Prof. Eng. Francisco Lemos Disciplina: Mecânica Geral

1. Prof. Eng. Francisco Lemos Disciplina: Mecânica Geral Momento Vetorial

2. CORPOS RÍGIDOS: SISTEMAS EQUIVALENTES DE FORÇAS F As forças que atuam no corpo rígido pode ser separada em dois grupos: (1) forças externas (2) forças internas) F’

3. F F’ De acordo com o principio do transmissibilidade duas forças que agem no corpo rígido em dois pontos diferentes têm o mesmo efeito nesse corpo se tiverem o mesmo valor, o mesmo sentido, e a mesma linha de ação.

4. V = P xQ O produto de dois vetores pode ser definido como: Q V = P xQ q P O produto do vetor P e Q é um vetor V que é perpendicular aos vetores P e Q, de magnitude igual a: V = PQ sin 

5. j Da definição do produto dois vetores, temos que a o produto entre vetores unitários (i, j, k) é igual a: k i i xi = jxj = kxk = 0 i xj = k,jxk = i , kxi = j , i xk = - j , jxi = - k , k xj = - i Vamos agora determinar o produto vetorial entre dois vetores P e Q em função de suas componentes cartesianas. P = Pxi + Pyj + Pzk Q = Qxi + Qyj + Qzk

6. P = Pxi + Pyj + Pzk Q = Qxi + Qyj + Qzk i Px Qx j Py Qy k Pz Qz V = PxQ = = Vxi + Vyj + Vzk onde Vx= PyQz- PzQy Vy = PzQx- PxQz Vz = PxQy- PyQx

7. O momento da força F sobre o ponto O é definido como o produto do vetor Mo MO = rxF F Onde r é o is vetor posição e F éa força de aplicada no corpo rígido, e Θ é o ângulo formado entre a linha de ação de r e F. r O  d A A magnitude do momento de F sobre O pode ser escrito como: MO = rF sin  = Fd onde d é a distância perpendicular de O até a linha de ação de F.

8. z Fzk A (x , y, z ) zk As componentes retangulares do momento Mo são determinada através do produto vetorial entre o vetor posição r e a força F. Fyj r Fxi yj O y xi x j y Fy k z Fz i x Fx Mo = rxF = = Mxi + Myj + Mzk Mx = yFz- zFyMy = zFx- xFz Mz = xFy- yFx Onde

9. z Fzk A (x A, yA, z A) No exemplo ao lado mostra um momento sobre um ponto arbitrário B através de uma força F aplicada em A, por tanto temos: B (x B, yB, z B) Fyj r Fxi O y i xA/B Fx k zA/B Fz j yA/B Fy x MB = rA/BxF = rA/B= xA/Bi + yA/Bj + zA/Bk onde xA/B= xA- xB yA/B= yA- yB zA/B= zA- zB e

10. Nos problemas envolvendo duas dimensões, a força F pode ser expressa em função das componentes yz. O momento sobre o ponto Béperpendicular a este plano yz. F Fzj z A Fyi rA/B (zA - zB ) i B (yA - yB ) j O y MB = MBx x MB = (zA- zB )Fy + (yA- yB ) Fz

11. P Q = PQ cos  P Q = PxQx+ PyQy+ PzQz O produto escalar entre dois vetoresPe Qé definido como: Q  Onde  é o ângulo formado entre eles. P O produto escalar de P e Q pode ser escrito em termos de suas componentes retangulares como:

12. z L A projeção do vetor P no eixo OL pode ser obtido pelo produto escalar entre P e o vetor unitário A z  P y O y x POL= P  x Usando as componentes retangulares temos: POL= Pxcos x + Pycos y + Pzcos z

13. O produto misto de tres vetores S, P, e Q é: Sx Px Qx Sy Py Qy Sz Pz Qz S(PxQ ) = Os elementos do determinante são as componentes retangulares dos tres vetores.

14. z O momento de uma força F sobre uma linha central OL é a projeção OC em OL do momento MO da força F. Isto pode ser escrito como um produto triplo. L MO F C  A (x, y, z) r y O x x Fx y y Fy z z Fz x MOL =MO =(r xF) = x, y , z = cosseno diretor do eixo OL x, y , z= componentes de r Fx, Fy , Fz= componentes de F

15. M - F d F Binário – quando duas forças F e - F que têm o mesmo valor, as linhas de ação paralelas, e o sentido oposto. O momento de um binário é independente do ponto sobre que é computado; é um vetor M perpendicular ao plano dos pares e de magnitude igual ao produto Fd.

16. M z z - F z Mz (M = Fd) M d My F O O O y Mx y y x x x Dois pares que têm o mesmo momento M são equivalentes (têm o mesmo efeito em um corpo rígido dado).

17. F F MO r A A O O Toda força F que age em um ponto A de um corpo rígido pode ser substituída por um sistema de força-pares em um ponto arbitrário O, consistindo na força F aplicada em O e em um momento Mo igual ao momento sobre o ponto O da força F em sua posição original. O vetor F e o vetor Mo são sempre perpendiculares entre si.

18. R O M F3 F1 F3 F1 R A3 M1 A1 r1 r3 r2 O A2 M2 O M3 O F2 F2 Todo o sistema de forças pode ser reduzido a uma força e um momento em um ponto dado O. Primeiramente, cada uma das forças do sistema é substituída por um sistema equivalente de força e momento no ponto O. Em seguida todas as forças são adicionadas então para obter uma força resultante R, e todos os momentos são adicionados para obter um vetor resultante Mo. No final, a força resultante R e o vetor Mo não serão perpendiculares entre si.

19. R O M F3 F1 R A3 A1 r1 r3 r2 O A2 O F2 Dois sistemas de forçasF1, F2, F3 . . . , eF’1, F’2, F’3 . . . , serão equivalentes se, e somente se,  F =  F’ e  Mo =  Mo’