Föreläsning 6 Energiprincipen Kapitel 8 Potentiell energi Energi principen

1. Föreläsning 6 Energiprincipen Kapitel 8 Potentiell energi Energi principen Energi under dissipativa krafter

2. Potentiell energi Om vi återvänder till arbete-energi teoremet en sekund och beskriver det av gravitaion utförda arbetet på en boll (a) som kastat vertikalt upp till höjden h och med starthastigheten v0 (b) när bollen vänder och åker vertikalt neråt. Arbetet Wg blir således: I det första fallet så utför gravitationen ett negativt arbete Wga som leder till att bollens hastighet dvs kinetiska energi minskar Wga = –mgh = mv2/2 – mv02/2 = DK, (i) hastigheten minskar från v = v0 till v = 0 När bollen återvänder så utför gravitationen ett positivt arbete Wgb som ökar bollens hastighet dvs kinetiska energi. Wgb = mgh = mv2/2 – mv02/2 = DK (ii) hastigheten ökar från v = 0 till v = v0 Men vad händer med den energin som ”försvinner” från bollens kinetiska energi? Och varifrån får man den energin som behövs för att åter ge bollen dess kinetiska energi när den faller tillbaka. Svaret är enkelt, i det första skedet så utför gravitationen ett negativt arbete där den överför bollens kinetiska energi till en ny form av energi som beror på bollens höjdläge. Den nya formen av energi når sitt maximala värde då bollen är i sitt högsta läge (dvs allt kinetisk energi har blivit överförd). Det är den energin som gör att bollen kan återigen falla tillbaka och återfå sin kinetiska energin. Den typen av energi kallas för potentiell energi som betecknas U och defineras som: Potentiell energi är en form av energi som förknippas med det relativa läget mellan två eller fler interaktiva partiklar.

3. Exempel (potentiell energi vs. rörelseekvationer) Anta att vi har ett objekt som är placerat 100 m ovan marken. Vi vill bestämma objektets hastighet när den når marken. Från rörelseekvationen v2 = v02 + 2a(y-y0), kan vi bestämma sluthastigheten v då v0 = 0, y0 = 0, y = h = 100 m och a = -g m/s2. v2 = 2gh = 1964 m2/s2 v =44.3 m/s Ett annat sätt och få sluthastigheten är att utnyttja den potentialenergi U som objektet har vid 100 m höjd. U = mgh, vi vet nu att när objektet faller så överförs den potentiella energin till den kinetiska energin K som når sitt maxvärde då den når marken och därmed förbrukat hela den potentiella energin, dvs: K = U  mv2/2 = mgh  v2 = 2gh  v =44.3 m/s

4. Konservativa och dissipativa krafter Förra föreläsning gick vi genom de olika arbeten som utfördes av gravitationkraften, fjäderkraften och friktionskraften. Både gravitationkraftens och fjäderkraftens arbete berodde endast på ändringen mellan start- och slutpositionerna, medan friktionsarbetet berodde på banan (den egentliga sträckan vid förflyttningen). De krafter som är involverade i gravitation och fjädern kallas därför för konservativa krafter medan i fallet friktion, kallas de för dissipativa krafter. För konservativa krafter gäller: s y0 y Wg = mg(y0-y) Wg = mg(y0-y) Det utförda abetet av en konservativ kraft är oberoende av banan Den av gravitation utförda arbete när en boll som rullas ner för en backe, beror endast av skillnaden mellan bollens vertikala start- och slutlägen (y0 och y), och ej av förflyttnings sträckan s.

5. B A Från den tidigare slutsaten ser vi att om ett objekt under en konservativ kraft förflyttas från läge A till läge B, så bör det utförda arbetet WAB vara lika stort som det utförda WBA från B till A, fast med ändrad tecken, dvs. WAB = -WBA WAB + WBA = 0 Detta leder till den andra slutsatsen: För en sluten bana gäller att, det av en konservativ kraft utförda arbetet är lika med noll

6. Låt oss titta på en partikel med massa m som under inverkan av en kraft F flyttas upp från läge A till läge B med konstant hastighet. Arbetet, Wg som utförs under inverkan av gravitationskraften mg (en konservativ kraft) kan skrivas som: Wg = Fs = -mg(B-A) = -(mgB – mgA) = -(UB – UA) = -DU (i) Från: dW = Fds, kan vi skriva (i) som: F B mg A Detta är formeln ger ändringen i potentiell energi för en partikel som flyttas från läge A till läge B, under inverkan av en konservativ kraft.

