FİZ 216 ELEKTRİK ve MANYETİZMA

1. FİZ 216 ELEKTRİK ve MANYETİZMA • GRADİYENT • DİVERJANS • ROTASYON (KÖRL) • KOORDİNAT SİSTEMLERİ • HELMHOLTZ TEOREMİ

2. GRADİYENT: f(x,y,z) her noktada sürekli ve türevlenebilir bir fonksiyon olsun. Herhangi bir (x,y,z) noktasından (x+dx,y+dy,z+dz) noktasına gidildiğinde fonksiyondaki değişim

3. “del” operatörünün kendisi bir vektör değildir ve tek başına bir anlamı yoktur. Skaler bir fonksiyona uygulandığında, o fonksiyonun gradiyent vektörünü verir. Gradiyent vektörü doğrultusunda gidildiğinde ( = 0) f fonksiyonundaki artış (df) maksimum olur. Bir fonksiyonun bir noktadaki gradiyent vektörü, fonksiyondaki maksimum artışın gerçekleştiği doğrultudadır. Büyüklüğü ise, konuma göre fonksiyondaki maksimum artış hızıdır. f(x,y,z) = sabit olması durumunda fonksiyon bir yüzeyi temsil eder. Yüzey üzerindeki herhangi bir yerdeğiştirme sonucunda fonksiyonda herhangi bir değişim olmaz. Gradiyent vektörü yüzeye her noktada diktir.

4. NOT: Herhangi bir (x,y,z) noktasında fonksiyonun gradiyenti sıfır ise, o nokta civarındaki küçük yer değiştirmelerde fonksiyon değişmez kalır (df = 0).Bu durumda, söz konusu nokta fonksiyonun durgun noksı olarak adlandırılır.

5. Gradiyent için temel teorem

6. Bir f skaler alanına etkirse: GRADİYENT • Bir vektör alanı ile çarpılırsa: DİVERJANS ROTASYON

7. DİVERJANS: biçiminde tanımlı herhangi bir vektör alanı olsun. (x,y,z) noktasını merkez kabul eden dx,dy,dz boyutlarında bir küpün tüm yüzeylerinden geçen akıyı hesaplayalım. z dz R L (x,y,z) dx dy y x

8. Küpün yüzeyinden dışarı doğru çıkan toplam akı: S yüzeyinin çevrelediği dhacmi sonsuz küçük seçilirse önemli ölçüde değişmez. Böylece diverjans için, yazılabilir. Bir vektör alanının bir noktadaki diverjansı, hacim sıfıra giderken, noktayı çevreleyen yüzeyi birim hacim başına terkeden akı miktarıdır.

9. S yüzeyinin çevrelediği Vhacmini sonsuz küçük küplere böldüğümüzü varsayalım. Dolayısıyla komşu küpleri de hesaba katmamız gerekecektir. Komşu küplerin birbirine temas eden yüzeylerinden geçen net akı “sıfır” olacaktır. Bu durumda toplam akı, V hacmini çevreleyen dış yüzeyden çıkan akı kadar olur. S V Diverjans için temel teorem

10. Bir vektör alanının bir noktadaki diverjansı, vektör alanının ilgili noktadan ne kadar ıraksadığının veya ilgili noktaya ne kadar yakınsadığının bir ölçüsüsüdür.

11. ROTASYON (KÖRL): biçiminde tanımlı herhangi bir vektör alanı olsun. xy-düzleminde, (x,y) noktasını merkez kabul eden dx,dy boyutlarında dikdörtgensel bir halka boyunca vektör alanının çizgi integralini hesaplayalım. y 3 dy 4 2 (x,y,0) 1 dx x

12. Benzer işlemler, sırasıyla, xz-düzleminde ve yz-düzleminde bulunan halkalar için yapılırsa aşağıdaki bağıntılar bulunurdu. En genel durumda, xyz-eksen takımındaki herhangi bir kapalı halka için, sonucuna ulaşılır.

13. C halkasının çevrelediği S yüzeyi sonsuz küçük seçilirse önemli ölçüde değişmez. Böylece rotasyonel için, yazılabilir. Bir vektör alanının bir noktadaki rotasyoneli, yüzey alanı sıfıra giderken, birim yüzey başına noktayı çevreleyen kapalı halka boyunca vektör alanının çizgi integralidir ve ilgili nokta etrafında ne kadar kıvrıldığının bir ölçüsüdür. Bir vektör alanının rotasyoneli, “del” vektör operatörü ile vektör alanı arasındaki vektörel çarpma işlemi ile de bulunabilir.

14. C halkasının çevrelediği S yüzeyini sonsuz küçük halkalara böldüğümüzü varsayalım. Bu durumda komşu halkaları da hesaba katmamız gerekecektir. Komşu halkaların birbirine temas eden çizgileri boyunca alınan çizgi integrallerinin toplam katkısı “sıfır” olacaktır. Bu durumda toplam integral, S yüzeyini çevreleyen dış halka üzerinden alınanla aynı olur. S C Rotasyon için temel teorem

15. z z

16. Bazı önemli kurallar: Bir gradiyentin rotasyoneli her zaman sıfırdır:

17. Bir rotasyonelin diverjansı her zaman sıfırdır:

18. Bir gradiyentin diverjansı fonksiyonun Laplasyenine eşittir:

19. Silindirik Koordinatlar: Herhangi bir P noktası, silindirik koordinatlarda (s,,z) cinsinden verilir. z P s: P noktasının z-ekseninden olan uzaklığı s : P noktasını z-eksenine birleştiren doğrunun x-ekseni ile yaptığı açı y  x

20. Küresel Koordinatlar: Herhangi bir P noktası, küresel koordinatlarda (r,,) cinsinden verilir. r : noktanın orijinden olan uzaklığı : orijini P noktasına birleştiren doğrunun z-ekseni ile yaptığı açı : orijini P noktasına birleştiren doğrunun xy-düzlemindeki iz düşümünün x-ekseni ile yaptığı açı z P  r y  x

21. Teorem-1:Dolanımsız vektör alanları aşağıdaki özellikleri sağlarlar. SONUÇ:

22. Teorem-2:Solenoidal vektör alanları aşağıdaki özellikleri sağlarlar. SONUÇ:

23. Helmholtz teoremi: Uzayın her noktasında tanımlı, sürekli ve türevlenebilir herhangi bir vektör alanı, dolanımsız ve solenoidal olmak üzere iki terimin toplamı biçiminde verilebilir. Helmholtz teoremi: Bir vektör alanı belirlemek, hem diverjansı hem de rotasyoneli biliniyorsa mümkündür.

24. Sınırlandırılmamış bir bölge söz konusu ise, sonsuzdaki bir noktada vektör alanının diverjansı ve rotasyoneli sıfır olmalıdır. Sınırlandırılmış bir bölge söz konusu ise, vektör alanının sınırdaki normal bileşeni, bölgenin her yerindeki diverjansı ve rotasyoneli bilinmelidir.