El càlcul mental

1. El càlcul mental Sant Jaume, febrer 2009 M. Luisa Girondo marialuisa.girondo@urv.cat

2. Què entenem per càlcul mental? Capacitat per donar un resultat de càlcul sense utilitzar algorismes escrits que operen xifra a xifra. Aquests resultats poden ser exactes o aproximats segons els nombres i operacions en joc.

3. Perquè és necessari el càlcul mental ? • Per ajudar a construir el “sentit numèric” • Per validar raonaments quantitatius exposats per altres. • Per validar de manera ràpida el càlcul electrònic. • Perquè el càlcul xifra a xifra cada vegada es fa servir menys!

4. Quan parlem de càlcul mental ens referim a càlcul numèric (sens context) o a càlcul en context (problemetes de càlcul mental) ? • A tots dos ! • Càlcul numèric . Ex. a) 42 :3 b) 15x15 c) 35x14 • Càlcul en context.(càlcul relacional més numèric) • Ex. a) Per cada dos alumnes hi ha tres carpetes. Quantes carpetes hi ha per als 24 alumnes? • b)Si de 17 € t’has gastat 7,50, quant et queda?

5. Per ajudar a l’aprenentatge del càlcul mental, caldria: -Plantejar l’aprenentatge del càlcul prioritzant el CM ( vol dir donar-li més importància a aquest que als algorismes !).En totes les ocasions quantitatives de l’aula intentar calcular mentalment. Llibres de text i tradició no ens ajuden! -Fer una bona gradació de dificultats, treballar primer els càlcul fàcils i aprendre a “partir” o descompondre els números per desfer dificultats. -Cada curs una mica de memorització i molta deducció. -Exigir la memorització de càlculs bàsics i control de zeros.

6. Altres principis - Cal que l’alumne “comprengui” el que fa. Implica doncs un plantejament comprensiu del treball matemàtic, no un plantejament mecanicista. Necessari per “assolir competència” -Cal mostrar(visualitzar),verbalitzar,practicar (de manera escrita o visual), apropiar-se de... diverses estratègies de càlcul. -Cal un treball continuat al llarg de la Primària Nivells clau: 2n,3r i 4t Al finalitzar 4t s’ha de dominar el càlcul amb naturals.Del 0 al 100 sempre CM ! Cicle Sup,. Decimals, fraccions i millorar càlcul de divisió!

7. Un bon domini de càlcul mental en la majoria des alumnes ( no només els especialment dotats) s’assolirà com a conseqüència d’un bon treball de l’àrea matemàtica. No és qüestió de practicar una sessió setmanal... De manera separada de la marxa normal de la classe ! Si els algorismes es presenten des d’un bon domini de càlcul mental, no presenten cap dificultat!

8. El càlcul bàsic. Tipologia Càlcul pensat ( o reflexiu) 34 + 17 34+20 -3 51 15x6 60+30 90 350-70 300-20 280 78 : 6 60:6 i 18 : 6 = 13 Càlcul aproximat (estimació) 236+478 500+200 700 67 x8 < 70x8 = 560 Automatitzat Nombres fàcils o importants 7+6 13- 6 25x4 100:4 5x4 3x6 12+12 17+3 C M Algorismes tradicionals Calculadora

9. Estratègies SUMA Sumes binàries a)Canviar l’ordre dels sumands 2+7 7+2 ( propietat commutativa) b)Descompondre el segon sumand 37 + 18-----37+(10+8) ------- 37+10+3+5 (segons interessi per passar per nombres coneguts) c)Descompondre els dos sumands 46+17--------(40+10)+(6+7) ( en general segons l’ordre de magnitud) d)Utilitzar nombres importants i compensar 27 + 48----------27+50-2 Sumes de diversos sumands e)Agrupar com convingui 30 +18+70+22-------- 30+70 + 18+22 ----140 ( propietat associativa)

10. Estratègies de càlcul mental 1) Sumes descomposant els dos sumands segons valor de posició 3 7 +4 5 70 12 82 3 0 0 • Derivada de: • El treball amb “cartronets” de valor de posició • La pràctica comprensiva de l’algorisme • Necessita • Agilitat en sumar desenes i desenes amb nombres de dues xifres. 2 0 5

11. Estratègies de càlcul amb nombres naturals 2) Sumes descomposant un sumand , “salts a la recta” 47 + 36 47 57 67 77 80 83 • Derivada de • Treball amb la recta numèrica • Treball en el quadre numèric • Necessita • Agilitat en aplicar la commutativitat • Visualització de la recta • Fer salts “llargs” per acortar les etapes

12. Estratègies de càlcul mental 3) Arrodonir i compensar ( Transformar a nombres coneguts i desfer la transformació) 66 + 53 70+53 123 - 4 119 70+50 120 -1 119 18 +19 15+20 +3-1 37 • Derivada de • Fer molta pràctica d’estimació ( arrodonir a nombres fàcils per donar resultats aproximats)

13. Estratègies RESTA • Descompondre el subtrahend 63-16------ 63-10-6--------63-10-3-3 • ( idea de resta com a “treure”) • b)Cercar el complement 26 +..........= 50 • (relació inversa suma-resta) • c)Transformar en resta equivalent 146 – 67 = • (146+3) – (67+3) = 149-70 • (idea de resta com a diferència! ) • d)Nombres importants i compensar 68 -27------- 68-30+3 • ( cal tenir àgils càlculs amb nombres importants!)