7. Potentiell energifunktion Nu när det är klart för oss att potentiell energi är en funktion av positionen kan vi börja ge exempel på några potentiella energifunktioner. Vi börjar först med gravitationell potentiell energi. Om vi i första approximation antar att gravitationskraften är konstant vid närheten av jordens yta så kan arbetet Wg utförd av gravitationskraften för att flytta en objekt med massa m från startposition y0 till slutposition y, skrivas som: Wg = -mg(y-y0) = -DUg = -(U – U0) Väljer vi U0 = 0 för y0 = 0 (noll nivå) får vi ett uttryck för gravitationell potentiell energi Ug: Ug = mgy Den andra potentiella energifunktionen är fjäderns potentiella energi. På samma sätt som i fallet gravitation fås arbetet utförd av fjäderkraften från: Wsp = -½k(x2 - x02) = -DUsp = -(U – U0) Väljer vi x0 = 0 som fjäderns jämviktsavstånd samt dess potentiella energi U0 = 0, så blir uttrycket för fjäderns potentiella energi Usp, följande: Usp = ½kx2

8. Eller om man vill: Och för U0 = 0 och y0 = 0 U = mgy På samma sätt, för fjädern: För U0 = 0 och x0 = 0 U = kx2/2

9. Konservativa krafter och potentiella energifunktioner Nu när vi har lärt oss hur man tar fram den potentiella energin med hjälp av de konservativa krafterna Fc, kan vi lika gärna lära oss hur man gör det omvända. Dvs Hur ska de konservativa krafterna bestämmas om man har en känd potentiell energifunktion? Om vi använder oss av sambandet: dU = -Fc ds och håller oss till en dimension, dvs dU = -Fxdx, så blir kraften Fx: Fx = -dU/dx I tre dimensioner fås kraftvektorn F genom partiell derivering (för de som läst matte) av potentiella energifunktionen: F = -((dU/dx)i + (dU/dy)j + (dU/dz)k) = -U, =gradientvektor

10. Exempel En potentiell energi ges av funktionen U = 5x2y2 – 3xy2. Bestäm kraften som funktion av läge. Från dU = -dW = -Fds fås: F = -dU/ds Så kraftkompsanten i x-led Fx blir: Fx = -dU/dx = -10xy2 + 3y2 Och i y-led: Fy = -dU/dy = -10x2y + 6xy

11. Exempel En konservativ kraft Fx = 3x2 – 4x +5 N förflyttar ett objekt från läge x = 1 m till x = 3 m. bestäm ändringen i den potentiella energin. Ändringen i den potentiella energin ges av:

12. Gör det själv Ge den potentiella energifunktionen för kraften Fx = ax/(b2+x2)3/2. Anta att U(x) = 0 vid x = ∞

13. Energiprincipen Om vi utgår från att vi enbart har konservativa krafter så kan vi med hjälp av arbete-energi teoremet uttrycka nettoarbetet som Wnet = DK. Där DK är ändringen i objektet kinetiska energi. I och med de involverade krafterna är enbart konservativa kan vi skriva: Wnet = Wc = - DU = DK (Wc = av konservativ kraft utförd arbete)  DK + DU = 0 (i) Ersätter vi DK och DU med K-K0 och U-U0, kan relation (i) skrivas som: K + U = K0 + U0 (ii) Från relation (ii) drar man slutsatsen, att summan av den kinetiska energin K och den potentiella energin U är alltid konstant även U ock K ändras. Med andra ord Om U ökas så bör K minska för att hålla summan (U + K) konstant. Summan U + K kallas för den mekaniska energin och betecknas E. Från relation (i) får vi att: DE = 0, dvs E = E0 som leder oss till den mest viktiga och den mest använda och den m. m. principen i mekanik, nämligen: Mekaniskaenergiprincipen. Den mekaniska energi principen är endast tillämpar i de fall där inget netto arbete har utförts av dissipativa krafter

14. Exempel En vagn i berg och dalbana startar på 20 meter höjd för att sedan avsluta ett loop med radien 7 meter. Bestäm kraften som påverkar en 60 kg person när vagnen befinner sig högst upp i loopet. 20 m

15. Exempel En boll med massan m är kopplad till en tråd. Bollen rör sig vertikalt i en cirkulär bana. Visa att dragkraften i tråden vid botten av cirkeln är 6mg större än i toppen av cirkeln.

16. Exempel En pendel med längden 0.75 m har en tyngd på 0.6 kg. När tyngden befinner sig 30˚ relativt vertikalen har den en hastighet på 2 m/s. (a) Bestäm den maximala hastigheten hos pendeln. (b) bestäm tyngdens maximala vinkel relativ vertikalen.

17. Exempel En 500 kg låda släps från en höjd på 0.6 m ovanför en fjäder med fjäderkonstanten 120 N/m. Bestäm den maximala kompresionen hos fjädern.

