Aproximación lineal y diferenciales

1. Aproximación lineal y diferenciales Aproximación lineal. Diferenciales. Polinomio de Taylor.

2. Define el proceso de linealización de una función. Describe el concepto de diferencial de una función. Interpreta el concepto de diferencial usando un gráfico. Extiende la aproximación usando el polinomio de Taylor. Habilidades

3. Recta tangente: Definimos la linealización de f en a como: Aproximación lineal de f en a: cerca de a Aproximación Lineal Definición Usamos la recta tangente a f en el punto (a, f(a)), como una aproximación a la curvay = f(x), cuandoxestá cerca dea. a x

4. Ejemplo Encuentre la linealización de la función en a = 1 y úsela para aproximar y

5. Definición Se utiliza = h: Definimos el diferencial de una función f en a, como: Aproximamos el cambio o incremento de f en a, mediante el diferencial de f en a, cuando x está cerca de a: f(a+h) – f(a)) f ’(a) h f(a + h) - f(a) f ’ (a) h Es decir: h a a + h Diferencial de una función

6. luego: es decir: Por lo que podemos escribir: En forma general: Diferencial de una función Teorema Consideremos la función:

7. Este polinomio tiene las siguientes propiedades: 1 cerca de a x a Polinomios de Taylor Definición Definimos el polinomio de Taylor de grado 1 de f, con centro en a, como la linealización de f en a:

8. Este polinomio resulta ser: 2 cerca de a a x Polinomios de Taylor Definición Definimos el polinomio de Taylor de grado 2 de f, . con centro en a, como aquel polinomio que tiene las siguientes propiedades:

9. cerca de a Polinomios de Taylor Definición Definimos el polinomio de Taylor de grado n de f, con centro en a, como aquel polinomio que tiene las siguientes propiedades: Teorema Este polinomio resulta ser:

10. Bibliografía “Cálculo de una variable” Cuarta edición James Stewart Sección 3.11 Ejercicios 3.11 pág 264: 5 al 44, 48.