: Símbolos lógicos, e símbolos proposicionais (P). • Linguagem: é menor conjunto que: • então • então com • então

12. Introdução à lógica modal • Aplicações • Solução de problemas de sentenças proposicionais • Análise formal de argumento filosófico • Estudo da inteligência artificial

13. Saul Kripke • Saul Aaron Kripke: • nascido em 1940 em Omaha, Nebraska. • É amplamente reconhecido como um dos filósofos vivos mais importantes. Sua obra é muito influente em diversas áreas da filosofia, desde a lógica até a filosofia da mente, passando pela filosofia da linguagem. • Ele é professor emérito em Princeton e professor de filosofia na City UniversityofNew York (CUNY). • Boa parte da sua obra é inédita, e circula na forma de gravações de áudio e cópias de manuscritos. Em 2001 ele recebeu o Prêmio Schock em Lógica e Filosofia.

14. Saul Kripke • Kripke é conhecido principalmente por quatro contribuições para a filosofia: • uma semântica para a lógica modal e outras lógicas relacionadas, publicadas quando ele tinha menos de vinte anos de idade; • suas conferências Naming and necessity, proferidas em Princeton em 1970 (publicadas em 1972 e 1980); • uma interpretação controversa de Wittgenstein; • sua teoria da verdade;

15. Saul Kripke • Dois dos primeiros trabalhos de Kripke (A Completeness Theorem in Modal Logic e Considerations on Modal Logic) influenciaram amplamente a lógica modal. • Em Semantical Considerations on Modal Logic, publicado em 1963, Kripke responde a uma dificuldade da teoria clássica da quantificação. • Toda a motivação para a abordagem relativa a mundos era refletir a idéia que objetos existentes em um mundo podem não existir em outro.

16. Saul Kripke • Todavia, se as regras de quantificação padrão são utilizadas, cada termo deve referir a algo que existe em todos os mundos possíveis. • Isso parece incompatível com nossa prática comum de usar termos para nos referirmos a coisas que existem apenas contigentemente, não necessariamente. • A resposta de Kripke a essa dificuldade foi eliminar termos. Ele deu um exemplo de uma interpretação relativa a um mundo que preserva as regras clássicas. • Todavia, o custo para a solução do problema foi caro. Primeiro, sua linguagem foi empobrecida artificialmente. Segundo, as regras para a lógica modal proposicional devem ser enfraquecidas.

17. Lógica Modal K • Grande parte das lógicas modais teve origem em uma lógica "fraca", conhecida como Lógica K, que leva este nome em homenagem a Saul Kripke por sua contribuição. • Um modelo de Kripke é uma tripla m = <Wm,Rm,hm> tal que: • Wm é um conjunto não vazio dos mundos possíveis de m; • Rm C Wm x Wm representa a relação de acessibilidade de m; • hm : ν → ρ(Wm) é uma função que estabelece um valor de verdade arbitrário para cada fórmula atômica da linguagem e um valor para cada fórmula molecular em vista dos valores das fórmulas atômicas.

18. Lógica Modal K • Axiomatização da Lógica Modal Normal Mínima (K) • Primeiramente definiremos a sintática da lógica modal por sua axiomática. Existem vários tipos de lógica modal, começaremos descrevendo a axiomática da menor lógica normal, também chamada de lógica K: • Axiomas • A0) Todas as tautologias clássicas • K)

19. Lógica Modal K • Regras de Inferência • Modus Ponens: • Necessitação: • Obs.: Para podermos derivar temos que ter provado A, não é sempre verdade que

20. Lógica modal K • Estrutura de Krypke • Uma estrutura (frame)de Krypke é um par (W,R) onde: • W é um conjunto não vazio. Representa o conjunto de mundos possíveis • é uma relação binária. Relação de acessibilidade. • Modelo de Krypke • μ = (W,R,v) é um modelo de Krypke se e somente se: • (W,R) é uma estrutura de Krypke. Ou seja v leva símbolos proposicionais aos mundos nos quais eles são verdadeiros.

