Funciones

1. Funciones Melany Cerda

2. Función • Definición: • Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función de A en B es una relación que asigna a cada elemento xdel conjunto A uno y solo un elemento y del conjunto B. Se expresa como: f: AB xf(x) = y Se dice que y es la imagen de x mediante f, y que x es la pre-imagen de f(x) = y

3. Función • Conceptos: • Dominio: es el conjunto de todos los valores para los cuales está definida la función y se denota Dom f. • Recorrido: es el conjunto de todos los valores que toma la variable independiente (Y), y se denota Rec f. • Función Creciente: es aquella que al aumentar la variable independiente, también aumenta la variable dependiente. • Función Decreciente: es aquella que al aumentar la variable independiente, la variable dependiente disminuye. • Función Constante: es aquella que para todos los valores de la variable independiente, la variable dependiente toma un único valor

4. Función • Función Continua: Es aquella en la que su gráfica se puede recorrer en forma ininterrumpida en toda su extensión.

5. Función • Función Discontinua: Es aquella que no es continua, es decir, presenta separaciones y/o saltos en su gráfica.

6. Función • Función Periódica: Es aquella en la que su gráfica se repite cada cierto intervalo, llamado período.

7. Función • Conceptos Fundamentales: • Si tenemos una relación f entre dos conjuntos A y B,f se dirá función si a cada valor del conjunto de partida A le corresponde uno y sólo un valor en el conjunto de llegada B. f A B a b = f(a) f(x) x f(x)

8. Función • Conceptos Fundamentales: • La variable x corresponde a la variable independiente y la variable cuyo valor viene determinado por el que toma x, se llama variable independiente. Se designa generalmente por y o f(x) [se lee “f de x”]. Decir que “y” es función de “x” equivale a decir que “y” depende de “x”. f A B a b = f(a) x f(x)

9. Función • Conceptos Fundamentales Se dirá: • f : A B • b € B es la imagen de a € A bajo la función f y se denota por b= f(a) • Dom f =A • Si (x, y) € f ^ (x, z) € f y = z (Unívoca) Toda función es relación, pero no toda relación es función.

10. Función • Rango o Recorrido de f: Es aquel subconjunto del codominio en el cual todos sus elementos son imagen de alguna preimagen del dominio o conjunto de partida. Se denota por Rec f. f A B 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 a b c d e Se puede ver que para todo elemento de A, existe sólo una imagen en B.

11. Luego para la función f denotada: • Dominio de f = Dom f = A = {a, b, c, d, e} • Codominio = B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} • Rango o Recorrido de f = Rec f = {1, 2, 3, 4, 7} f A B 1 2 3 4 5 6 7 a b c d e Los elementos {5, 6} no son imagen de ninguna preimagen en A, luego no pertenecen al rango de f .

12. Clasificación • a) Función Inyectiva: Una inyección de A en B es toda f de A en B, de modo que a elementos distintos del dominio A le corresponden imágenes distintas en el codominio B. Cada elemento de A tiene una única imagen en B (y sólo una), de tal forma que se verifica que # A ≤ # B. f A B 1 2 3 4 5 a b c d Como se ve, 4 € B y no es imagen de ningún elemento de A

13. b) Función Epiyectiva o Sobreyectiva: Una epiyección o sobreyección de A en B, de modo que todo elemento del codominio B es imagen de, al meno, un elemento del dominio A. Cada elemento de B es imagen de por lo menos un elemento de A. Se verifica que # A ≥ # B. Es decir, que en este caso el codominio es igual al recorrido. f A B a b c d 1 2

14. c) Función Biyectiva: una función f es biyectiva de A en B si y sólo si la función f es tanto Inyectiva como Epiyectiva a la vez, por lo que se verifica que #A = #B y que a cada elemento de A le corresponde una única imagen en B y que cada imagen de B le corresponde una preimagen en A. f A B a b c 1 2 3

15. Función La Respuesta correcta es B

16. Función La Respuesta correcta es D

17. Función La Respuesta correcta es E

18. I. Función Lineal • Es de la forma f(x) = mx + n con m : Pendiente n : Ordenada del punto de intersección entre la recta y el eje Y (coeficiente de posición). Ejemplo: La función f(x) = 5x – 3, tiene pendiente 5 e intersecta al eje Y en la ordenada -3.

19. I. Función Lineal • Análisis de la Pendiente Para saber con qué tipo de función se está trabajando, se debe analizar el signo de la pendiente. • Si m < 0, entonces la función es decreciente. • Si m = 0, entonces la función es constante. • Si m > 0, entonces la función es creciente.

