Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły:Zespół Szkół nr 2 Gimnazjum nr 4 im. Stanisława Staszica w Szamotułach ID grupy: 98/17_mf_g1 Opiekun: Lidia Piotrowska Kompetencja: Fizyczno-matematyczna Temat projektowy: „W świecie liczb” Semestr/rok szkolny: Semestr 3/rok szkolny 2010/2011

3. NASZA GRUPA Filip Ola Adrianna Cyprian Roksana Marcin Weronika Jarosław Dominik Z. Dominik J. Piotr Dominik N.

4. LIDER: Roksana SPRAWOZDAWCA: Adrianna & Marcin KRONIKARZ: Dominik N.& Filip INFORMATYK: Jarosław FOTOGRAF:Dominik Z. POZOSTALI UCZESTNICY GRUPY BADAWCZEJ:Piotr & Weronika & Dominik J. & Ola & Cyprian

6. powiedzonka • Kto pierwsze działania w nawiasach wykonuje, • ten szóstki i laury kolekcjonuje. • Mnożenie ułamków- nic prostszego: • licznik razy licznik, mianownik razy mianownik, mój kolego. • Nigdy nie dziel przez zero, bo to zawsze szkodzi kiedy się na matmę chodzi.

7. Zabawa z liczbami na dobry początek: data urodzenia? Uzupełnij drzewko. W puste miejsce wpisuj wyniki działań. W okienko z literami wpisz odpowiednio: A - dzień swoich urodzin B - miesiąc swoich urodzin C - dwie ostatnie cyfry roku swoich urodzin Przeczytaj liczbę w okienku oznaczonym literą D. Co ona oznacza?

8. Powtarzamy co wiemy np.

10. Liczby olbrzymy

11. Liczby bardzo małe - "liliputy"

12. ciekawostka

13. Historia liczb

14. „0” • Zero pojawiło się w historii zaskakująco późno. Starożytni Grecy, którzy ogromnie przyczynili się do rozwoju matematyki, nie znali pojęcia zera, co bardzo poważnie komplikowało ich sposób zapisywania liczb. • Żmudną i niełatwą pracę stanowiło wykonywanie działań.

15. LICZBY NATURALNE • Uważa się, że po raz pierwszy liczb zaczęto używać ok. 30 000 lat p.n.e. Z tego okresu pochodzą kości i inne artefakty, na których znaleziono ślady nacięć, uważane za próbę liczenia. Nie wiadomo, czy zliczano dobra, dni, czy może np. ludzi w konkurencyjnej grupie. • Najstarszy znany przykład malowidła z kreskami, sugerującymi liczenie, pochodzi z jaskini w południowej Afryce.

16. ZAPIS POZYCYJNY • Pierwszy znany pozycyjny system zapisu liczb pochodzi ze starożytnej Mezopotamii (ok. 3400 p.n.e.), i bazuje na liczbie 60. • Najstarszy dziesiątkowy system pozycyjny pochodzi z Egiptu (ok. 3100 p.n.e.)

17. Liczby W rozważaniach o liczbach nie można pominąć znaków, za pomocą których wyrażamy liczby w piśmie. Te znaki nazywamy cyframi. Do najstarszych znaków cyfrowych należą: znaki babilońskie, egipskie, rzymskie, greckie, hinduskie i Majów.

18. Liczby babilońskie Babilońskich znaków używano w Mezopotamii około 5000 lat temu. Zachowały się do naszych czasów na glinianych tabliczkach.

19. Liczby babilońskie • Cyfry od 1 do 9 wyglądały następująco: • zaś cyfry 10, 20, 30, 40 i 50 wyglądały tak:

20. Zapisy liczb według Majów:

21. Liczby egipskie Prawie tak samo stare jak babilońskie są cyfry egipskie. Głównym źródłem naszych wiadomości o matematyce egipskiej jest tzw. Papirus Ahmesa (około 2000-1700 p.n.e. ), pisarza faraona, znaleziony w roku1853 przez Anglika Rhinda. Zawiera wszystko, co w tamtej epoce Egipcjanom było znane w zakresie arytmetyki i geometrii.

23. Liczby rzymskie System rzymski zapisywania liczb wykorzystuje cyfry pochodzenia etruskiego, które Rzymianie przejęli i zmodyfikowali ok. 500 p.n.e.. 4 10 9 1000

24. Nie istnieją znaki dla liczb większych od 1000, choć można zapisywać większe liczby poprzez zapisanie liczby mniejszej 100razy i umieszczenie jej między '|‘ np.: • |MD| = 1500 * 100 = 150 000 • |XL| = 40 * 100 = 4000 (zamiast MMMM)

25. Liczby greckie W Grecji pierwotny sposób zapisu liczb, pochodzący z VI wieku p.n.e., polegał na zapisywaniu początkowych liter nazw liczb zamiast tych liczb. W tabeli prezentujemy przykładowe liczby greckie: Dodatkowe znaki utworzono za pomocą łączenia znaku 5 oraz jednego z pozostałych znaków, przy czym znak 5 przybierał najczęściej kształt uproszczony . Używano poza tym znaków: jako 50, jako 500, jako 5000 oraz jako 50 000.

26. Kalendarz

27. Kalendarz

28. Kalendarz cd.

29. Sposoby liczenia

30. Sposoby liczenia • Dawno temu gdy mowa ludzka była jeszcze prymitywna a ludzie nie znali pisma jedynymi znanymi liczbami były 1 i 2

31. Żeby wyrazić inne liczby używano kombinacji 1,2….Np. 5=2,2,1 Liczebnikowi zawsze wtedy przypisywano przedmiot, który miał być policzony: 5 krów, 10 strzał, 20 wojowników itd. ponieważ liczba jest pojęciem abstrakcyjnym (a ludziom wtedy do zrozumienia rzeczy abstrakcyjnych było daleko). Krótka historia.