21. Lógica modal K • No exemplo da figura 1 o conjunto de estados é W = {s1;s2; s3; s4; s5} e a relação de acessibilidade é R = {(s1; s2); (s1; s3); (s3; s3); (s3; s4); (s2; s4); (s2; s5);(s4; s1); (s4; s5); (s5; s5)g. O frame é F = (W;R).

22. Lógica Modal K • No exemplo da figura 2 o frame é o mesmo da figura 1 e a função V é: • V (p) = {s3; s4; s5} • V (q) = {s1; s5} • V (r) = {s1}

23. Lógica modal K • Uma semântica de Kripke, ou sistema modal, é uma classe Kr de modelos de Kripke. • O sistema K é o menor dos sistemas modais normais, isto é, a interseção de todos os sistemas modais normais, justificado pelos seguintes princípios: • se trata de um sistema de lógica modal, visto que se trata de um conjunto de axiomas e regras de inferência que representam formalmente o raciocínio válido; • é fechado para modus ponens e necessitação, isto é, se A é uma tese então  A é uma tese;

24. Lógica modal K • contém os axiomas K e Df ◊: • K: ((A → B)) →(( A) → ( B)); • Df◊: (◊ A) ↔ (¬( ¬A)); • Uma assinatura é uma família C = {Cn}{n∈N} tal que cada Cn é um conjunto, sendo que Cn ∩ Cm = ø se n ≠ m. Os elementos do conjunto Cn são chamados conectivos n-ários. Em particular, os elementos de C0 são chamados constantes. O domínio de C é o conjunto |C| = ∪{Cn : Cn ∈ N }

25. Lógica modal K • Uma assinatura modal é uma assinatura C tal que C1 = {¬,◊, ,}; C2 = {→,↔,∧,∨}; Cn = ø se n ≠ 1, n ≠ 2. • É importante observar que a relação de conseqüência de uma lógica modal pode ser obtida a partir de diferentes semânticas de Kripke.

26. Lógica de Descrição X Lógica Modal K • Lógica de Descrição • Descende das redes de heranças estruturadas • Tentou resolver ambigüidades em redes semânticas e frames que eram herança da falta de uma semântica formal. • Restrição a um pequeno conjunto de operadores “adequadamente epistemológicos” para conceitos definidos (Classes). • Importância de procedimentos de inferência básicos bem definidos. • Primeira implementação: KL-ONE. • Primeira aplicação: Processamento de linguagens naturais. Agora é aplicado em outros domínios.

27. Lógica de Descrição X Lógica Modal K • Família de formalismos de representação de conhecimento baseado em lógica apropriada para “representação de” e “explicação sobre”: • Conhecimento terminológico • Configurações • Ontologias • Esquema de Banco de Dados

28. Lógica de Descrição X Lógica Modal K • Sistemas de Lógicas de Descrição - Arquitetura

29. Lógica de Descrição X Lógica Modal K • Sistemas de lógicas de Descrição - Arquitetura

30. Lógica de Descrição X Lógica Modal K • Linguagem de descrição (DL ALC)

31. Lógica de Descrição X Lógica Modal K • Uma lógica de descrição (DL ALC) • Comumente caracterizada por um conjunto de construtores que permitem a construção de conceitos e papéis complexos através de itens atômicos • Conceitos correspondem a classes / São interpretados como um conjunto de objetos • Papéis correspondem a relações / São interpretados como relações binárias sobre objetos • Exemplo: Pai feliz em DL ALC

32. Lógica de Descrição X Lógica Modal K • Semântica formal – Baseado em interpretação assim como em predicados lógicos

33. Lógica de Descrição X Lógica Modal K • Sintaxe e Semântica de ALC • Semântica dada por significados de uma interpretação

34. Lógica de Descrição X Lógica Modal K • Antigamente, lógicas de descrição não pareciam ser nada mais do que uma notação para falar sobre conhecimento estruturado. • Mas como elas foram equipadas com uma sintaxe e semântica próprias, modelos e teorias de prova, em resumo, tornaram-se uma lógica,e tornou-se possível relacionar lógicas de descrição com outras áreas da lógica. • Em particular, a conexão entre lógicas de descrição de um lado e lógicas modais do outro lado receberam atenção especial.

