Magnetick é pole

1. Magnetické pole Elektrické náboje v pokoji vzbudzujú vo svojom okolí elektrické pole. Pohybujúce sa elektrické náboje vzbudzujú okrem elektrického poľa aj magnetické pole. Toto pole existuje však aj v okolí permanentných magnetov, ktoré nepotrebujú elektrický prúd na vyprodukovanie magnetického poľa. Magnetické pole má niektoré vlastnosti materiálnych objektov, preto ho považujeme za druh hmoty. Príčinou existencie magnetického poľa v okolí permanentných magnetov sú elementárne magnetické polia produkované elektrónmi v atómoch. Tie- to magnetické polia sú jednak dôsledkom obiehania elektrónov okolo atómových ja- dier – orbitálny magnetizmus, jednak sú to polia, ktoré sú vnútornou vlastnosťou elektrónu, súvisia so spinom elektrónu – spinový magnetizmus. Všetky látky však pozostávajú z atómov, ktoré sa skladajú z jadier a z okolo nich obiehajúcich elektró- nov. Nie všetky látky však produkujú vo svojom okolí magnetické pole. Je to pre- to, lebo v mnohých látkach sú elektróny v elektrónových obaloch atómov usporiada- né tak, že sa ich elementárne magnetické polia navzájom vykompenzujú a látka na- vonok nevykazuje nijaký magnetizmus. Naopak v látkach, z ktorých sú vyrobené permanentné magnety, sú elektróny usporiadané tak, že sa ich elementárne magne- tické polia skladajú takým spôsobom, že látka produkuje vo svojom okolí magnetic- ké pole.

2. Permanentný magnet má dva póly – severný N (z anglického north – sever) a juž- ný – S (z anglického south – juh). Zatiaľ sa nepodarilo tieto póly od seba oddeliť. Nech delíme magnet na akékoľvek malé časti, vždy dostaneme len magnety s oboma pólmi. Toto je asi dôsledkom elementárnych magnetických polí produkovaných elek- trónmi v atómoch. Nech delíme permanentný magnet na akékoľvek malé časti, vždy v ňom budú tieto elementárne polia, ktoré jeho magnetizmus produkujú. Magnetická indukcia Tak ako elektrické pole charakterizuje intenzita elektrického poľa , magnetické pole v každom jeho mieste je dané vektorom magnetickej indukcie . Intenzitu elek- trického poľa a elektrostatickú silu sme zadefinovali prostredníctvom elektrických nábojov. Avšak v magnetizme nič také ako magnetické monopóly zatiaľ nepoznáme. Preto sa vektor indukcie magnetického poľa zadefinoval prostredníctvom sily pôso- biacej na elektrický náboj pohybujúci sa v magnetickom poli. Táto definícia je (1) kde q je hodnota pohybujúceho sa náboja a jeho rýchlosť v mieste, v ktorom si- lu určujeme a v ktorom má magnetické pole indukciu . Vzťah (1) je experi- mentálnym faktom.

3. Vidíme, že v (1) vystupuje vektorový súčin násobený konštantou q. Z vlas- tností vektorového súčinu potom vyplýva, že sila je kolmá na rovinu určenú vektormi a . Jej orientácia závisí od toho, aké bude znamienko náboja q. Uvažujme napr. situáciu ako na obrázku. Nech vek- tory a ležia v rovine nákresne, pričom zvierajú medzi sebou uhol . Potom vektor je kolmý na nákresňu a je orientovaný smerom k nám, pretože rotácia do pozdĺž uhla sa z našej strany javí v smere proti chodu hodino- vých ručičiek. Ak je teda náboj q kladný, sila bude mať taký istý smer ako vektorový súčin , ak je náboj q záporný, bude mať opačný smer, teda kolmo na nákresňu a za nákresňu. Keďže sila je vždy kolmá na vektor rýchlosti , t.j. nemá zložku k nemu paralelnú, nemôže meniť veľkosť rýchlosti, len jej smer a tým aj smer pohybu nábo- ja q. V časti o dostredivej sile sme hovorili, že pri rovnomernom pohybe hmotného bodu po kružnici má tento hmotný bod normálové zrýchlenie, ktoré smeruje do stredu jeho

