NOMBRES I CÀLCUL

1. NOMBRES I CÀLCUL ESO 4 2007-2008

2. Expressions compostes amb parèntesis. • Donada una expressió composta amb parèntesi, cal primer realitzar les operacions que hi ha dintre i substituir després aquesta part pel resultat de l’operació efectuada.

3. Expressions compostes sense parèntesis. • Donada una expressió composta, si no hi ha parèntesis, cal efectuar primer les potències, després els productes (i les divisions) i finalment les sumes (i les restes).

4. SOBRE NOMBRES NATURALS

5. Definició de les operacions internes. • La suma de dos o més números naturals considerada com una operació interna, consisteix en unir els elements de dos o més conjunts. • P.E: 5 + 8 = 13 • Cadascun dels nombres que sumem rep el nom de sumand i el resultat que obtenim suma. • L’algorisme de la suma (o procediment per a fer-la) es basa en el sistema decimal i implica sumar sempre unitats d’un mateix ordre. • La resta de dos nombres naturals considerada com una operació, consisteix en l’acció de treure elements d’un conjunt i tornar a comptar els elements que hi queden. • P.E: 9 - 5 = 4 • El nombre inicial d’elements rep el nom de minuend i el nombre d’elements que traiem rep el nom de subtrahend, el resultat rep el de resta o diferència. • L’algorisme de la resta o (procediment per a fer-la) es basa en el sistema decimal i sempre restem unitats del mateix ordre.

6. Definició de les operacions internes. • El producte o multiplicació de dos nombres naturals considerat com una operació interna, consisteix en l’acció en sumar el primer nombre amb ell mateix tantes vegades com els segon nombre indique (o viceversa). • P.E: 5 x 4 = 20 • Cadascun dels dos nombres que multipliquem rep el nom de factor i el resultat rep el de producte o multiplicació. • L’algorisme de la multiplicació (o procediment per a fer-la), es basa en la propietat del distributiva del producte respecte de la suma) • La divisió de dos nombres naturals considerada com una operació, consisteix en distribuir la quantitat que indica un nombre natural en tantes quantitats iguals com indique l’altre número natural. • Una divisió és exacta quan el residu és igual a zero i decimal quan el residu és diferent de zero. • En tota divisió s’acompleix la següent propietat: • D = d x q + r • L’algorisme de la divisió (o procediment per a fer-la) Consisteix en anar dividint successivament totes les unitat en ordre decreixent.

7. Propietats de dues operacions internes. • PROPIETATS DE LA SUMA • COMMUTATIVA: L’ordre dels sumands no afecta a la suma. • ASSOCIATIVA: Quan sumem més de dos sumands, l’ordre en que els agrupem per fer-la no afecta a la suma. • ELEMENT NEUTRE: Quan en una suma de dos nombres naturals un dels sumands és igual a zero, la suma és igual a l’altre sumand.

8. Propietats de dues operacions internes. • PROPIETATS DEL PRODUCTE • COMMUTATIVA: L’ordre dels factors no afecta al producte. • ASSOCIATIVA: Quan multipliquem més de dos factors, l’ordre en que els agrupem per fer-la no afecta al producte. • ELEMENT NEUTRE: Quan en un producte de dos nombres naturals un dels factors és igual a ú, el producte és igual a l’altre factor.

9. Propietats de dues operacions internes. • PROPIETAT DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTE RESPECTE DE LA SUMA: • El producte d’un nombre natural per una suma de nombres naturals és igual a la suma dels productes del factor per cada sumand.

10. Criteris de divisibilitat. • Criteri de divisibilitat per 2: Un nombre és divisible per 2 sii s’acaba amb la xifra 0 o amb xifra par. • Criteri de divisibilitat per 3: Un nombre és divisible per 3, quan la suma de les seus xifres és igual a un nombre que és múltiple de tres. • Criteri de divisibilitat per 5: Un nombre és divisible per 5 sii s’acaba amb les xifres 0 o 5. • Criteri de divisibilitat per 9: Un nombre és divisible per 9, quan la suma de les seus xifres és un nombre que és múltiple de 9. • Criteri de divisibilitat per 11: Un nombre és divisible per 11, quan la suma de les xifres que ocupen els llocs parells menys la suma de xifres que ocupen els llocs senars, és múltiple de 11

