1 / 15

SAYISAL İŞARET İŞLEME DERSİ PROJE SUNUMU KONU: DISCRETE FOURIER TRANSFORM

SAYISAL İŞARET İŞLEME DERSİ PROJE SUNUMU KONU: DISCRETE FOURIER TRANSFORM ÖĞRENCİ ADI : İSMAİL EMRE KARTOĞLU ÖĞRENCİ NO : 0705.02043 İSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ. FOURIER DÖNÜŞÜMLERİ HAKKINDA KISA BİLGİ.

forrest-conner
Download Presentation

SAYISAL İŞARET İŞLEME DERSİ PROJE SUNUMU KONU: DISCRETE FOURIER TRANSFORM

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. SAYISAL İŞARET İŞLEME DERSİ PROJE SUNUMU KONU: DISCRETE FOURIER TRANSFORM ÖĞRENCİ ADI : İSMAİL EMRE KARTOĞLU ÖĞRENCİ NO : 0705.02043 İSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ

  2. FOURIER DÖNÜŞÜMLERİ HAKKINDA KISA BİLGİ Fourier dönüşümü, zaman düzlemi ile frekans düzlemi arasındaki geçişi sağlayan matematiksel bir operasyondur. Fourier dönüşümünün kullanıldığı alanlardan bazıları şunlardır: Frekans filitreleri, dalga hareketleri, ses işleme, görüntü işleme, optik... Fourier dönüşümü sürekli zamanda ve ayrık zamanda olmak üzere iki grupta incelenebilir. Ayrık zamanda fourier dönüşümünü gerçekleştirmek için en bilinen 2 yöntem şunlardır: DFT -> Discrete Fourier Transform FFT -> Fast Fourier Transform FFT ile DFT aynı işleri yapar. FFT, DFT’nin optimize edilmesi ile ortaya çıkmıştır. FFT’nin zaman karmaşıklığı O(n*logn) iken, DFT’nin zaman karmaşıklığı O(n^2) dir. FFT ve DFT, toplama, çıkarma, çarpma ve bölme operatörlerinin kullanılması ile gerçekleşir. Bu sunumda DFT ele alınacaktır. NOT: Piyasada, bu işlemleri hızlı, donanımsal yollarla yapan özel Digital Signal Processor(DSP) çipler vardır.

  3. Fourier dönüşümünün kullanıldığı yerlerden biri:

  4. FOURIER DÖDÜŞÜMÜ FORMÜLLERİ Real(F) = (1/N) * S(n=0,N-1)[x(n)*cos(2Pi*F*n)]Imag(F) = (1/N) * S(n=0,N-1)[x(n)*sin(2Pi*F*n)]Power(F) = Real(F)*Real(F) + Imag(F)*Imag(F) Equalizer lardaki barların yüksekliği Power formülü ile belirleniyor. Burada Real(F), F frekansında, eğer aynı frekansta bir cosine komponenti var ise, F frekanslı o cosine bileşeninin amplitude değeridir. Imag(F), F frekansında, eğer aynı frekansta bir sine komponenti var ise, F frekanslı o sine bileşeninin amplitude değeridir.

  5. Real(F) = (1/N) * S(n=0,N-1)[x(n)*cos(2Pi*F*n)]Imag(F) = (1/N) * S(n=0,N-1)[x(n)*sin(2Pi*F*n)]Power(F) = Real(F)*Real(F) + Imag(F)*Imag(F) Bu formüller neden işe yarıyor? 1. sin(a)*sin(b)=(1/2)*(cos(a-b)-cos(a+b))2. cos(a)*cos(b)=(1/2)*(cos(a-b)+cos(a+b))3. sin(a)*cos(b)=(1/2)*(sin(a+b)+sin(a-b)) Burada, cos ve sin fonksiyonları zaman serileridir. Bu fonksiyonların çarpımları, başka bir zaman serisini doğurur: 1. f(n) = sin(a*n)*sin(b*n)         = (1/2)*(cos((a-b)*n)-cos((a+b)*n)) 2. f(n) = cos(a*n)*cos(b*n)         = (1/2)*(cos((a-b)*n)+cos((a+b)*n)) 3. f(n) = sin(a*n)*cos(b*n)         = (1/2)*(sin((a+b)*n)+sin((a-b)*n)) Yukarıdaki f(n), sin ve cos fonksiyonlarının çarpımlarından doğan bir zaman serisidir.

  6. Bir önceki slaytta aşağıdaki eşitlikler yer alıyodu: 1. f(n) = sin(a*n)*sin(b*n)         = (1/2)*(cos((a-b)*n)-cos((a+b)*n)) 2. f(n) = cos(a*n)*cos(b*n)         = (1/2)*(cos((a-b)*n)+cos((a+b)*n)) 3. f(n) = sin(a*n)*cos(b*n)         = (1/2)*(sin((a+b)*n)+sin((a-b)*n)) Şimdi, a=b eşitliğinin olduğu özel bir durumu inceleyelim: 1. f(n) = sin(a*n)*sin(a*n) = (1/2)-cos(2*a*n)/22. f(n) = cos(a*n)*cos(a*n) = (1/2)+cos(2*a*n)/23. f(n) = sin(a*n)*cos(a*n) = sin(2*a*n)/2 Bir hatırlatma: Gerçek bir sinusoidin ortalama değeri sıfırdır.