4. kruhovej dráhy a je vždy kolmé na vektor rýchlosti hmotné- ho bodu, ktorý má smer dotyčnice ku kruhovej dráhe. Taký istý smer ako normálové zrýchlenie, t.j. do stredu kruhovej dráhy kolmo na vektor rýchlosti, má teda aj sila, ktorá toto zrýchlenie produkuje. Predstavme si teraz, že do homogén- neho magnetického poľa kolmého na nákresňu a orientova- ného pred nákresňu pomocou elektrónového dela vystrelí- me elektróny v rovine nákresne kolmo na magnetické pole tak, ako ukazuje obrázok. Podľa rovnice (1) potom na elekróny pôsobí sila kolmá na i , t.j. ležiaca v rovine nákresne a orientovaná zvislo nadol. Táto sila bude teda neustále meniť smer pohybu elektrónov, pričom bude stále na tento smer – smer vektora – kol- má. Sila bude teda zakrivovať dráhu elektrónov tak, že sa tieto budú pohybovať po kruhovej dráhe, do stredu ktorej sila bude neustále smerovať. Sila teda produkuje normálové zrýchlenie a predstavuje vlastne dostredivú silu pôsobiacu na elektróny pohybujúce sa po kruhovej dráhe. Platí teda kde je veľkosť sily získaná na základe (1), r je polomer kruhovej

5. dráhy elektrónov a m je hmotnosť elektrónu. Z poslednej rovnice vyplýva (2) Polomer kruhovej dráhy elektrónov v homogénnom magnetickom poli je teda tým väčší, čím je väčšia ich rýchlosť a tým menší, čím je väčšia magnetická indukcia poľa. To, čo sme povedali na predchádzajúcom slide, môžeme zovšeobecniť: Ľubovoľná konštantná sila kolmá na vektor rýchlosti telesa spôsobuje rovnomerný pohyb telesa po kružnici, do stredu ktorej táto sila neustále smeruje. Ak do homogénneho magnetického poľa vystrelíme náboj q tak, že vektor jeho rýchlosti zviera s vektorom uhol , bude mať tento náboj zložku rýchlosti rovnobežnú s , čoho výsledkom je jeho po- hyb po špirálovitej dráhe. Vzdialenosti medzi jednotlivý mi závitmi špirály budú závisieť od veľkosti a ich polomer r bude daný zložkou rýchlosti kolmou na magnetické pole a vypočítame ho dosadením hod- noty za do (2). + q

6. N S Jednotkou magnetickej indukcie je tesla, značka T. Jej fyzikálny rozmer môžeme od- vodiť na základe (1) Magnetické indukčné čiary Podobne, ako pre elektrické polia, aj rozlo- ženie magnetického poľa môžeme graficky znázorniť indukčnými čiarami. Dotyčnica ku magnetickej indukčnej čiare v jej urči- tom bode určuje smer vektora magnetickej indukcie v tomto bode magnetického po- ľa. Väčšia hustota indukčných čiar zname- ná magnetické pole s väčšou veľkosťou magnetickej indukcie a naopak. Na obráz- ku sú znázornené magnetické indukčné čiary tyčového magnetu. Tieto čiary sú uzavreté a sú orientované od severného pó- lu k južnému, t.j. na severnom póle induk-