20. I. Función Lineal Y Y I) II) m > 0 n > 0 m < 0 n > 0 n n X X Y Y III) IV) m > 0 n < 0 m < 0 n < 0 X X n n

21. I. Función Lineal • Tipos de funciones especiales: • a) La función de forma f(x) = x, se reconoce como función identidad y su gráfica es: f(x) 2 1 -1 x 1 2 -1

22. I. Función Lineal • Tipos de funciones especiales: • b) La función de la forma f(x) = c, con c: Constante Real, se conoce como función constante y su gráfica es: f(x) f(x) con c > 0 con c < 0 c ● x x ● c

23. I. Función lineal • Propiedades: • El dominio de la función lineal son todos los números IR. • Las rectas que tienen la misma m serán paralelas. • Las rectas que al multiplicar sus pendientes el producto es -1 serán perpendiculares.

24. I. Función Lineal • Evaluación de una función lineal: Dada la función f(x) = mx + n, si se busca el valor de la función para un valor cualquiera de x, basta reemplazar dicho valor, así como también si se busca el valor de x conociendo el valor de la función. Ejemplo La función que representa el valor a pagar en un taxi, después de recorridos 200m es: f(x) = 0.8x + 250 con x: cantidad de metros recorridos f(x): costo en pesos 3 km = 3000 m Entonces, el valor a pagar por un recorrido de 3 kilómetros es: f(3000) = 0.8 · 3000 + 250 = 2650 Por 3 kilómetros se pagan $2650.

25. I. Función Lineal Si queremos saber cuántos metros recorrió una persona si pagó $2.250, se debe resolver la siguiente ecuación: 2250 = 0.8x + 250 / -250 2000 = 0.8x / :0.8 2500 = x Una persona que paga $2250. recorrió 2500 metros o 2.5 kilómetros.

26. I. Función Lineal • Construcción de una Función Lineal conocidos valores de ella: • Para construir una función lineal se deben conocer dos relaciones distintas entre el valor de la variable y el valor de la función, es decir: (x , f(x )) y (x , f(x )) O bien si a f(x) le llamamos y, entonces los pares quedan: (x , y ) y (x , y ) Donde la función buscada será: 2 1 1 2 1 1 2 2 y – y 1= y2 - y 1 (x – x 1 ) x2 - x1 2 1 2 1 1 1

27. I. Función Lineal • Ejemplo Si se sabe que el agua se congela a 32º F ó 0º C y hierve a 212º F ó 100º C, ¿cómo se puede expresar los ºF como función lineal de los ºC? Solución: Se tiene la siguiente información: y Cº : variable independiente (x) ºF : variable dependiente (y) xy xy 2 2 1 1 (0, 32) (100, 212)

28. I. Función Lineal Reemplazando en: Se tiene: Donde la función que representa los ºF respecto de ºC es. y – 32 = 212 – 32 (x – 0) 100 – 0 y – 32 = 180 . x 100 y = 1.8· x + 32 y – y = y - y (x – x ) x - x 2 1 2 1 1 1 f(x) = 1.8· x + 32

29. I. Función Lineal Se le llama crecimiento aritmético a la progresión cuyos términos aumentan en una misma cantidad constante llamada diferencia. Este crecimiento aritmético gráficamente está representado por una recta con pendiente positiva. Si la pendiente es negativa se habla de un decrecimiento aritmético. Ejemplo: f (x) = 2x + 1 f (0) = 2· 0 + 1 = 1 f (1) = 2· 1 + 1 = 3 f (2) = 2· 2 + 1 = 5 f (3) = 2· 3 + 1 = 7 +2 +2 +2

30. I. Función Lineal • Gráficamente 5 3 1 1 2

31. II. Función Cuadrática • Son de la forma: • Gráfica: Siempre es una parábola, dependiendo su forma y la ubicación de sus coeficientes a, b y c. f(x) = ax² + bx + c

32. II. Función Cuadrática • Concavidad: El coeficientea de la función cuadrática indica si la parábola es abierta hacia arriba o hacia abajo. y y x x 0 0 a > 0, Abierta hacia arriba a < 0, Abierta hacia abajo

33. II. Función Cuadrática • Eje de simetría y vértice: El eje de simetría es aquella recta paralela al eje Y y que pasa por el vértice de la parábola. El vértice está dado por: Vértice = -b , f -b = -b , 4ac – b² 2a 2a 2a 4a

34. II. Función Cuadrática Además, la recta x = , corresponde al Eje de simetría. -b -b -b y y 2a 2a 2a a < 0 a > 0 _ b² - 4ac 4a · x x 0 _ b² - 4ac 4a ·

35. II. Función Cuadrática • Intersección con los ejes • Intersección con el eje Y El coeficiente c nos da el punto en el cual la parábola corta al eje Y. Sus coordenadas son (0, c) y · c x 0

