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MNU- Tagung am 09.10.2007 an der Universität in Dortmund Klaus Gerber, Leichlingen

MNU- Tagung am 09.10.2007 an der Universität in Dortmund Klaus Gerber, Leichlingen. Related-Rates-Problems – Aufgaben mit verketteten Änderungsraten – Ein integrierendes Konzept für den Analysis-Unterricht. Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen.

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MNU- Tagung am 09.10.2007 an der Universität in Dortmund Klaus Gerber, Leichlingen

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Presentation Transcript

  1. MNU- Tagung am 09.10.2007 an der Universität in Dortmund Klaus Gerber, Leichlingen Related-Rates-Problems– Aufgaben mit verketteten Änderungsraten –Ein integrierendes Konzept für den Analysis-Unterricht

  2. Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen

  3. Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen • Geometrisch orientierte Strategien • Related-Rates-Aufgaben in Verbindung mit dem HDI • Veränderliche Raten – Sprungbrett zu den Differenzialgleichungen • Experimentelle Untersuchungen

  4. Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen • Geometrisch orientierte Strategien • Related-Rates-Aufgaben in Verbindung mit dem HDI • Veränderliche Raten – Sprungbrett zu den Differenzialgleichungen • Experimentelle Untersuchungen

  5. Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen Pólyas Kegel In ein trichterförmiges Gefäß läuft Wasser ein. Es hat die Form eines auf der Spitze stehenden Kegels mit dem Radius r = 5 cm und der Höhe h = 10 cm. Die Zuflussgeschwindig- keit beträgt 9 cm3/min. Mit welcher Geschwindigkeit steigt der Wasserpegel, wenn die Füllhöhe gerade 6 cm beträgt?

  6. Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen Pólyas Kegel Lösung: 1. Zeichnung: 2. Gegebene Änderungsrate: Gesuchte Änderungsrate: 3. Kettenregel: Gesucht! 4. Es gilt: Mit der Ähnlichkeitsbeziehung erhält man: Ableiten ergibt: 5. Einsetzten in die umgeformte Kettenregel: Mit der Füllhöhe y = 6cm erhält man die gesuchte Pegelgeschwindigkeit:

  7. Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen Die Lösungsschritte lassen sich zusammenfassen: • Fertige eine Zeichnung mit den relevanten geometrischen Größen an. • Notiere die gegebenen und die gesuchten Änderungsraten. • Formuliere die Kettenregel, die die Änderungsraten verknüpft. • Finde die unbekannte Änderungsrate in der Kettenregel mit geometrischen Hilfsmitteln (Ähnlichkeit, Pythagoras, Koordinatengeometrie). • Setze die gefundene Änderungsrate in die Kettenregel ein, und berechne die gesuchten Größen.

  8. Verwandte Aufgaben: Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen

  9. Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen • Geometrisch orientierte Strategien • Related-Rates-Aufgaben in Verbindung mit dem HDI • Veränderliche Raten – Sprungbrett zu den Differenzialgleichungen • Experimentelle Untersuchungen

  10. Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen Pólyas Kegel mit dem HDI Ein Glas entsteht durch die Rotation des Graphen zu f(x) = 0,5 x im Intervall [0; 10]. Nun wird das Glas mit der Spitze nach unten aufrecht gestellt und mit Wein gefüllt. Die Zufluss- geschwindigkeit beträgt 9 cm3/min. Berechne die momentane Pegelgeschwindigkeit, wenn die Füllhöhe 6 cm beträgt?

  11. Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen Pólyas Kegel mit dem HDI Lösung: 1. Zeichnung: 2. Gegebene Änderungsrate: Gesuchte Änderungsrate: 3. Kettenregel: Gesucht! 4. Berandungsfunktion f mit . f und f2 sind stetig. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist die Integralfunktion mit dem Term differenzierbar und es gilt: 5. Einsetzten in die umgeformte Kettenregel: Allgemein gilt: Mit der Füllhöhe y = 6cm erhält man die gesuchte Pegelgeschwindigkeit:

  12. Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen Verwandte Aufgaben: Vasen, Silos, Sektschalen, Weinkelche ......

  13. Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen • Geometrisch orientierte Strategien • Related-Rates-Aufgaben in Verbindung mit dem HDI • Veränderliche Raten – Sprungbrett zu den Differenzialgleichungen • Experimentelle Untersuchungen

  14. Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen Pólyas Kegel mit veränderlichem Zufluss In das trichterförmiges Gefäß läuft Wasser ein. (Radius r = 5cm und der Höhe h = 10cm.) Wasser läuft nun mit der veränderlichen Zuflussgeschwindig- keit dV/dt = t zu. Berechne die momentane Pegelgeschwindigkeit 3s nach dem Start des Zuflusses in das leere Glas?

  15. Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen Pólyas Kegel mit veränderlichem Zufluss Einsetzen in die umgeformte Kettenregel: Separation der Variablen: Integration: Wenn für t=0 die Füllhöhe 0cm beträgt, ist die Integrationskonstante c=0 und wir können die Lösungsfunktion der Differentialgleichung durch Auflösen nach y bestimmen: Ihre Ableitungsfunktion beschreibt die Pegelgeschwindigkeit: 3s nach dem Start des Zuflusses beträgt die gesuchte Pegelgeschwindigkeit :

  16. Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen • Geometrisch orientierte Strategien • Related-Rates-Aufgaben in Verbindung mit dem HDI • Veränderliche Raten – Sprungbrett zu den Differenzialgleichungen • Experimentelle Untersuchungen

  17. Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen Befüllung einer Glaskaraffe 1. Aufzeichnung des Füllvorgangs mit einer Videokamera und Auswertung mit einer Videoanalyse-Software (z.B.: VIANA) 2. Entwicklung eines mathematischen Modells mit einer ganzrationalen Berandungsfunktion und Lösung als Related-Rates-Problem. 3. Vergleich der Modelle.

  18. Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen Danke für Ihre Aufmerksamkeit!

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