7. čné čiary z magnetu vystupujú a na južnom póle doňho vstupujú. Dva súhlasné póly magnetu sa odpudzujú a dva nesúhlasné póly sa priťahujú. V skutočnosti však ide o súčasné pôsobenie na oba póly magnetu, pričom účinok na bližší pól prevažuje. Sila pôsobiaca na vodivý drôt pretekaný elektrickým prúdom Obrázok ukazuje vodivý drôt umiestnený v homogénnom magnetickom poli kolmom na nákresňu a orientovanom pred ňu. Drôt je upevnený na oboch koncoch. Keď zave- dieme do drôtu elektrický prúd naznačeného smeru, drôt sa vychýli doprava. Je to preto, lebo podľa rovnice (1) pô- sobí na nosiče elektrického náboja, ktoré prúd tvoria, sila kolmá na magnetické pole a na smer ich rýchlosti, t.j. i na smer prúdu. Táto sila leží v rovine nákresne a je orientovaná vodorovne doprava. Jej pôsobením získajú nosiče náboja zložku pohybu v smere vodorovne doprava a keďže nosiče náboja nemôžu opustiť drôt, prejaví sa toto pôsobenie vychýlením drô- tu doprava. Drôt sa vychýli doprava, či už sú nosiče náboja nabité kladne alebo zá- porne, preto budeme v ďalšom výklade uvažovať napr. kladne nabité nosiče náboja. Odvodíme teraz vyjadrenie pre silu pôsobiacu na priamy úsek vodivého drôtu o dĺžke L, ktorý je uložený v homogénnom magnetickom poli o indukcii tak, že

8. vektor zviera s týmto úsekom drôtu uhol . Drôtom preteká elektrický prúd tvorený kladnými nábojmi. Zložka rýchlosti pohybu týchto nábojov v smere prúdu i, a teda pozdĺž drôtu je práve driftová rýchlosť , ktorú nábojom udeľu- je elektrické pole, ktoré prúd vzbudzuje. Driftová rý- chlosť je konštantná a rovnaká pre všetky náboje, takže úsek dĺžky L prejde každý elektrický náboj q za čas . Potom množstvo náboja, ktoré za L xx + tento čas prejde prierezom drôtu, ktorý na ňom vytína rovina xx, je Množstvo náboja Q pozostáva z konečného počtu nábojov q, kde q je nesený jedným nosičom náboja. Na každý náboj q teda pôsobí sila (1), ktorá v prípade našej situácie znázornenej na obrázku je kolmá na nákresňu a orientovaná za nákresňu. Potom cel- ková sila pôsobiaca na priamy úsek vodiča o dĺžke L je daná vektorovým súč- tom síl pôsobiacich na taký počet nábojov q, ktorých súčet nám dá množstvo ná- boja Q. Na základe (1) a poslednej rovnice teda veľkosť tejto sily je

9. Ako je zrejmé, orientácia je tá istá ako orientácia síl pôsobiacich na jednotlivé náboje q. Ak priradíme priamemu úseku vodivého drôtu vektor , ktorého veľkosť je jeho dĺžka L a smer je totožný so smerom driftovej rýchlosti , predstavuje v poslednej rovnici veľkosť vektorového súčinu . Ako je zrejmé, smer a orientácia tohto vektorové súčinu sú totožné so smerom a orientáciou síl , resp. sily , pre ktorú teda môžeme napísať jej vektorové vyjadrenie (3) Rovnica (3) vyjadruje silu pôsobiacu v homogénnom magnetickom poli o indukcii na priamy úsek vodivého drôtu o dĺžke L pretekaného prúdom i. Ak však drôt nie je rovný, alebo magnetické pole nie je homogénne, alebo oboje, musíme drôt rozdeliť na elementárne úseky dL, ktorým priradíme elementárne vektory . Tieto elementárne vektory budú mať v rôznych miestach drôtu rôzne smery. Magnetické pole bude mať vo všeobecnosti v rôznych miestach drôtu tiež rôzne smery a na- vyše aj veľkosti. Avšak zmena pozdĺž elementárneho posunutia je nekonečne malá, preto pre každý elementárny úsek dL drôtu môžeme s použitím (3) napísať (4)