36. II. Función Cuadrática • Intersección con el eje X para determinar el o los puntos donde la parábola corta al eje X, es necesario conocer el valor del discriminante de la función cuadrática. Se define el discriminante como: D = b² - 4ac

37. II. Función Cuadrática • a) Si el D = 0, la parábola corta en un solo punto al eje X. Y a > 0 (x = x , 0) 1 2 · 0 X

38. II. Función Cuadrática • b) Si el D > 0, la parábola corta en dos puntos al eje X Y a > 0 (x ,0) y(x , 0) 1 2 · · 0 X

39. II. Función Cuadrática • c) Si el D < 0, la parábola no corta al eje X. Y a > 0 0 X

40. II. Función Cuadrática • Naturaleza de las raíces de una ecuación de 2º grado Si f(x) = 0, tendremos que ax² + bx + c = 0, llamada Ecuación de 2º grado en su forma general. Toda ecuación de 2º grado posee dos soluciones, pudiendo ser reales o imaginarias, las que vienen dadas por la expresión: x = -b ±√b²- 4ac 2a (x ,0) y(x , 0) 1 x = -b ±√b²- 4ac 2a 1 2 x = -b ±√b²- 4ac 2a 2 Estas soluciones, raíces o ceros de la ecuación corresponden gráficamente a los puntos donde la función f(x) = ax² + bx + c corta al eje X. Estos puntos tienen como coordenadas

41. II. Función Cuadrática • Tipos de soluciones Dependen del valor del Discriminante • Si D = 0, 2 soluciones reales iguales • Si D > 0, 2 soluciones reales distintas (x y x € C, con x ≠ x ) • Si D < 0, 2 soluciones imaginarias distintas (x y x € C, con x ≠ x ) D = b² - 4ac 1 1 (x = y) 1 2 2 1 1 2 1 2

42. II. Función Cuadrática • Ejemplo: • Sea la ecuación de 2º grado: x² + 2x – 15 = 0. ¿Cuáles son las soluciones de esta ecuación? Sabemos que las soluciones de una ecuación de 2º grado vienen dadas por En este caso a = 1 b = 2 c = -15 Luego, Luego, x = 3 x = -5 x = -b ±√b²- 4ac 2a x = -2 ±√2²- 4·1·(-15) 2·1 x = -2 ±√4- 60 2 x = -2 ±√64 2 x = -2 ±8 2 x = -2 + 8 2 x = -2 - 8 2 1 2 1 2

43. III. Función Parte Entera • Su valor, para cada número x € IR, es la parte entera de x y se designa por [x]. Ésta se escribe: • Dado un número real x, la función parte entera le asigna el mayor entero que es menor o igual a x, es decir: Ejemplos: [2,9] = 2 ;[-7/2] = -4 ;[5] = 5 ;[√2] = 1 f(x) = [x] [x] ≤ x < [x+1] Todo número real está comprendido entre dos números enteros, la parte entera de un número es el menor de los números enteros entre los que está comprendido.

44. III. Función Parte Entera Obsérvese que esta función es constante en los intervalos semiabiertos (semicerrados) de la forma [n, n + 1[ con n € Z. Por tanto, los segmentos horizontales contienen sus extremos izquierdos, pero no los derechos

45. IV. Función Valor Absoluto • El valor absoluto de un número x € IR, denotado por |x|, es siempre un número real no negativo que se define: Ejemplo: |-3| = 3 |12| = 12 |-18| = 18 |-5,3| = 5,3 x si x ≥ 0 f(x) = |x| = -x si x < 0 Si los números reales están representados geométricamente en el eje real, el número |x| se llama distancia de x al origen.

46. IV. Función Valor Absoluto • a indica el punto de traslación en el eje de las coordenadas.

47. IV. Función Valor Absoluto • b indica el punto de traslación en el eje de las abscisas.

48. IV. Función Valor Absoluto • Propiedades: • a. Si |x| ≤ a entonces -a ≤ xa; con a ≥ 0 • b. Si |x| ≥ a entonces x ≥ a ó -x ≥ a • c. |xy| = |x| · |y| • d. |x + y| ≤ |x| + |y| (Desigualdad Triangular)

49. IV. Función Valor Absoluto • La última propiedad se llama desigualdad triangular, pues, cuando, se generaliza a vectores indica que la longitud de cada lado de un triangulo es menor o igual a la suma de las longitudes de los otros dos.

50. IV. Función Valor Absoluto • Ejercicios: • Determinar el intervalo solución de las siguiente inecuación: • a. |x – 3| ≤ 2 Aplicando la primera propiedad: -2 ≤ x – 3 ≤ 2 -2 + 3 ≤ x ≤ 2 + 3 1 ≤ x ≤ 5 x € [1, 5]