Corso di ELETTROTECNICA

1. Corso diELETTROTECNICA I metodi delle correnti cicliche e dei potenziali ai nodi Presentazione a cura del Prof. Alvise Maschio Dipartimento di Ingegneria Elettrica Università di Padova

2. Eliminazione delle tensioni - 1 • Sia data una rete lineare, in cui tutti i lati sono sede di bipoli riconducibili a generatori affini di tensione. In particolare, in nessun lato si trova un generatore ideale di corrente. • Come esempio, si prenda la rete di figura.

3. Eliminazione delle tensioni - 2

4. Eliminazione delle tensioni - 3 • La rete di figura è caratterizzata dai seguenti parametri: • Si possono quindi scrivere n – 1 equazioni applicando la LKC ed m equazioni applicando la LKT.

5. Eliminazione delle tensioni - 4 • Le LKC ed LKT vengono scritte per gli insiemi di taglio e le maglie fondamentali individuabili, ad esempio, nel grafo di figura.

6. Eliminazione delle tensioni - 5 • Nelle equazioni sono sottolineate le correnti relative ai lati di albero (rami) e le tensioni relative ai lati di coalbero (corde).

7. Eliminazione delle tensioni - 6 • Alle l equazioni precedenti vanno aggiunte le l equazioni tipologiche dei bipoli presenti nei vari lati.

8. Eliminazione delle tensioni - 7 • Si possono ora eliminare le tensioni: ci si riduce ad un sistema di l equazioni nelle l correnti.

9. Eliminazione delle tensioni - 8 • Vi sono m equazioni del tipo: • e n - 1 equazioni del tipo:

10. Eliminazione delle correnti di albero - 1 • Nel grafo corrispondente alla rete si individuino un albero ed il relativo coalbero. Si eliminano le n -1 correnti nei rami Irh e ci si riduce ad un sistema di m equazioni nelle correnti sulle corde Ick. • Si utilizzano quindi i vincoli sulle correnti degli insiemi di taglio fondamentali.

11. Eliminazione delle correnti di albero - 2 • Sostituendo nel sistema di l equazioni scritto in precedenza si ottiene: • cioè m equazioni del tipo:

12. Correnti di maglia - 1 • Si consideri adesso un sistema di maglie fondamentali, basate sulle corde del grafo. Si scelga come verso di percorrenza della maglia quello individuato dalla corrente nella corda rispettiva. • Le correnti nelle corde non sono altro che le m correnti cicliche (di maglia) di un sistema di maglie fondamentali, IMk, dove:

13. Correnti di maglia - 2 • Le correnti nei lati della rete sono in generale somma di più correnti di maglia. • Nel caso di figura si ha ad esempio:

14. Correnti di maglia - 3 • Le LKT per le maglie fondamentali possono essere riscritte in funzione delle m correnti di maglia. Si ottiene un sistema di m equazioni indipendenti: • cioè m equazioni del tipo:

15. Correnti di maglia - 4 • Il termine RMkk è la somma di tutte le resistenze dei lati che formano la maglia k-esima. RMkk è detto autoresistenza (o resistenza totale) della maglia k. • Il termine RMkh è la somma di tutte le resistenze dei lati in comune alle maglie h-esima e k-esima. RMkh è detto mutua resistenza (o resistenza comune) fra le maglie h e k.

16. Correnti di maglia - 5 • Il termine EMk è la somma algebrica di tutte le f.e.m. dei lati che formano la maglia k-esima. Le f.e.m. sono prese con segno positivo se, dato il verso di percorrenza della maglia, si entra dal morsetto negativo del generatore, con segno negativo nel caso opposto. EMk è detto f.e.m. (o tensione impressa) totale della maglia k.

17. Correnti di anello - 1 • In alternativa, nel caso di rete piana, si considerano gli m anelli interni (vedi figura). • Si può dimostrare che questi m anelli costituiscono un sistema di maglie indipendenti. • Si definiscono pertanto m correnti cicliche di anello (dette correnti di anello - Iak di figura), scelte in modo che tutti gli anelli siano percorsi nello stesso verso (orario o antiorario).

