1 / 20

Grundlæggende teoretisk statistik

Grundlæggende teoretisk statistik. Kapitel D Stokastiske variable. Stokastiske variable. Stokastisk variabel Knytter en talværdi til ethvert udfald i et tilfældigt eksperiment Sandsynligheder knyttes til værdierne af den stokastiske variable Diskrete vs. kontinuerte stokastiske variable

fynn
Download Presentation

Grundlæggende teoretisk statistik

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Grundlæggende teoretisk statistik Kapitel D Stokastiske variable

  2. Stokastiske variable • Stokastisk variabel • Knytter en talværdi til ethvert udfald i et tilfældigt eksperiment • Sandsynligheder knyttes til værdierne af den stokastiske variable • Diskrete vs. kontinuerte stokastiske variable • Diskrete kan antage nogle bestemte værdier, f.eks. Antal fødte børn en given dag på en given barselsgang. • Kontinuerte kan antage et uendeligt antal værdier, d.v.s. alle værdier evt. i et givet interval, f.eks. den tid som fødslerne ovenfor varede.

  3. Diskrete stokastiske variable • Diskrete stokastiske variable • Sandsynligheder knyttes til værdierne af den stokastiske variable • Punktsandsynligheder • f(x) = P(X = x) • 0 ≤ f(x) ≤ 1 for alle x • Σ f(x) = 1 for alle x • Fordelingsfunktion, F • F(x0) = P( X ≤ x0) = Σ f(x) hvor x ≤ x0

  4. Forventning og varians • Begrebsapparat • μ= Gennemsnit på X i populationen • σ2 = Variansen i populationen • σ= Standardafvigelsen i populationen • = gennemsnit. - stikprøven • s2 = Empirisk varians – (stikprøven) • s= Empirisk standardafvigelse – (stikprøven) • Forventet værdi: μx = E(X) = Σ x f(x) • σ2 = VAR (X) = Σ (x – μ)2f(x) Populations-parametre / Statistikker (stikprøven)

  5. 55 indkøb – grupperede data Den relative frekvens

  6. Forventning og varians • Regneregler for forventning og varians • σ2 = VAR (X) = E(X2) – E2 (X) = E(X2) – μ2 • E(a X) = a E(X) • E(X + a) = E(X) + a • E(X + Y) = E(X) + E(Y) = μx + μy • E(X - Y) = E(X) - E(Y) = μx – μy • VAR (a X) = a2 VAR (X) • VAR (X + a) = VAR (X) • VAR(X±Y) = VAR(X) + VAR(Y) hvis X og Y er uafhængige

  7. Forventning – et eksempel • Opgave: • En privat pilot ønsker at forsikre sit fly til en værdi af 2 mio. kr. • Forsikringsselskabet forventer tab med flg. sandsynligheder: • total tab med sandsynlighed 0.002 • 50% tab med sandsynlighed 0.01 • 25% tab med sandsynlighed 0.1 • 1. Hvad er det forventede tab i kroner ? • 2. Hvilken samlet præmie skal betales, • hvis forsikringsselskabet ønsker et forventet profit på 3000 kr ?

  8. Samvariation mellem variable • Covarians og korrellation • Populationens covarians: • Stikprøvens covarians: • Hvis X og Y samvarierer positivt er COV(X,Y)>0 • Hvis X og Y samvarierer negativt er COV(X,Y)<0 • Hvis X og Y er uafhængige er COV(X,Y) = 0

  9. Covarians - fortolkning • Covariansen mellem X og Y udtrykker, hvilken indflydelse X og Y har på hinanden, altså i hvilken grad de 2 variable samvarierer. • Begge variable skal være målt på mindst intervalskala • Eksempler: Covariansen mellem • X = salg af cykler og Y = cykelpumper er positivt. • X = købte charterrejser i maj og Y = solskinsdage i maj er negativt. • X = Aktiekursen på GN Store Nord og Y = OMXC20-indexet • Covarians er en absolut størrelse, der ikke kan fortolkes – se blot på enheden af covariansen!

  10. Covarians - definition • Definition og regneregler

  11. Excel: Beregn covarians I vektor 1 og 2 angives x- og y-værdierne

  12. Eksempel:Finanstilsynet - covariansmatricer

  13. Finansministeriet: Beregning af varians- og covariansmatrix for valutakursændringer Til brug for finansielle virksomheders indberetning af valutaindikator 2 skal virksomhederne beregne et skøn over spredningen på nettopositionernes kroneværdi. Dette skøn baseres på historiske varianser og covarianser mellem ændringen i 8 valutaer. Finanstilsynet beregner varianser og covarianser, hvorefter de via tilsynets hjemmeside stilles til rådighed for de finansielle virksomheder. Kvartalsvis beregnes varianser og covarianser over en 36 måneders periode. Kvartalerne er forskudt i forhold til kalender-kvartalerne, således at første kvartal vedrører december til februar, mens andet kvartal vedrører marts til maj osv. Der beregnes fire sæt varianser og covarianser i løbet af et kalenderår.

  14. Eksempel: Nationalbanken

  15. Portefølje - styring • Praktisk eksempel • Investering i 4 aktier • Investeringssum på 100.000 US$ • Hvor meget skal investeres i hver aktie – dvs. vægtning? • Regneark: • Invest.xls (mdl. afkast på 4 aktier i 4 år) • Sammensæt porteføjlen så forventet afkast og risiko (std.afvigelse) afbalanceres.

  16. Portefølje-styring • Vægtning 25% til hver aktie giver • Forventet afkast 2,69% pr. md. • Std.afvigelse på afkastet på 4,03% • Vægtning 10%, 40%, 30% og 20% giver • Forventet afkast 2,29% pr. md. • Std.afvigelse på afkastet på 4,23% • Vægtning 70% samt 3 x 10% giver • Forventet afkast 3,78% pr. md. • Std.afvigelse på afkastet på 7,05% • Vægtning 30%, 15%, 20% og 35% giver • Forventet afkast 2,85% pr. md. • Std.afvigelse på afkastet på 4,13%

  17. Korrellation • Måleskala: Mindst interval for begge variable • Korrellationskoefficienten (græske bogstav rho): • Korrellationskoefficienten er den standardiserede covarians, og derfor uden enhedsangivelse • Korrellationskoefficienten måler styrken og retningen af den lineære samvariation mellem X og Y

  18. Korrellation ρxy= +1 ρxy= -1 ρxy= 0 ρxy= 0

  19. Excel: Korrellationskoefficient I vektor 1 og 2 angives x- og y-værdierne

  20. Opgaver • Opgavesamling i Statistik 2009 fra Statistica: • Opgave 18 (+ evt. 21) • Kovarians og korrellation : • Opgave 67_data.xls • Lav X-Y diagram i Excel • Beregn Kovarians og Korrellationskoefficient

More Related