11. Descomposició factorial. • Tot nombre natural a, pot descompondre’s en un producte de factors que siguen nombres primers. • Fer aquest càlcul consisteix en fer la descomposició factorial del nombre a. • Per fer la descomposició factorial d’un nombre es divideix el nombre pel primer nombre primer pel que siga divisible, el quocient que resulte es torna a dividir pel primer nombre primer que el dividesca i així successivament fins trobar el quocient 1. El nombre donat, és igual al producte de tots els divisors utilitzats successivament • P.E. • 660 2  660 : 2 = 330 • 330 2  330 : 2 = 165 • 165 3  165 : 3 = 55 • 55 5  55 : 5 = 11 • 11 11  11 : 11 • 1 • 660 = 22 · 3 · 5 ·11

12. Càlcul del m.c.d. i m.c.m per factorització • Donats dos nombres naturals a, b entendrem: • m.c.d. (a,b) com el major dels divisors que siguen comuns a aquestos dos nombres i, • m.c.m. (a,b) com el menor dels múltiples que siguen comuns a aquestos dos nombres. • Per calcular el m.c.d. i/o el m.c.m de dos nombres naturals a, b: • Primer farem la descomposició factorial dels dos nombres, llavors: • m.c.d. (a,b) serà el producte dels factors comuns elevats al menor exponent i, • m.c.m. (a,b) serà el producte dels factors comuns i no comuns elevats al major exponent.

13. Càlcul del m.c.d. i m.c.m per factorització (exemple) • P.E. Calcular el m.c.d. i m.c.m. de 420, 275 i 1960 • Resolució: • 420 = 22 · 3 · 5 · 7 • 275 = 52 · 11 • 1960 = 23 · 72 · 5 • m.c.d. (420, 275, 1.960) = 5 • m.c.m. (420, 275, 1.960) = 23 · 3 · 52 · 72 · 11 = 323.400

14. SOBRE NOMBRES ENTERS

15. Definició de valor absolut. • El valor absolut o mòdul d’un nombre enter, és el nombre natural que resulta d’eliminar el signe del nombre enter. • Es representa escrivint el nombre natural entre dues barres verticals  • P.E: •  (+3)  = 3 •  (- 3)  = 3

16. Regles de la suma. • La suma és una operació interna en Z així definida: • a,b  Z a + b = r i r  Z. • Per tal de definir les regles de la suma hem d’atendre a: • El signe de cada sumand. • El valor absolut de cada sumand. • Suma de dos enters positius: La suma de dos enters positius, és igual a un altre enter positiu i amb valor absolut igual a la suma dels valors absoluts dels sumands. • (+a) + (+b) = +  a + b  • P.E: (+5) + (+3) = (+8)

17. Regles de la suma. • Suma de dos enters negatius: La suma de dos enters negatius, és igual a un altre enter negatiu amb valor absolut igual a la suma del valor absolut dels sumands. • (- a) + (- b) = (-  a + b  ) • P.E: (- 5) + (- 3) = (- 8)

18. Regles de la suma. • Suma d’un enter positiu i un enter negatiu: La suma d’un enter positiu i un enter negatiu, és igual a un altre enter amb el signe del sumand que major valor absolut tinga i amb valor absolut igual a la diferència dels valors absoluts dels sumands. • (+a) + (-b) = (+  a - b  ) si  a  >  b  • (+a) + (-b) = (-  b - a  ) si  a  <  b  • (- a) + (+b) = (-  a - b  ) si  a  >  b  • (- a) + (+b) = (+ b - a  ) si  a  <  b  • P.E: (+5) + (- 2) = 3 • (+5) + (- 7) = - 2 • (-5) + (+ 2) = -3 • (- 5) + (+ 7) = 2

19. Regles de la resta. • No està definida com una operació interna en Z. La raó és que una resta qualsevol de dos nombres enters la podem transformar en una suma, on el minuend es converteix en el primer sumand i, l’invers del subtrahend en el segon sumand, tot i aplicat després les regles que acabem de definir per la suma. • Així: • (+a) - (+b) = (+a) + (- b) • (- a) - (- b) = (- a) + (+ b) • (+a) - (- b) = (+a) + (+ b) • (- a) - (+b) = (- a) + (- b) • P.E: (+5) - (+3) = (+5) + (- 3) = 2 • (- 5) - (- 3) = (- 5) + (+3) = - 2 • (+5) - (- 3) = (+5) + (+3) = 8 • (- 5) - (+3) = (- 5) + (- 3) = - 8