10. kde je sila pôsobiaca na elementárny úsek drôtu dL, v mieste ktorého magne- tické pole má indukciu . Ako je zrejmé, sily pôsobiace na rôzne elementár- ne úseky dL majú rôzny smer i veľkosť,preto celkovú silu pôsobiacu na celý drôt pretekaný prúdom i dostaneme vektorovým sčítaním všetkých síl pôsobiacich na všetky elementárne úseky dL celého drôtu, t.j. integráciou vzťahu (4). Biotov-Savartov zákon V kapitole o elektrickom poli sme definovali intenzitu elektrického poľa v nejakom mieste v okolí nabitých objektov ako vektor rovnajúci sa podielu celkovej sily pôso- biacej na kladný testovací náboj umiestnený v tomto mieste a tohto náboja. Pre prí- pad elektrického poľa budeného bodovým nábojom Q sme dostali pre intenzitu elek- trického poľa vo vzdialenosti r od tohto náboja vzťah (5) kde je vektor, ktorý má začiatok v Q a koniec v mieste, v ktorom intenzitu urču- jeme. Uvažujme teraz nejaké spojité rozloženie elektrického náboja v priestore a roz- deľme tento náboj na elementárne – nekonečne malé – náboje dq. Potom s použitím

11. P dq (5) intenzita elektrického poľa vyprodukovaná v nejakom bode P v okolí nášho spojitého rozloženia náboja ľubovoľným elementárnym nábojom dq, ktorý si z neho vyberieme, je (6) kde je vektor s počiatkom v dq a koncom v bode P. Pre rôzne dq vybrané v na- šom spojitom rozložení budeme mať rôzne i čo do veľkosti i smeru. Preto celkovú intenzitu elektrického poľa produkovanú v bode P naším spojitým rozlo- žením náboja získame vektorovým súčtom elementár- nych intenzít (6) produkovaných všetkými elementár- nymi nábojmi dq nášho spojitého rozloženia, t.j. in- tegráciou (6). Analogická situácia, aj keď nie presne tá istá, nastá- va aj pre magnetické pole produkované elektrickým prúdom. Uvažujme vodivý drôt ľubovoľného tvaru ktorým tečie prúd i. Rozdeľme tento drôt na elemen- tárne úseky ds a každému takémuto úseku priraďme elementárny vektor , ktorého veľkosť je rovná ds a smer je totožný so smeromprúdu v ds. Potom in- ds P i

12. dukcia magnetického poľa vyprodukovaná prúdovým elementom v bode P, ktorého poloha vzhľadom na ds je daná vektorom , je vyjadrená rovnicou (7) Rovnica (7) je Biotov-Savartov zákon a je výsledkom experimentov. Na základetejto rovnice možno určiť aj smer indukcie magnetického poľa v danom jeho bode. Ako je zrejmé, bude mať smer a orientáciu vektorového súčinu . Ak na ob- rázku na predchádzajúcom slide drôt s prúdom leží v rovine nákresne, tak aj vektory a ležia v rovine nákresne, a teda bude kolmý na rovinu nákresne a podľa pravidiel vektorového súčinu bude orientovaný za nákresňu. Keďže smer a veľkosť a smer sú pre rôzne prúdové elementy rôzne, celkovú indukciu mag- netického poľa produkovanú v bode P prúdom i získame ako vektorový súčet ele- mentárnych indukcií (7) produkovaných všetkými prúdovými elementami prúdu i v bode P, t.j. integráciou (7). Porovnaním rovníc (6) a (7) vidíme, že tieto rovnice sú naozaj podobné s tým roz- dielom, že v (7) vystupuje vektorový súčin a zdroj elementárnej magnetickej induk- cie je prúdový element , ktorý je vektor, kým elementárny náboj dq vystupujúci v (6) je skalár.

