ECUACIONES DIFERENCIALES

ECUACIONES DIFERENCIALES

¿Qué son las ecuaciones diferenciales? Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadasy/o diferenciales de una o más funciones. Las ecuaciones diferenciales se dividen en: • Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente. • Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

¿A qué se le llama orden y grado? • Orden: Orden de una ecuación diferencial es el de la derivada mas alta contenida en ella. • Grado: Grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que está elevada la derivada mas alta, siempre y cuando la ecuación diferencial esté dada en notación polinomial.

Clasificación de grado y tipos de grado y de orden La ecuacion diferencial contiene derivadas de ordinarias una o mas variables dependientes con respecto a una sola variable independiente. TIPO La ecuacion diferencial contiene derivadas parciales parciales de una o mas variables depenientes con respecto a dos o mas variables independientes.

Orden primer orden F(x, y, y’=0) segundo orden F(x, y, y’, y’’=0) • Orden tercer orden F(x, y, y’’, y’’’=0) … … orden n F(x, y, y’…yn=0)

Grado • a) La variable dependiente y y todas sus • derivadas son de 1° grado • Lineales b) Cada coeficiente de y sus derivadas • depende solamente de la variable Grado independiente x (puede ser constante). No lineales Las que no cumplen las condiciones anteriores.

Solución • Solución de una ecuación diferencial es una función que no contiene derivadas y que satisface a dicha ecuación; es decir, al sustituir la función y sus derivadas en la ec’n diferencial resulta una identidad. • Solución general de una ecuación diferencial es la función que contiene una o mas constantes arbitrarias (obtenidas de las sucesivas integraciones). • Solución particular de una ec’n diferencial es la función cuyas constantes arbitrarias toman un valor específico.

Interpretación Geométrica • Geometricamente la solución general representa una familia de curvas. • Una Interpretación Geométrica Constructiva • Para las ecuaciones diferenciales de primer orden que involucran una expresión algebraica tal que pueda eventualmente permitir el despeje de la primera derivada de la variable dependiente, contamos con una interpretación geométrica muy útil: la pendiente de la recta tangente a la curva solución. Una vez hechas las manipulaciones que sean necesarias para el despeje descrito, la expresión de las pendientes en todos los puntos donde tenga sentido la solución se ajustarán a una función de las coordenadas del punto en estudio. • Una buena aproximación al valor del incremento de la variable dependiente (usada ya por Euler) consiste en calcular el producto de la función en el punto particular por el incremento de la variable independiente. Esta idea se rescata en la construcción con Cabri- Géomètre de un tramo de la recta tangente cuya pendiente está dada por la función f(x, y).

Trayectorias ortogonales • Dos familias uniparamétricas de curvas G1(x, y, c1) = 0, G2 (x, y, c2) = 0, se dicen que son trayectorias ortogonales, si todas las curvas de una familia cortan perpendicularmente a todas las curvas de la otra familia. El método para calcular la familia de trayectorias ortogonales a la familia uniparamétricaG (x, y, c) = 0 consiste en encontrar, en primer lugar, la ecuación diferencial asociada a la familia y' = f (x, y) y, a continuación, plantear y resolver la ecuación asociada a la familia ortogonal que vendrá dada por y' = -1 / f (x, y) Nota: Es normal, en este tipo de ejercicios, el que una o ambas familias de curvas vengan dadas en su forma implícita. Para la representación gráfica de una curva dada en su forma implícita necesitamos cargar, previamente, la librería

Campos Direccionales • Isoclinas y campos de direcciones La ecuación y=c representa una familia a un parámetro de líneas horizontales. En general, cualquier miembro de la familia f(x, y)=c se llama isoclina, que literalmente significa curva a lo largo de la cual la inclinación de las tangentes es igual. Cuando se hace variar el parámetro c, obtenemos un conjunto de isoclinas en que los elementos lineales se construyen adecuadamente. La totalidad de esos elementos lineales se llama de diversos modos: campo de direcciones, campo direccional, campo de pendientes o campo de elementos lineales de la ecuación diferencial dyldx=f(x, y)..

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Centro de Enseñanza Técnica Industrial • Magally Méndez Rivera • Reg: 9310245 • Ecuaciones Diferenciales

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