35. Lógica de Descrição X Lógica Modal K • Schild (1991) foi o primeiro a fazer explicitamente a conexão entre a lógica de descrição e a lógica modal. • Ele desenvolveu a correspondência entre lógicas de descrição e lógicas dinâmicas proposicionais, que são lógicas desenvolvidas para raciocínio sobre programas. • Posteriormente Schild e De Giacomo e Lenzerini identificaram a correspondência entre lógicas de descrição e a lógica multi-modal K. • A seguir, segue o mapeamento entre lógica de descrição e a lógica modal K.

36. Lógica de Descrição X Lógica Modal K • Mapeamento entre ALC e Lógica Modal K

37. Lógica de Descrição X Lógica Modal K • Mapeamento entre ALC e Lógica Modal K

38. Conclusão • Schild (1991) mostrou que algumas lógicas de descrição são variantes notacionais de certas lógicas modais. • Especificamente a DL ALC tem uma contra-parte na lógica modal, chamada de versão multi-modal da lógica K. • Atualmente conceitos ALC e fórmulas em multi-modal K podem imediatamente serem traduzidas de uma para outra. • Além disso, um conceito ALC é satisfatível se e somente se a fórmula K correspondente for satisfatível.

39. Conclusão • Pesquisas sobre a complexidade do problema da satisfatibilidade para lógicas proposicionais modais foram iniciadas pouco tempo antes da complexidade das lógicas de descrição ser investigada. • Conseqüentemente, essa relação tornou possível pegar emprestado da lógica modal resultados complexos, técnicas de raciocínio e construtores de linguagens que não eram considerados anteriormente em Lógicas de Descrição.

40. Conclusão • Por outro lado, existem características da lógica de descrição, que não tiveram contrapartidas na lógica modal e, portanto,tornaram-se necessárias extensões ad hoc das técnicas de raciocínio desenvolvias para a lógica modal. • Em particular, restrições de números, bem como o tratamento de indivíduos no ABox, exigiram tratamentos específicos baseado na idéia de reificação, o que equivale a expressar as extensões através de um tipo especial de axioma dentro da lógica.

41. Referências • Wikipédia – Lógica modal • http://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_modal • Wikipédia – Saul Kripke • http://pt.wikipedia.org/wiki/Saul_Kripke • Lógica formal – Meu TG • http://www.cin.ufpe.br/~tg/2007-2/egm2.pdf • Modal Logics And Description Logics • Rijke, M. Modal Logics And Description Logics. IILC, University of Amsterdam

42. Referências • An Overview of Tableau Algorithms for Description Logics • Baader, F.; Sattler, U. An Overview of Tableau Algorithms for Description Logics. LuFG Theoretical Computer Science, RWTH Aachen, Germany • AnIntroduction to DescriptionLogics • Nardi, D. ; Branchman, R. AnIntroduction to DescriptionLogics. • NonstandardInferences in DescriptionLogics • Baader, F. NonstandardInferences in DescriptionLogics. TheoreticalComputerScience. RWTH Aachen. Germany.Workshop

43. Referências • Descriptionlogic • Baader, F.; Cartzen, L. Descriptionlogic. E-book • Description Logics - Basics, Applications, and More • Horrocks, I. Description Logics-Basics, Applications, and More. Information Management Group. Universityof Manchester, UK. Workshop • Tableau Algorithms for Description Logics • Baader, F. Tableau Algorithms for Description Logics. TheoreticalComputerScience. RWTH Aachen. Germany.Workshop