Dlaczego rozwiązując problem inżynierski warto od razu rozwiązać problem dualny

1. Dlaczego rozwiązując problem inżynierski warto od razu rozwiązać problem dualny Maciej Paszyński Katedra Informatyki Akademia Górniczo-Hutnicza Kraków, Poland paszynsk@agh.edu.pl home.agh.edu.pl/paszynsk

2. PLAN PREZENTACJI • Przykładowy problem prosty • Funkcja celu • Sformułowanie silne • Sformułowanie słabe • Dyskretyzacja metodą Galerkina • Szacowanie dokładności rozwiązania numerycznego • Wpływ dokładności rozwiązania globalnego na dokładność wartości funkcji celu • Rozwiązanie problemu dualnego – funkcja wpływu • Przykładowe problemy proste i dualne

3. PRZYKŁADOWY PROBLEM PROSTYSFORMUŁOWANIE SILNE Szukamy , takiego że dla dla , Naszym celem jest obliczenie wartości funkcji w punkcie (zwana funkcją celu)

4. PRZYKŁADOWY PROBLEM PROSTYSFORMUŁOWANIE SILNE / SFORMUŁOWANIE SŁABE Sformułowanie silne Szukamy , takiego że dla dla , Sformułowanie słabe Szukamy , takiego że dla

5. PRZYKŁADOWY PROBLEM PROSTYDYSKRETYZACJA METODĄ GALERKINA Dyskretyzacja metodą Galerkina Rozwiązanie przybliżone kombinacja liniowa funkcji bazowych przestrzeni Szukamy , takiego że dla Przykładowa baza przestrzeni Otrzymaliśmy układ równań liniowych o wyrazach o niewiadomych ai

6. SZACOWANIE DOKŁADNOŚCI ROZWIĄZANIA Jak oszacować dokładność ? Jeśli znam rozwiązanie dokładne uexact wówczas mogę oszacować błąd Jeśli nie znam rozwiązania dokładnego, wówczas mogę rozwiązać problem słaby na większej podprzestrzni uzyskując rozwiązanie i szacując błąd względny

7. ZALEŻNOŚĆ DOKŁADNOŚCI ROZWIĄZANIA A DOKŁADNOŚCI FUNKCJI CELUPROBLEM DUALNY Jak dokładność rozwiązania wpływa na dokładność wartości funkcji celu O tym mówi tzw. funkcja wpływu (influence function)którą otrzymuje się rozwiązując tzw. problem dualny

8. PROBLEM PROSTY / PROBLEM DUALNY – PRZYKŁAD (1/4) Problem prosty Szukamy , takiego że dla Problem dualny Tutaj Go to funkcja Greena Dla danego szukamy takiego że dla Jeśli B jest symetryczna wówczas rozwiązanie problemu dualnego to rozwiązanie problemu prostego dla nowej prawej strony  LU faktoryzacje układu równań wykonuje się tylko raz

9. PROBLEM PROSTY / PROBLEM DUALNY – PRZYKŁAD (2/4) Problem prostyJednorodny transport ciepła Funkcja celu Q(u) = wartość rozwiązania (temperatura) w punkcie (0.6,0.6) Problem dualny Rozwiązanie problemu prostego –rozkład temperatury Problem dualnyRozwiązanie problemu dualnegofunkcja wpływu („Influence function”)

10. PROBLEM PROSTY / PROBLEM DUALNY – PRZYKŁAD (3/4) Problem prostyLiniowa sprężystość, problem rotacji belki Funkcja celu Q(u) = składowa przemieszczenia x na górze na środku belki Problem dualny Rozwiązanie problemu prostego –pole przemieszczeń Problem dualnyRozwiązanie problemu dualnegofunkcja wpływu („Influence function”)

11. PROBLEM PROSTY / PROBLEM DUALNY – PRZYKŁAD (4/4) Problem prostyLiniowa sprężystość, obciążenie części maszyny Funkcja celu Q(u) = norma z naprężenia na środku górnego ramiona Problem dualnyRozwiązanie problemu dualnegofunkcja wpływu („Influence function”) Rozwiązanie problemu prostego –pole przemieszczeń

12. PODSUMOWANIE Rozwiązanie problemu dualnego dla danej funkcji celu pozwala nam znaleźć funkcje wpływu (influence function)mówiącą o tym w jakim stopniu rozwiązanie problemu prostego wpływa na wartość funkcji celu. Dzięki temu wiemy np. w jaki sposób poprawiać dokładność rozwiązania problemu prostego żeby poprawić dokładność wartości funkcji celu. W przypadku problemów symetrycznych rozwiązanie problemu dualnego uzyskujemy używając drugiej dodatkowej prawej strony – koszt obliczeniowy rozwiązania to jedna LU faktoryzacja oraz 2 podstawiania wstecz.