13. Konštanta vystupujúca vo vyjadrení (7) sa nazýva permeabilita vákua a jej hodnota je T.m.A-1. Napokon uveďme ešte poznámku, že pomocou vzorca (7) vypočítame magnetickú indukciu v okolí prúdu i, ak je týmto okolím vákuum. Ak sa však v okolí prúdu i na- chádza látka, ktorú možno zmagnetizovať – magnetikum, je prúd i pre túto látku vonkajším magnetizujúcim prúdom. To znamená, že elementárne magnetické polia produkované elektrónmi atómov magnetika budú mať tendenciu sa orientovať poz- dĺž vektora intenzity magnetického poľa , ktorý je produkovaný v magnetiku i mimo neho k magnetiku vonkajším magnetizujúcim prúdom i. Tým vzniká v magnetiku nenulová magnetizácia, ktorú reprezentuje vektor magnetizácie . Aby sme potom dostali celkovú magnetickú indukciu v magnetiku, musíme k induk- cii produkovanej prúdom i vypočítanej podľa (7) a rovnej prirátať aj príspe- vok od magnetizácie – χ , kde veličina χ je magnetická susceptibilita. Mimo magnetika bude indukcia daná len rovnicou (7), t.j. bude rovná .

14. Magnetické pole v okolí nekonečne dlhého drôtu pretekaného prúdom Uvažujme rovný nekonečne dlhý vodivý drôt preteka-ný prúdom i. Chceme určiť smer a veľkosť indukcie magnetického poľa budeného týmto prúdom v bode P, ktorý je v kolmej vzdialenosti R od drôtu. Uvažujme najskôr hornú polovicu drôtu (od 0 po ). Celý ú- sek drôtu rozdeľme na elementárne úseky ds a každé-mu z nich priraďme vektor elementárneho posunutia . Poloha bodu P vzhľadom na je určená vek-rom . Každý prúdový element budí v P mag- netické pole, veľkosť indukcie ktorého je na základe s P 0 R |s| i (8) Ak predpokladáme, že vektory a ležia v rovine nákresne, tak smer a orientá- cia vektora v bode P, ktoré sú dané smerom a orientáciou vektorového súčinu , bude kolmo na nákresňu a za nákresňu. Keďže smer a orientácia všetkých vektorov budených všetkými prúdovými elementami pozdĺž celého ú- seku drôtu od 0 po bude ten istý, môžeme veľkosť výsledného magnetického

15. poľa v bode P vypočítať algebraickým súčtom príspevkov tvaru (8) od všetkých elementárnych prúdových elementov drôtu v úseku od 0 po . Keďže však pre rôzne sú rôzne a , bude týmto súčtom integrál z (8). Aby sme tento in- tegrál vypočítali, vyjadríme veľkosť vektoraa nasledovne Po dosadení týchto vzorcov do (8) získame integrál (9) Integrál v poslednej rovnici závisí už len od premennej s, čo je vzdialenosť elementu od počiatku. Jeho vyčíslenie je jednoduché Posledná rovnica však predstavuje magnetické pole budené v bode P len polovicou

16. nekonečne dlhého drôtu. Uvažujme teraz druhú polovicu drôtu, ako ukazuje obrázok na slide 14. Na základe tohto obrázku a rovnosti je okamžite jasné, že element , ktorý je v rovnakej vzdialenosti od počiatku, ale v dolnej polovici drôtu, ako element v hornej polovici drôtu, prispieva k celkovej magnetickej in- dukcii v bode P takisto hodnotou (8). Pritom smer elementárnych magnetických po- lí budených všetkými prúdovými elementami v dolnej polovici drôtu bude takisto kolmo na nákresňu a za ňu. Preto celkové magnetické pole budené prúdom v dolnej polovici drôtu je také isté ako magnetické pole budené prúdom v hornej polovici drôtu, t.j. jeho veľkosť je tiež . [Alebo integrujme (8) od po 0. Zavedením substitúcie dostaneme integrál (9)]. Veľkosť celkového magnetického poľa budeného v kolmejvzdialenosti R od nekonečne dl- hého priameho drôtu pretekaného prúdom i je preto (10) Vzhľadom na to, čo sme tu povedali, je zrejmé, že magnetické indukčné čiary magnetického poľa budeného prúdom tečúcim priamym nekonečne dlhým drôtom sú kružnice, ktorých rovina je kolmá na drôt so stredom v drôte.