14. Estratègies de càlcul 5. Resta amb descomp de minuhend i subt. • 4 6 30 + 16 • 2 7 20 + 7 • 10 + 9 = 19 Pas previ a l’algorisme americà Cal saber fer la descomposició adequada Sembla que necessita suport escrit

15. Estratègies de càlcul 6.Restar descomposant el subtrahend ,compteig descendent 84 – 26 84 – 20 64 -4 60 -2 58 Idea de treure’n Salts a la línia numèrica

16. Estratègies de càlcul 7.Resta: cercar el complement. Comptar en sentit ascendent • 93-56 ? • +4 60 + 30 90 +3 93….30+4+3 • 37 • 56 + 40 96 - 3 93 ….. 40 -3 • 37

17. Estratègies de càlcul 8.Transformar 7 5…….. 7 8 - 3 7 +3 4 0 ... 3 8 Cal treballar aquesta propietat de la resta Fàcil amb la idea de “diferència”

18. estratègies per MULTIPLICAR a)Fer ús de les estratègies derivades de l’aprenentatge “comprensiu” de les taules x4 ------ x2 x2 x5 -----x10 : 2 x3------ x2+ número ................ i de les regles dels zeros finals 30x60 = 1800 b)Descompondre un dels factors 34 x12------ 340+ 34x2 c)Descompondre els dos factors 24x63 ------20x60+20x3+4x60+4x3 d)Nombres importants i compensar 36x18-----36x20-36x2----- 720-72 e)Estratègies específiques x5 ( fer la meitat i afegir un zero);x4 (fer el doble del doble); x50 (fer la meitat i afegir dos zeros);x25......

19. Estratègies de càlcul Productes 345x6 300 x6 = 1800 40 x6 = 240 5 x 6 = 30 2 070 Prepara o es deriva de la tècnica algorísmica

20. Càlcul mental Tècnica específica per a productes Quadrats de nombres de dues xifres acabats en cinc 3 5 x3 5 = 30x40 + 25 1200 + 25 1225 3x4

21. Estratègies per DIVIDIR a)Temptejar el quocient fent multiplicacions mentals (relació inversa producte-divisió) 82: 7 -------------- 7x10=70 ........ 77 ..... quocient 11 i 5 de residu b)Descompondre el dividend en múltiples del divisor 3 3 : 7 28:7 = 4 5:7= 0R5 ............ 4 R5 Idem nombres de tres xifres i divisor d’una xifra 357: 8 320:8 = 40 37:8 = 4R5 Finalment quocient 44 i residu 5

22. Estratègies de càlcul Divisions 357 : 8 320 : 8 = 40 37 :8 = 4 R 5 44 R 5

23. Divisions 634 : 26 260 : 26 = 10 260 : 26 = 10 520 :26 = 20 114 :26 = 4 R 10 24 R 10 Bon domini en trobar múltiples del divisor

24. Decisions a prendre com a Centre o com a cicle: • La prioritat o no del càlcul mental. Fins a quin punt ? • Quina seqüència càlcul mecanitzat-càlcul pensat? • Quins materials utilitzaren per a modelitzar els primers càlculs? • Quines formes de representació farem servir per ajudar a efectuar les descomposicions o en general les estratègies de càlcul? • Quan i com treballar els algorismes. (Esperar als nombres de tres xifres?) • Com integrarem el treball de càlcul en la resta del treball de matemàtiques? • Cal dedicar setmanalment un temps específic?

25. En síntesis, s’aconsella • Fer una gradacció-programació pròpia de l’escola i/o cicle • Treballar profundament amb nombres “baixos” fins al 100, fins al 1000.... • Fer aproximacions de decimals i de nombres grans. • Preparar bateries pròpies que portin el treball quinzenal a nivell mental a més del repàs per consolidar.

26. Com puc preparar una bateria de CM ? • A partir de 2n es poden fer de 10 preguntes. • Pregunta oral i resposta escrita per part de l’alumne. Fer un full estandarditzat de respostes. • Preguntes: • De numeració Ex. Escriu el nº que és tres més que 999 • De càlcul. Ex. a)6+7=.... 60+70 =.... 16070=.... • b)2x8 4x8 4x80 • Problemetes. Ex De les 36 pomes de la capsa la meitat estaven picades, quantes pomes estaven sanes? • Mesures: Quants paquets d’un quart de Quilo necessito comprar si volem un Kg i mig? • Relació amb als conceptes treballats aquella quinzena o repàs per consolidar.

27. Gràcies i molts èxits !