1. RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA

1. 1. RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA CONCEITO: Consiste de um método gráfico-analítico que permite a observação da resposta de um sistema, para um sinal de entrada senoidal, cuja freqüência é variada dentro de uma faixa pré-estabelecida. A resposta em regime permanente de um sistema linear e invariante no tempo sujeito a um entrada senoidal será senoidal na mesma freqüência, com ampitude e fase diferentes. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA SENOIDAL: G(jw) 1) MÓDULO = |G(jw)| = |Y(jw)| / |X(jw)| 2) FASE = G(jw) = Y(jw) / X(jw)

2. 2. DIAGRAMAS DE BODE CONCEITO: Consiste na representação da função de transferência senoidal de um sistema por gráficos MÓDULO x FREQÜÊNCIA e ÂNGULO DE FASE x FREQÜÊNCIA. MÓDULO (M) = 20 log |G(jw)| [deciBel = dB] FASE () =  G(jw) [graus = ] Ex.: G(s) = 1 / (s + a)

3. 3.a. ANÁLISE DA ESTABILIDADE ANÁLISE: O método dos diagramas de Bode consiste na determinação do distanciamento, tanto em fase como em módulo, do ponto crítico, ou seja quando G(jw) = 1  -180. Módulo = 1 = O dB; Fase = - 180 MARGEM DE GANHO = é o ganho que falta para que o sistema atinja O dB, quando a fase está em -180. MARGEM DE FASE = é a fase que falta para que o sistema atinja - 180, quando o ganho é O dB.

4. 3.b. ANÁLISE DA ESTABILIDADE SISTEMA ESTÁVEL: para que tenhamos estabilidade, temos de ter: MG > 0; MF > 0 Ex.: MF = 30, tem-se  = -150 (MF > 0, fase acima de -180). Ex.: MG = 6 dB, tem-se M = -6dB (MG > 0, ganho abaixo de 0 dB). Obs.: O método de Bode só é válido quando tem-se apenas uma MG e uma MF.

5. 4.a. CONSTRUÇÃO DOS DIAGRAMAS DE BODE USO DE ESCALAS LOGARÍTMICAS: simplificam a sua construção, manipulação e interpretação. Abscissas  eixo w (freqüência em radianos)  escala logarítimica Ordenadas  eixo M (módulo em dB)  M = 20 log |G(jw)| 1 oitava = variação correspondente a w2 = 2 x w1 1 década = variação correspondente a w2 = 10 x w1

6. 4.b. CONSTRUÇÃO DOS DIAGRAMAS DE BODE TRAÇADO DAS CURVAS: corresponde a plotar a curva G(s) para s = jw. Como é uma curva de variável complexa, deve-se apresentar conjuntamente duas curvas: parte real e imaginária ou Módulo e Fase (forma usada). CURVA DE MÓDULO: ou de amplitude. Indica o ganho relativo espectral. CURVA DE FASE: identifica o defasamento harmônico do sinal de saída em relação ao de entrada.

7. 4.c. CONSTRUÇÃO DOS DIAGRAMAS DE BODE DEFINIÇÃO MATEMÁTICA: Função de transferência G(s) = K [(s+x1+jw1).(s+x3+jw3)...] / [s+x2+jw2).(s+x4+jw4...)] CURVA DE AMPLITUDE: |G(jw)|dB M = 20logK + 20 log[(x12 + (w1+w)2)] +... - 20log[(x22 + (w2+w)2)] -... Obs.: Zeros tem contribuição positiva e pólos tem contribuição negativa na curva de módulo. CURVA DE FASE:  (jw)  = arc tg[(w1+w) / x1] +... - arc tg[(w2+w) / x2] -... Obs.: Zeros tem contribuição positiva e pólos tem contribuição negativa na curva de fase.

8. 5.a. TRAÇADO DAS ASSÍNTOTAS TRAÇADO APROXIMADO: trata-se da construção gráfica dos Diagramas de Bode através de assíntotas de módulo e fase. Elas aproximam a curva real, somando-se as contribuições individuais de cada pólo ou zero. 1. GANHO CONSTANTE K Módulo: MdB = 20 log |K| Fase:  = 0

9. 5.b. TRAÇADO DAS ASSÍNTOTAS 2. PÓLOS E ZEROS DE MULTIPLICIDADE r NA ORIGEM ZEROS: G(s) = sr  G(jw) = (jw)r Módulo: MdB = 20 log |(jw)r|  inclinação de r. (+ 20 dB / déc) Fase:  = r.90 contribuição constante a partir da origem PÓLOS: G(s) = 1 / sr G(jw) = 1 / (jw)r Módulo: MdB = 20 log |1 / (jw)r|  inclinação de r.(- 20 dB / déc) Fase:  = r. -90 contribuição constante a partir da origem

10. 5.c. TRAÇADO DAS ASSÍNTOTAS 3. ZEROS REAIS DE MULTIPLICIDADE r ZEROS: G(s) = (s + z)r  G(jw) = (1 + jw/z)r Módulo: MdB = 20 log |(1 + jw/z)r|  inclinação de r.(+ 20 dB / déc) Fase:  = r.arc tg (w/z) 0 até w=z e, a partir daí, r.(+90) Erro das assíntotas (zero simples r=1): w = z/5  MdB = +0,17;  = +11,3 w = z/2  MdB = +0,96;  = +0,8 w = z  MdB = +3;  = 0 w = 2.z  MdB = +0,96;  = -0,8 w = 5.z  MdB = +0,17;  = -11,3

11. 5.d. TRAÇADO DAS ASSÍNTOTAS 4. PÓLOS REAIS DE MULTIPLICIDADE r PÓLOS: G(s) = 1 / (s + p)r G(jw) = 1 / (1 + jw/p)r Módulo: MdB = 20 log |1 / (1 + jw/p)r|  inclinação de r.(- 20 dB / déc) Fase:  = r.-arc tg(w/p) 0 até w=p e, a partir daí, r.(-90) Erro das assíntotas (pólo simples r=1): w = p/5  MdB = -0,17;  = -11,3 w = p/2  MdB = -0,96;  = -0,8 w = p  MdB = -3;  = 0 w = 2.p  MdB = -0,96;  = +0,8 w = 5.p  MdB = -0,17;  = +11,3

12. 5.e. TRAÇADO DAS ASSÍNTOTAS 5. PÓLOS COMPLEXOS DE MULTIPLICIDADE r PÓLOS: G(s) = 1 / (s2 + 2wns +wn2)r G(jw) = 1 / [-(w/wn)2 + j2w/wn +1]r onde: (s2 + 2wns +wn2) = (s + wn)2 + wd2 wd2 = wn2 (1 - 2)  wd = wn . (1 - 2) , desde que 0 < < 1 Módulo: MdB = 20 log | 1 / [-(w/wn)2 + j2w/wn +1]r |  inclinação de r.(- 40 dB / déc) a partir de w = wn Fase:  = r.-arc tg(1 / [-(w/wn)2 + j2w/wn +1]) 0 até w=wn e, a partir daí, r.(-180)

13. 5.f. TRAÇADO DAS ASSÍNTOTAS GRÁFICOS DE PÓLO COMPLEXO DE MULTIPLICIDADE r = 1 Erro das assíntotas (par complexo de r = 1): MdB = 20 log (2)  = arc tg (2 (w/wn) / [1 - (w/wn)2])