18. Correnti di anello - 2 • Le correnti nei lati della rete sono costituite da una corrente di anello o dalla differenza tra due correnti di anello. Nel caso di figura si ha ad esempio: • Le correnti di anello sono per definizione solenoidali

19. Correnti di anello - 3

20. Correnti di anello - 4 • Le LKT per i vari anelli possono essere riscritte in funzione delle m correnti di anello. Si ottiene un sistema di m equazioni indipendenti: • cioè m equazioni del tipo:

21. Correnti di anello - 5 • Il termine RAkk è la somma di tutte le resistenze dei lati che formano l’anello k-esimo. RAkk è detto autoresistenza (o resistenza totale) dell’anello k. • Il termine RAkh è la somma di tutte le resistenze dei lati in comune agli anelli h-esimo e k-esimo. RAkh è detto mutua resistenza (o resistenza comune) fra gli anelli h e k.

22. Correnti di anello - 6 • Il termine EAk è la somma algebrica di tutte le f.e.m. dei lati che formano l’anello k-esimo. Le f.e.m. sono prese con segno positivo se, dato il verso di percorrenza dell’anello, si entra dal morsetto negativo del generatore, con segno negativo nel caso opposto. EAk è detto f.e.m. (o tensione impressa) totale dell’anello k.

23. Eliminazione delle correnti - 1 • Sia data una rete lineare, in cui tutti i lati sono sede di generatori affini di corrente e, in particolare, in nessun lato si trova un generatore ideale di tensione. • Come esempio, si prenda la rete di figura.

24. Eliminazione delle correnti - 2

25. Eliminazione delle correnti - 3 • La rete di figura è caratterizzata dai seguenti parametri: • Si possono quindi scrivere n - 1 equazioni alla LKC ed m equazioni alla LKT

26. Eliminazione delle correnti - 4 • Le LKC ed LKT vengono scritte per gli insiemi di taglio e le maglie fondamentali individuabili, ad esempio, nel grafo di figura.

27. Eliminazione delle correnti - 5 • Nelle equazioni sono sottolineate le correnti relative ai rami e le tensioni relative alle corde.

28. Eliminazione delle correnti - 6 • Alle l equazioni precedenti vanno aggiunte le l equazioni tipologiche dei bipoli presenti nei vari lati.

29. Eliminazione delle correnti - 7 • Si possono ora eliminare le correnti; ci si riduce ad un sistema di l equazioni nelle l tensioni.

30. Eliminazione delle correnti - 8 • Vi sono n - 1 equazioni del tipo: • e m equazioni del tipo:

31. Eliminazione delle tensioni di coalbero - 1 • Nel grafo corrispondente alla rete si individuino un albero ed il relativo coalbero. Si eliminano le m tensioni nelle corde Vch, riducendosi ad un sistema di n - 1 equazioni nelle tensioni sui rami Vrk. • Si utilizzano quindi i vincoli sulle tensioni delle maglie fondamentali.

32. Eliminazione delle tensioni di coalbero - 2 • Sostituendo nel sistema di l equazioni scritto in precedenza si ottiene: • cioè n - 1 equazioni del tipo:

33. Potenziali ai nodi - 1 • In alternativa (vedi figura) si sceglie un nodo comune (di massa) a cui si assegna potenziale nullo, e si esprimono tutte le tensioni in funzione degli n -1 potenziali degli altri nodi che sono tra loro indipendenti:

34. Potenziali ai nodi - 2

35. Potenziali ai nodi - 3 • Operando le opportune sostituzioni nel sistema (**), si ottiene un sistema di n - 1 equazioni indipendenti negli n - 1 potenziali di nodo: • cioè n - 1 equazioni del tipo:

36. Potenziali ai nodi - 4 • Il termine GNkk è la somma di tutte le conduttanze che si appoggiano al nodo k-esimo. Esso è detto autoconduttanza (o conduttanza totale) del nodo k. • Il termine GNkh è la conduttanza del lato che si appoggia alla coppia di nodi h e k. Esso è detto mutua conduttanza (o conduttanza comune) fra i nodi h e k.

37. Potenziali ai nodi - 5 • Il termine JNk è la somma algebrica di tutte le correnti impresse dei lati che si appoggiano al nodo k. Le correnti sono prese con segno positivo se il riferimento di corrente è diretto verso il nodo, con segno negativo nel caso opposto. Esso è detto corrente impressa totale del nodo k.