  7. 1. f(n) = sin(a*n)*sin(a*n) = (1/2) -cos(2*a*n)/2 KIRMIZI: SIN(X) SİYAH: SIN(X)*SIN(X) Çıkarım: Imag(F) = (1/N) * S(n=0,N-1)[x(n)*sin(2Pi*F*n)] Eğer x(n) zaman serisinin F sine bileşeni var ise yukarıdaki (1/N) * S(n=0,N-1)[x(n)*sin(2Pi*F*n)]işleminin sonucu pozitif bir değer olacaktır. Görüldüğü gibi sin(x)*sin(x) çarpımının oluşturduğu yeni zaman serisinin ortalama değeri sıfırdan farklıdır.

  8. 2. f(n) = cos(a*n)*cos(a*n) = (1/2)+cos(2*a*n)/2 KIRMIZI: COS(X) SİYAH: COS(X)*COS(X) Çıkarım: Real(F) = (1/N) * S(n=0,N-1)[x(n)*cos(2Pi*F*n)] Eğer x(n) zaman serisinin F cosine bileşeni var ise yukarıdaki (1/N) * S(n=0,N-1)[x(n)*cos(2Pi*F*n)]işleminin sonucu pozitif bir değer olacaktır. Görüldüğü gibi cos(x)*cos(x) çarpımının oluşturduğu yeni zaman serisinin ortalama değeri sıfırdan farklıdır.

  9. 3. f(n) = sin(a*n)*cos(a*n) = sin(2*a*n)/2 KIRMIZI: COS(X) SİYAH: COS(X)*COS(X) YEŞİL: SIN(X) Çıkarım: Real(F) = (1/N) * S(n=0,N-1)[x(n)*cos(2Pi*F*n)]Imag(F) = (1/N) * S(n=0,N-1)[x(n)*sin(2Pi*F*n)]Yukarıdaki eşitliklerde Real(F) kısmı, sadece F frekansında bir cosine bileşeni var ise pozitif bir değer verir. Aynı şekilde, Imag(F) kısmı sadece F frekansında bir sine bileşeni var ise pozitif bir değer verir. Görüldüğü gibi sin(x)*cos(x) çarpımının oluşturduğu yeni zaman serisinin ortalama değeri sıfırdır.

  10. Frekansları farklı olan iki sinusoidin çarpımları durumunu ele alalım : 1. f(n) = sin(a*n)*sin(b*n)        = (1/2)*(cos((a-b)*n)-cos((a+b)*n)) 2. f(n) = cos(a*n)*cos(b*n)        = (1/2)*(cos((a-b)*n)+cos((a+b)*n)) 3. f(n) = sin(a*n)*cos(b*n)        =(1/2)*(sin((a+b)*n)+sin((a-b)*n)) Görüldüğü gibi frekansları farklı iki sinusoidin çarpımları durumunda (a != b) çarpım işleminin sonucu iki adet sinusoidin toplamı ile sonuçlanıyor. İki adet sinusoidin toplamı başka bir sinusoidtir ve bir sinusoidin ortalama değeri sıfırdır. Çıkarım: Real(F) = (1/N) * S(n=0,N-1)[x(n)*cos(2Pi*F*n)]Imag(F) = (1/N) * S(n=0,N-1)[x(n)*sin(2Pi*F*n)] Yukarıdaki formüllerde, sadece ilgili frekans bileşeni (eğer varsa) çarpım sonucu ortalama değeri pozitif olan yeni bir zaman serisi oluşturur.

  11. sin(1.8x)*sin(2.2x) Farklı frekanstaki sine işaretlerinin çarpımı, başka bir sinüsoidal oluşturur. Yeni oluşan bu sinusoidalin ortalama değeri sıfırdır.

  12. cos(1.8x)*cos(2.2x) Farklı frekanstaki cosine işaretlerinin çarpımı, başka bir sinüsoidal oluşturur. Yeni oluşan bu sinusoidalin ortalama değeri sıfırdır.

  13. sin(1.8x)*cos(2.2x) Farklı frekanslardaki sine ve cosine işaretlerinin çarpımı, başka bir sinüsoidal oluşturur. Yeni oluşan bu sinusoidalin ortalama değeri sıfırdır.

  14. JAVA İLE DFT /* * İSMAİL EMRE KARTOĞLU * İSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ */ public class DFT { public static double frekansGucu(byte[] degerler,double f) { double sinToplam=0; double cosToplam=0; for(int i=0; i<degerler.length; i++) { sinToplam += (double)degerler[i]*Math.sin((double)2*Math.PI*f*i); cosToplam += (double)degerler[i]*Math.cos((double)2*Math.PI*f*i); } sinToplam /= degerler.length; cosToplam /=degerler.length; return sinToplam*sinToplam+cosToplam*cosToplam; } } Real(F) = (1/N) * S(n=0,N-1)[x(n)*cos(2Pi*F*n)]Imag(F) = (1/N) * S(n=0,N-1)[x(n)*sin(2Pi*F*n)]Power(F) = Real(F)*Real(F) + Imag(F)*Imag(F)

  15. KAYNAKLAR [1]: http://www.developer.com/java/other/article.php/3374611 [2]: http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform

More Related