20. Propietats de la suma. • PROPIETAT COMMUTATIVA • a,b  Z a + b = b + a • P.E: (+3) + (- 5) = (-5 ) + (+3) • - 2 = - 2 • PROPIETAT ASSOCIATIVA. • a,b,c  Z ( a + b ) + c = a + (b + c ) • ( (+3) + (- 5) ) + (- 4) = (+3) + ( (- 5) + (- 4) • (-2) + (- 4) = (+3) + (- 9) • - 6 = -6 • ELEMENT NEUTRE. • a  Z e  Z tal que a + e = a • P.E: (- 5) + 0 = - 5 • (+3) + 0 = 3 • ELEMENT SIMÈTRIC. • a  Z s  Z tal que a + s = e • P.E::(+5) + (- 5) = 0 • (- 3) + (+3) = 0

21. Regles del producte. • El producte és una operació interna en Z així definida: • a,b  Z a · b = r i r  Z. • Per tal de definir les regles del producte hem d’atendre a: • El signe de cada factor. • El valor absolut de cada factor. • Producte de dos enters positius: El producte de dos enters positius, és igual a un altre enter positiu i amb valor absolut igual al producte dels valors absoluts dels factors. • P.E: (+5) · (+3) = (+15)

22. Regles del producte. • Producte de dos enters negatius: El producte de dos enters negatius, és igual a un altre enter positiu amb valor absolut igual al producte del valor absolut dels factors. • (- a) · (- b) = (+  a · b  ) • P.E: (- 5) · (- 3) = (+15) • Producte d’un enter positiu i un enter negatiu: El producte d’un enter positiu i un enter negatiu, és igual a un altre enter amb el signe negatiu i amb valor absolut igual al producte dels valors absoluts dels factors. • (+a) · (-b) = (-  a · b  ) • (- a) · (+b) = (- a · b  ) • P.E: (+5) · (- 2) = - 10 • (-5) · (+ 2) = - 10

23. Regles de la divisió. • No està definida com una operació interna en Z. La raó és que la divisió d’enters no és sempre exacta. • Malgrat això cal recordar que en els casos on la divisió és exacta definim les mateixes regles que per al producte: • (+a) : (+b) = (+ a : b  ) • (- a) : (- b) = (+  a : b  ) • (+a) : (-b) = (-  a : b  ) • (- a) : (+b) = (- a : b  )

24. Propietats del producte. • PROPIETAT COMMUTATIVA • a,b  Z a · b = b · a • P.E: (+3) · (- 5) = (-5 ) · (+3) • - 15 = - 15 • PROPIETAT ASSOCIATIVA. • a,b,c  Z ( a · b ) · c = a · (b · c ) • P.E: ( (+3) · (- 5) ) · (- 4) = (+3) · ( (- 5) · (- 4)) • (-15) · (- 4) = (+3) · (+ 20) • +60 = +60 • ELEMENT NEUTRE. • a  Z e  Z tal que a · e = a • P.E: (- 5) · 1 = - 5 • (+3) · 1 = 3 • PROPIETAT DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTE RESPECTE DE LA SUMA. • a,b,c  Z a · ( b + c ) = a · b + a · c • P.E: 3 · ( 4 + (- 6) ) = 3 · 4 - 3 · 6 • 3 · (- 2) = 12 - 18 • - 6 = - 6

25. Signes i parèntesi. • Es tracta d’eliminar parèntesi d’algunes expressions sense utilitzar la tècnica 1. • Presentarem els casos més freqüents: • Amb signe positiu davant del parèntesi: Eliminarem el parèntesi respectant els signes que hi ha dintre. • a,b  Z + ( a - b ) = a - b • P.E: + ( 3 - 4 ) = 3 – 4 • Amb signe negatiu davant del parèntesi: Eliminarem el parèntesi tot invertint els signes que hi ha dintre. • a,b  Z - ( a - b ) = - a + b • P.E: - ( 3 + 4 ) = - 3 + 4