17. Sila medzi dvoma rovnobežnými prúdmi Predstavme si dva veľmi dlhé priame tenké rovno- bežné drôty, ktorých vzdialenosť je d. Drôtmi pre- kajú v tom istom smere prúdy a . Chceme zistiť, akou silou tieto drôty na seba pôsobia. Uva- žujme teda napr. pôsobenie drôtu a na drôt b. Vie- me, že na pohybujúce sa elektrické náboje v mag- netickom poli pôsobí sila (1), resp. že na priamy d L úsek vodivého drôtu pretekaného elektrickým prúdom, ktorý je uložený v homogén- nom magnetickom poli, pôsobí sila (3). Musíme teda najskôr nájsť magnetické pole produkované prúdom vo vzdialenosti d od neho. Veľkosť tohto poľa je na základe (10) daná vzťahom Smer a orientáciu nájdeme na základe Biotovho-Savartovho zákona (7) podobne ako v predchádzajúcej časti. Keďže pole je rovnaké vo všetkých bodoch priesto- ru, ktorými prechádza prúd čo do veľkosti, smeru a orientácie, sila , kto- rou pôsobí prúd na priamy úsek prúdu dĺžky L, ktorému priradíme vektor

18. s rovnakou dĺžkou a smerom v smere prúdu, je daná podľa (3) vyjadrením Podľa pravidiel vektorového súčinu táto sila je kolmá na oba prúdy a je orientovaná k prúdu . Jej veľkosť ľahko určíme Úplne rovnakým spôsobom by sme našli silu, ktorou pôsobí prúd na prúd a zistili by sme, že táto sila má rovnakú veľkosť ako sila , ale presne opačný smer. Dva rovnobežné prúdy, ktoré tečú súhlasným smerom, sa teda priťahujú. Keby sme analyzovali dva rovnobežné prúdy tečúce opačnými smermi, zistili by sme, že sa odpudzujú. Na základe síl pôsobiacich medzi dvoma rovnobežnými prúdmi bola aj definovaná jednotka elektrického prúdu – ampér: Ampér je konštantný prúd, ktorý, ak prechádza dvoma priamymi nekonečne dlhými vodičmi zanedbateľného kruhového prierezu umiestnenými vo vákuu vo vzájomnej vzdialenosti 1 meter, by vyprodukoval na kaž- dý z týchto vodičov pôsobiacu silu veľkosti 2x10-7 newtonov na 1 meter dĺžky.

19. Ampérov zákon Biotov-Savartov zákon (7) umožňuje vypočítať magnetické pole budené prúdo- vým elementom v určitom mieste priestoru v okolí prúdu i. Keď však chceme vypočítať celkové magnetické pole v tomto mieste, nemusí byť také jednoduché sčítať príspevky k nemu od všetkých prúdových elementov, ako to bolo v prípade priameho nekonečne dlhého prúdovodiča, t.j. rozloženie prúdov v priestore môže byť značne komplikované, a teda integrál z nemusí byť vyjadrený jednoduchou analytickou funkciou. Pole však môžeme v niektorých takýchto prípadoch, ak má rozloženie prúdov nejakú symetriu, vypo- čítať pomocou Ampérovho zákona smer integrácie (11) Rovnica (11) hovorí, že integrál z indukcie mag- netického poľa po uzavretej dráhe je úmerný al- gebraickému súčtu prúdov obopnutých touto drá- ampérovská dráha hou. Ak predpokladáme, že integračná dráha leží v rovine, potom prúdu i priradíme kladné znamienko, ak má smer na tú stranu od roviny, v ktorej leží dráha integrácie,