18. Exempel En kloss med massa m = 1.5 kg börjar glida 1.2 m nerför ett friktionsfritt plan med lutningen 30˚ för att sedan komprimera en fjäder med fjäderkonstanten k = 24 N/m (se figur). (a) Betäm den maximala kompressionsläget om fjädern initialt befann sig i sin jämviktsläge. (b) Vad är hastigheten hos klossen när den befinner sig i slutet av lutningen 1.2 m 30˚

19. Gör det själv Två kroppar med massorna m1 = 5 kg och m2 = 3 kg hänger på en friktionsfri trissa enligt figuren. Bestäm farten för m1 då den har fallit 0.8 m. Utgå från att sytemet börjar i vila.Räkna med g = 10 m/s2. m1 m2

20. Mekaniska energin och dissipativa krafter Vi har hittills utgått från att arbetet endast utförts av konservativa krafter, men i det verkliga livet måste man ta hänsyn till dissipativa krafter såsom friktion och dragkraft. Inkluderar man både den konservativa Wc och dissipativa Wnc arbeten i arbete-energi teoremet, får vi: Wnet = Wc + Wnc = DK (i) Ersätter vi Wc med –DU blir (i) Wnc = DK + DU = K – K0 + U – U0 = E – E0 = DE (ii) (ii) är en modifierad version av energiprincipen i vilket arbetet från de dissipativa krafterna Wnc är lika med ändringen i systemets totala mekaniska energi DE.

21. Exempel En fallskärmshopperska som väger 75 kg hoppar från ett flygplan som befinner sig på 1 km höjd. Flygplanet har en hastighet på 140 km/h. Fallskärmshopperskan veklar ut sin 8 kg fallskärm omedelbart efter att hon hoppar. Hon landar senare med en vertikal hatighet på 7 m/s. Bestäm det av fallskärm utförda arbetet på luften.

22. Exempel Två lådor med massorna m1= 1.5 kg och m2 = 4.5 kg, hänger på var sin sida av en trissa (se figur). Låda m2 vilar på ett underlag med friktionskoefficienten mk = 0.1 och som har lutningen q = 50˚. Låda m1 hänger vertikalt och är kopplad till en fjäder (som sitter fast vid marken) med fjäderkonstanten k = 8 N/m. Systemet startar vid vila och med fjädern i sin jämviktsläge. Bestäm hastigheten på m2 då den har glidits 0.80 m. m1 m2 50˚.

23. Gravitationel potentiell energi och flykthastighet De två konservativa krafterna som har disskuterats hittills, var fjäderkraften samt gravitaionell kraft (nära jordens yta). Den senare antogs vara konstant vid närheten av jordens yta. Nu introducerar vi den tredje konservativa kraften som är den avståndberoende gravitaionskraften och tillämpas på fall där kraft påverkan sker på höga höjder i förhållande till jordens yta, dvs kraften ej kan antas vara konstant. Den kraften är en så kallad central kraft (riktad längs samma linje som binder två kroppar, exempelvis jorden och satelliten), den är dessutom sfärisk symmetrisk eftersom den beror endast av den radiella komponeneten. Vi ger denna kraftbeteckningen Fr. Från Newtons gravitaions lag har vi: Fr = -GmM/r2 Den konservativa arbetet utförd av gravitationskraften Fr vid förflyttningen från rA till rB, blir: Den potentiella energifunktionen för avståndberoende gravitationskraft blir: U(r) = -GmM/r

24. Den mekaniska energin för två interaktiva partiklar med massorna M och m kan fås om vi antar att M>>m (äpplet och jorden) och därför ändringen i kinetiska energi hos M är försumbar. Energin E blir: E = K + U = mv2/2 – GmM/r (i) Flykthastighet Flykthastighet vesc är den gränshastighet som en kropp vi jordens yta ska ha som starthastighet för att kunna färdas oändligt lång från jorden utan att dras tillbaka av jordens gravitaion. Med hjälp av relation (i) och antaganden att vid den minsta flykthastigheten har kroppen 0 mekanisk energi när den når flyktgränsen kan flykthastigheten bestämmas om vi utgår från energiprincipen E = E0 = 0 : vesc = (2GM/r)-1/2, där r och M är jordens radie resp. massa.

25. Exempel En raket som skjutits vertikalt har en hastighet på 5 km/s vid 2000 km höjd. Bestäm starthastigheten.

26. Exempel Bestäm den minsta nettoenergin som krävs för att flytta ett objekt med massan m = 1 kg från jorden yta till månens yta, samt vissa att den energin är ungefär dubbelt så stort som den energin som krävs för att få objektet i en sattelitbana runt jorden. Anta att gravitatinskonstanten för månen gm = 0.16gj, där gj är jorden gravitationskonstant gj = GMj/Rj2.

27. Gör det själv En kloss med massan m skjuts i väg med en hastighet v ett underlag med friktionskoefficienten m. Ge ett uttryck för den totala förflyttningen av klossen då (a) underlaget är horisontellt (b) underlaget lutar med vinkeln q och klossen rör sig uppför (c) underlaget lutar med vinkeln q och klossen rör sig nedför.