26. Factorització. • Es coneix també amb el nom de “treure factor comú” i no és res més que aplicar la propietat distributiva a les expressions on això siga possible. • 0a,b,c,d  Z , • a b + a c - a d = a ( b + c – d ) • - a b - a c + a d = - a ( b + c –d ) • P.E: - 2 · 3 - 2 · 5 + 2 · 4 = - 2 ( 3 + 5 - 4 ) • - 6 - 10 + 8 = - 2 ( 8 - 4 ) • - 16 + 8 = - 2 · 4 • - 8 = - 8 • 2 · 3 + 2 · 5 - 2 · 4 = 2 ( 3 + 5 - 4 • 6 + 10 - 8 = 2 ( 8 - 4 ) • 16 - 8 = 2 · 4 • 8 = 8

27. SOBRE FRACCIONS I NOMBRES RACIONALS

28. Suma i resta de nombres racionals. • Per tal de sumar i restar nombres racionals cal a tendre a : • Les regles de la suma i la resta de fraccions. • Les regles de la suma i la resta de nombres enters (Z). • La conjunció d’aquestes regles ens donarà les regles que busquem:

29. SUMA DE RACIONALS AMB EL MATEIX DENOMINADOR

30. RESTA DE RACIONALS AMB EL MATEIX DENOMINADOR. • Aquestes restes cal reconvertir-les (tal i com passava amb el conjunt Z) en sumes on el minuend es converteix en el primer sumand i l’invers del subtrahend es converteix en el segon sumand.

31. SUMA DE RACIONALS AMB DISTINTS DENOMINADORS • Aquestes sumes cal reconvertir-les en sumes de trencats equivalents que tinguen el mateix denominador.

32. RESTA DE RACIONALS AMB DISTINTS DENOMINADORS • Aquestes restes cal reconvertir-les primer en sumes de racionals, igual com fèiem en el conjunt Z. • Aplicarem després les regles de la suma de racionals amb distint denominador segons haja estat el resultat de la transformació.

33. Producte i divisió de nombres racionals. • Per tal de multiplicar i dividir nombres racionals cal a tendre a : • Les regles del producte i la divisió de fraccions. • Les regles del producte i la divisió de nombres enters (Z). • La conjunció d’aquestes regles ens donarà les regles que busquem:

34. Propietats de la suma i el producte de nombres racionals. • PROPIETAT COMMUTATIVA: DE LA SUMA • PROPIETAT ASSOCIATIVA DE LA SUMA

35. Propietats de la suma i el producte de nombres racionals. • ELEMENT NEUTRE DE LA SUMA • ELEMENT SIMÈTRIC. DE LA SUMA

36. Propietats de la suma i el producte de nombres racionals. • PROPIETAT COMMUTATIVA: DEL PRODUCTE • PROPIETAT ASSOCIATIVA DEL PRODUCTE

37. Propietats de la suma i el producte de nombres racionals. • ELEMENT NEUTRE. DEL PRODUCTE • ELEMENT INVERS DEL PRODUCTE

38. Propietats de la suma i el producte de nombres racionals. • ELEMENT ABSORVENT DEL PRODUCTE • PROPIETAT DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTE RESPECTE DE LA SUMA.

39. Amplificació/simplificació de nombres racionals • AMPLIFICACIÓ DE NOMBRES RACIONALS: • Per tal d’amplificar racionals només cal multiplicar el numerador i el denominador pel mateix nombre. • L’amplificació de nombres racionals és infinita, ja que sempre podem multiplicar per un nombre més gran que el que havíem utilitzat anteriorment. • SIMPLIFICACIÓ DE NOMBRES RACIONALS • Per simplificar nombres racionals només cal dividir el numerador i el denominador pel mateix nombre. • La simplificació de nombres racionals és finita. Recordem que un nombre racional, és un representat de la classe d’equivalència a la que pertany. • Per trobar el representant canònic de la classe d’equivalència a la que pertany un nombre racional cal dividir el numerador i el denominador pel m.c.d. d’aquestos dos nombres.

40. Comparar nombres racionals. • Dos nombres racionals a/b i c/d són iguals sii pertanyen a la mateixa classe d’equivalència: •  a/b, c/d  Q sii a · d = b · c • Donats dos nombres racionals a/b i -c/d el nombre positiu sempre és major. • a/b, -c/d  Q • Donats dos nombres racionals de denominador igual, és mes gran el nombre racional que té el numerador amb major valor absolut. • a/b, c/b  Q sii І a І > І b І • Donats dos nombres racionals de distint denominador és més gran el nombre racional que en calcular les seues raons i comparar els resultats siga major. (Veure noció • a/b, c/d  Q sii , i, m > n