20. z ktorej sa zvolený smer integrácie javí proti chodu hodinových ručičiek. Ak prúd smeruje na tú stranu od roviny, v ktorej leží integračná dráha, z ktorej sa smer integ- rácie javí v smere chodu hodinových ručičiek, priradíme mu znamienko mínus. Pre situáciu ako na obrázku na predchádzajúcom slide teda môžeme napísať Ampérov zákon (11) v tvare K poľu vystupujúcemu v tejto rovnici však prispieva i prúd , ktorý nie je našou integračnou dráhou obopnutý, a preto nevystupuje na pravej strane tejto rovni- ce. Príspevok od tohto prúdu teda nemôže vystupovať ani na jej ľavej strane. Naozaj je to tak – keďže integrujeme po uzavretej dráhe, príspevky od prúdu k integrálu na ľavej strane predchádzajúcej rovnice sa navzájom vyrušia. V rovnici (11) teda na jej ľavej strane je súčtom príspevkov od všetkých prúdov, a to ako obopnutých tak aj neobopnutých integračnou dráhou. Avšak príspevky k integrácii na ľavej strane (11) od každého z prúdov neobopnutých integračnou dráhou sa vy- rušia.

21. Dôkaz rovnice (11) (pre špeciálny prípad prúdov tečúcich nekonečne dlhými rovnými vodičmi infinite- zimálneho kruhového prierezu kolmými na rovinu ampérovskej integračnej dráhy) Najprv predpokladajme situáciu ako na prvom obrázku. Nekonečne dlhý priamy prúdovodič infinitezimálneho kruhového prierezu nesúci prúd i je obopnutý ampé- rovskou integračnou dráhou ležiacou v rovine kolmej na prúdovodič. Ako už vieme,

22. magnetické indukčné čiary produkovaného takýmto prúdom sú kružnice ležiace v rovine kolmej na prúdovodič so stredom na jeho osi. Uvažujme elementárny uhol , ktorého vrchol leží na osi prúdovodiča a ramená v rovine integračnej dráhy. Tento uhol vytne na integračnej dráhe infinitezimálny úsek, ktorému odpovedá elementárne posunutie po integračnej dráhe v smere integrácie. V tomto mieste má vektor indukcie magnetického poľa produkovaného prúdom i, ktorý má, podot- knime, smer dotyčnice ku kruhovej magnetickej indukčnej čiare o polomere rovna- júcom sa kolmej vzdialenosti od osi prúdovodiča, veľkosť danú vzorcom (10). Vektory a v našom vybranom mieste integračnej dráhy zvierajú uhol . Po- tom pre veľkosť priemetu do smeru máme , kde r je po-lomer magnetickej indukčnej čiary v tomto mieste integračnej dráhy. Môžeme teda písať Keď takúto úvahu urobíme pre všetky úseky integračnej dráhy, bude integrál na pravej strane (11) daný súčtom príspevkov rovných výrazu za poslednou rovnosťou v horeuvedenej rovnici, t. j.

23. Teraz predpokladajme konfiguráciu ilustrovanú na druhom obrázku na slide 21. Ampérovská integračná dráha je zvolená tak, že leží v rovine kolmej na nekonečne dlhý rovný prúdovodič infinitezimálneho kruhového prierezu nesúceho prúd i a ne- obopína ho. Infinitezimálny uhol s vrcholom na osi prúdovodiča a ramenami ležiacimi v rovine integračnej dráhy vytne na integračnej dráhe dva úseky, ktorým odpovedajú elementárne posunutia a v smere integrácie. Týmto miestam na integračnej dráhe odpovedajú vektory magnetickej indukcie produkovanej prú- dovodičom a . Príslušné magnetické indukčné čiary a ich polomery sú vyznačené. Na základe podobnej úvahy ako v predchádzajúcom prípade, platí V poslednej rovnici sme zohľadnili fakt, že , t. j. , a že je veľkosť priemetu do smeru .

24. Je teda zrejmé, že príspevky k integrálu (10) od našich dvoch elementárnych úsekov vyťatých na integračnej dráhe uhlom sa vyrušia. Takúto úvahu môžeme uro- biť pre všetky možné elementárne uhly – každý z nich v situácii ako na dru- hom obrázku na slide 21 vytne na integračnej dráhe dva úseky, ktorých príspevky k integrálu na ľavej strane (10) sa vyrušia. To znamená, že v tomto prípade je in- tegrál na ľavej strane (10) rovný nule.