32. Następnie… Gdy ludzie musieli coraz więcej liczyć musiały powstać pierwsze na narzędzia do liczenia:- Najpierw używano palców u rąk-Potem rysowali ilość kresek odpowiadających liczbie IIIIIIIII-Równocześnie pojawiło się liczenie po 10(tzw. system dziesiętny) -Następnie sposób ósemkowy, szesnastkowy…

33. System dziesiętny Dziesiętny system liczbowy, zwany też systemem decymalnym lub arabskim to pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 10. Do zapisu liczb potrzebne jest więc w nim 10 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Jest to najczęściej wykorzystywany system liczenia na świecie

34. ciekawostka Ta piękna roślina (streptopus amplexifolius) z grupy konwaliowych nie bez powodu nosi swoją matematyczną nazwę. Jej owoce przywodzą na myśl ułożone w rzędach dziesiętnych koraliki szkolnego liczydła. Pochodzi z Ameryki Południowej. Jest unikatowa w skali Europy, rośnie jednak m.in. na Dolnym Śląsku - w sudeckich lasach, głównie w Karkonoszach i Kotlinie Kłodzkiej (Góry Stołowe, Bystrzyckie), gdzie występuje w piętrach regla górnego i kosodrzewiny. Można ją także spotkać w Karpatach, w Górach Świętokrzyskich, w okolicach Olesna i Dobrodzienia (na Opolszczyźnie) i na Górnym Śląsku (w rezerwacie przyrody Ochojec). Podlega ścisłej ochronie. Roślina kwitnie na przełomie maja i czerwca, a pełnię krasy osiąga w okresie owocowania pod koniec lata. Liczydło górskie

35. System ósemkowy Ósemkowy system liczbowy to pozycyjny system liczbowy o podstawie 8. System ósemkowy jest czasem nazywany oktalnym od słowa octal. Do zapisu liczb używa się w nim ośmiu cyfr, od 0 do 7. Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby będącej podstawą systemu, np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 100, w ósemkowym przybiera postać 144, gdyż: 1×82 + 4×81 + 4×80 = 64 + 32 + 4 = 100.

36. System szesnastkowy Szesnastkowy system liczbowy– pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą jest liczba 16.Do zapisu liczb w tym systemie potrzebne jest szesnaście cyfr.

37. W najpowszechniejszym standardzie poza cyframi dziesiętnymi od 0 do 9 używa się pierwszych sześciu liter alfabetu łacińskiego: A, B, C, D, E, F (dużych lub małych). Cyfry 0-9 mają te same wartości co w systemie dziesiętnym, natomiast litery odpowiadają następującym wartościom: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 oraz F = 15. Dlatego, np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 1000, w systemie szesnastkowym przybiera postać 3E8

38. Oprócz nich występują także inne systemy np. kwantowy itd.… Są to trzy najpopularniejsze systemy liczenia na świecie

39. Rozwiązujemy zadania

40. i bawimy się …

42. 4 3 6 1 2 1 4 5 1 4 2 5 5 4 5 3 2 1 4

43. Różnorodność liczb

44. Zbiór liczb rzeczywistych Elementy zbioru oznaczamy małymi literami np. a, b, c, ..., a to, że dany elementy przynależy do jakiegoś zbioru zapisujemy znakiem Jeśli element nie należy do zbioru używamy symbolu - element x należy do zbioru A.- element b NIE należy do zbioru K.Zbiór o określonych elementach zapisujemy w nawiasach sześciennych {}. Zapis oznacza zbiór A o trzech elementach a, b oraz c.Podzbiór jest to zbiór zawierający elementy zbioru nadrzędnego. Zbiór {1, 2} jest podzbiorem zbioru {1, 2 , 3} co zapisujemy jako . Inaczej zbiór {1, 2 , 3} zawiera zbiór {1, 2}. Kolejność ustawienia elementów nie jest ważna.

45. Suma zbiorów A i B jest to zbiór zawierający wszystkie elementy należące do zbioru A lub do zbioru B. Część wspólna zbiorów A i B jest to zbiór zawierający te elementy, które należą do zbioru A i do zbioru B. Różnica zbiorów A - B jest to zbiór zawierający te elementy, które należą do zbioru A i nie należą zbioru B.

46. ZBIÓR LICZB NIEWYMIERNYCH NW liczbą niewymierną nazywamy tę liczbę, która nie jest liczbą wymierną, a więc nie da się przedstawić w postaci ilorazu liczb p i q. Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe. Do liczb niewymiernych zaliczamy np.: liczbę pi

47. Liczby całkowite Liczbami całkowitymi nazywamy liczby ciągu naturalnego 0, 1, 2, 3, ... i liczby ujemne - 1, - 2, - 3, .... Standardowo - w literaturze matematycznej - zbiór liczb całkowitych oznacza się literą Z, w polskiej szkole literą C. Zbiór naturalnych jest podzbiorem zbioru liczb całkowitych 

48. Podstawowe pojęcia i twierdzenia Suma, różnica i iloczyn dwóch liczb całkowitych a i b jest liczbą całkowitą. W zbiorze C wykonalne są więc działania dodawania, odejmowania i mnożenia. Wynik dzielenia a przez b (b≠0 )może być liczbą całkowitą albo niecałkowitą.

49. DZIAŁANIA I PRAWA DZIAŁAŃ

50. POTĘGI I PIERWIASTKI POTĘGĄ liczby rzeczywistej o wykładniku naturalnym n (n większe lub równe 1) nazywamy iloczyn n jednakowych czynników: Jeżeli a jest różne od zera i n = 0, to a0 = 1Jeżeli a jest dowolną liczbą rzeczywistą i n = 1, to a1 = a