41. Escriure nombres racionals en forma decimal. • Per tal de poder escriure un nombre racional en forma de nombre decimal, només cal dividir el numerador pel denominador. • a/b  Q • P.E. Escriurem en forma decimal • 3 : 4 = 0,75 i per tant

42. Escriure la fracció generadora d’un nombre decimal. • Per calcular la fracció generadora d’un nombre decimal limitat: només cal escriure una fracció amb numerador igual al nombre decimal sense coma i, amb denominador igual a la unitat seguida de tants zeros com xifres decimals tenia el nombre. • P.E: Calcularem la fracció generadora de 3,268

43. Escriure la fracció generadora d’un nombre decimal. • Per calcular la fracció generadors d’un nombre decimal periòdic pur: Cal buscar un trencat amb numerador igual al nombre decimal sense coma menys la part entera i, amb denominador igual a un nombre format per tants nous com xifres té el període. • P.E: Calcula la fracció generadora de 26,45454545……… • 2645 - 26 = 2619

44. Escriure la fracció generadora d’un nombre decimal. • Per calcular la fracció generadors d’un nombre decimal periòdic mixt: Cal buscar un trencat seguint els passos següents: • Multiplicar el periòdic pur per la potència de 10 necessària per convertir- lo en un nombre decimal periòdic pur. • b. Calcular la fracció generadora del nombre decimal periòdic pur resultant. • c. Dividir el denominador de la fracció resultant per la potència de 10 per la que havíem multiplicat abans el nombre decimal. • P.E. Calcular la fracció generadora de 12,35555…….. • a. 12,35555…. · 10 = 123,5555…… • b. 1235 - 123 = 1112 • c. 9 · 10 = 90

45. Càlcul d’un terme d’una proporció. • CÀLCUL D’UN EXTREM: • Siga x el terme desconegut: • P.E. Calcularem la quarta proporcional a 5, 4 i 2

46. Càlcul d’un terme d’una proporció. • CÀLCUL D’UNA MITJANA • Siga x el terme desconegut: • P.E. Calcula el terme desconegut en la proporció

47. Càlcul d’un terme d’una proporció. • SI ELS DOS MITJANS D’UNA PROPORCIÓ SON IGUALS AQUESTA REP EL NOM DE CONTINUA. • En aquest cas tenim: • P.E. Calcularem la mitjana proporcional entre 24 i 6

48. Regla de tres simple • Es tracta d’aplicar les proporcions i els càlculs que hem vist a la resolució de problemes on apareixen dues magnituds amb tres quantitats i hem de calcular la quarta quantitat . • La regla de tres simple és directa, si per solucionar el problema podem muntar una proporció on les magnituds que utilitzem són directament proporcionals. • La regla de tres simple és inversa, si per solucionar el problema podem muntar una proporció on les magnituds que utilitzem són inversament proporcionals. • Per tal de resoldre problemes aplicant la regla de tres es segueixen aquestos passos: • Es determinen les magnituds que hi intervenen. • Es determinen les quantitats de cada magnitud i la seua correspondència. • Es determina el tipus de proporcionalitat (directa o inversa) que hi ha entre les magnituds. • Es calcula el terme que hi manca en la proporció.

49. Regla de tres simple • P.E: • * Si en 3 bidons d’oli caben 36 litres Quants en caben en 5 bidons? • * Si tres aixetes omplin una piscina en 24 hores. Quant tardarien en omplir-la si hi hagueren 8 aixetes funcionant al mateix ritme?

50. Regla de tres composta. • Es tracta d’aplicar les proporcions i els càlculs que hem vist a la resolució de problemes on apareixen més de dues magnituds i respecte d’alguna de les magnituds coneixem tres quantitats i hem de calcular la quarta quantitat. • En aquest cas la raó en la que no apareix la incògnita és un producte de raons d’altres magnituds. • Per tal de solucionar un problema que implique regla de tres composta cal seguir els passos següents: • Determinar les magnituds que hi intervenen. • Determinar les quantitats de cada magnitud i la seua correspondència. • Es determina el tipus de proporcionalitat (directa o inversa) que cadascuna de les magnituds té respecte de la incògnita. • S’escriuen les raons corresponents segons siga la proporcionalitat (directa o inversa). • La raó de la magnitud a la que pertany la incògnita al producte de les demés raons. • Se calcula el terme que falta en la proporció.