Függvények típusai

1. Függvények típusai

2. Függvény Az olyan hozzárendelést, ahol egy nem üres halmaz minden egyes eleméhez hozzárendelünk egy szintén nem üres halmaz egy, de csakis egy elemét, függvénynek nevezzük. Azt a halmazt, amelynek az elemeihez a másik halmaz egy-egy elemét rendeljük, a függvény értelmezési tartományának nevezzük. Jelölése: D (pl. jelentése: az ƒ-fel jelölt függvény értelmezési tartománya) Az értelmezési tartomány elemeihez rendelt elemek halmazát a függvény értékkészletének nevezzük. Jelölés: R (pl. jelentése: az ƒ-fel jelölt függvény értékkészlete) Minden olyan halmazt, amelynek részhalmaza egy függvény értékkészlete, a függvény képhalmazának nevezzük.

3. Függvény megadása Egy függvényt akkor tekintünk adottnak, ha ismerjük az • értelmezési tartományát • egy képhalmazát (lehetőleg az értékkészletét) • azt az utasítást, amely megmondja, hogy az értelmezési • tartomány elemeihez milyen módon rendeljük hozzá az • értékkészlet elemeit.

4. -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 A függvény megadása leggyakrabban történhet: a) értéktáblázattal: x -2 +3 +4 -1 0 +1 +2 -3 f(x) 1 4 9 9 4 1 0 25 b) nyíldiagrammal: c) képlettel: ƒ: R→Rx 2x + 1 ƒ: R→Rƒ(x) 2x + 1 ƒ: R→Ry = 2x + 1

5. A függvény megadása történhet még: • grafikonnal, • utasítással, körülírással, • különböző formulákkal.

6. Függvénytípusok • konstans függvény Lineáris függvények: • elsőfokú függvény Nem lineáris függvények: • másodfokú függvény (parabola) • négyzetgyök-függvény • abszolútérték függvény • 1/x függvény (hiperbola) • exponenciális függvény • logaritmus függvény • trigonometrikus függvények

7. A lineáris függvény Azfmatematikai függvényt lineáris függvénynek nevezzük, ha az nulladfokú, vagy elsőfokú. A hozzárendelés szabálya a következő alakban adható meg: Ha a értéke 0, akkor konstans függvényről beszélünk, és a grafikonja párhuzamos lesz az x tengellyel. Minden más esetben metszi azt. A „lineáris” szó arra utal, hogy a függvény grafikonja egyenes. (Nem lehet párhuzamos az y tengellyel!!!)

8. f : Például: minden f(x) képelem 4-gyel egyenlő a következő függvényben: A konstans függvény Azf matematikai függvényt konstans függvénynek nevezzük, ha az értelmezési taromány minden elméhez az értékkészletnek ugyanazt az elemét rendeljük hozzá. Szokás nulladfokú függvénynek is nevezni. A függvény grafikonja ekkor az xtengellyel párhuzamos egyenes.

9. f : Az elsőfokú függvény Például: Egy a valós számok halmazán értelmezett ƒ függvény elsőfokú, ha van olyan a,b R , a≠0, hogy: Az „elsőfokú” elnevezés azt jelzi, hogy az x változó az első hatványon fordul elő.

10. A másodfokú függvény Egy a valós számok halmazán értelmezett f függvény másodfokú, ha van olyan a,b,c R, a≠0, hogy: x -2 +3 +4 -1 0 +1 +2 -3 f(x) 1 4 9 9 4 1 0 25 A függvény képe parabola.

11. A négyzetgyök-függvény y Egy a nem negatív valós számok halamazán értelmezett ƒfüggvény négyzetgyök-függvény, ha A függvény képe egy félparabola. x

12. Abszolút érték függvény Egy a valós számok halmazán értelmezett f függvényt abszolútérték függvénynek nevezzük, ha A függvény képe egy „v” alakban megtört egyenes. Az értékkészletben a képhalmaznak csak a pozitív elemei, illetve a 0 szerepelnek.

13. Az 1/x függvény Az f függvényt reciprok illetve 1/x függvénynek nevezzük, ha a függvény hozzárendelése a következő: f : A függvény képe hiperbola. A tengelyeket nem éri el sehol!

14. Az exponenciális függvény Legyen adott a>0, a≠1 valós szám. Egy a valós számok halmazán értelmezett szigorúan monoton ƒ függvényt a-alapú exponenciális függvénynek nevezünk, ha minden x racionális szám esetén. A grafikon az y-tengelyt a (0;1) pontban metszi.

15. A logaritmus függvény Legyen adott a>0, a≠1 valós szám. Azt a valós számok halmazán értelmezett ƒ függvényt, amely az a-alapú exponenciális függvény inverz függvénye a-alapú logaritmus függvénynek nevezzük, és módon jelöljük. A grafikon az x-tengelyt az (1;0) pontban metszi.

16. Trigonometrikus függvények Azt a valós számok halmazán értelmezett ƒ függvényt, amely minden valós számhoz az ugynennyi radián ívmértékű szög sinusát rendeli sinusfüggvénynek nevezzük, és ƒ(x)=sin x módon jelöljük. Azt a valós számok halmazán értelmezett ƒ függvényt, amely minden valós számhoz az ugyanennyi radián ívmértékű szög cosinusát rendeli cosinusfüggvénynek nevezzük, és ƒ(x)=cos x módon jelöljük.

17. Trigonometrikus függvények Azt a intervallumon értelmezett ƒ függvényt, amely minden valós számhoz az ugyanannyi radián ívmértékű szög tangensét rendeli, tangensfüggvénynek nevezzük, és ƒ(x)=tg x módon jelöljük. Azt a intervallumon értelmezett ƒ függvényt, amely minden valós számhoz az ugyanannyi radián ívmértékű szög kotangensét rendeli kotangensfüggvényneknevezzük, és ƒ(x)=ctg x módon jelöljük.

18. 3D függvények Térben elhelyezkedő függvények, jelenleg felsőfokú anyag!