Download
1 / 43
1.16k likes | 2.2k Views
EIIb-Sistemas Hiperestáticos del Curso 01 de Estabilidad IIb (64.12) de las Carreras de IngenierÃa Mecánica y Naval y Mecánica – FIUBA
E N D
Ing. Gabriel Pujol Año de edición 2016 Sistemas Hiperestáticos Complemento Teórico de la Guía de Trabajos Prácticos El presente trabajo es un sumario de conceptos teóricos de la materia Estabilidad IIb (64.12) correspondiente a las carreras de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica.
Sistemas Hiperestáticos (Complemento Teórico) Tabla de contenido SISTEMAS HIPERESTÁTICOS: MÉTODO DE LAS FUERZAS 3 INTRODUCCIÓN DETERMINACIÓN DEL GRADO DE HIPERESTATICIDAD DE LA ESTRUCTURA (GE) DETERMINACIÓN DEL SISTEMA FUNDAMENTAL DETERMINACIÓN DE SOLICITACIONES EN EL SISTEMA FUNDAMENTAL PLANTEO DE LAS ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD DE LAS DEFORMACIONES RESOLUCIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES CÁLCULO DE SOLICITACIONES EFECTO DE LA VARIACIÓN DE TEMPERATURA EFECTO DE ASENTAMIENTO O DESPLAZAMIENTO DE APOYOS 3 3 4 4 6 8 8 8 8 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS: MÉTODO DE LAS DEFORMACIONES 19 INTRODUCCIÓN ANEXO A:BARRA ARTICULADA-ARTICULADA CON ACCIONES EN LOS NUDOS. ANEXO B:ECUACIONES DE RIGIDEZ PARA ELEMENTOS CON FUERZA AXIAL 19 34 38 BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA 40 Estabilidad IIB – 64.12 hoja 1 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Sistemas Hiperestáticos (Complemento Teórico) Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 2 Estabilidad IIB – 64.12
Sistemas Hiperestáticos (Complemento Teórico) Sistemas Hiperestáticos: MÉTODO DE LAS FUERZAS Introducción Su aplicación es general; pero solamente lo estudiaremos en estructuras planas formadas por barras. Se considera además, que para éstas es válida la ley de Hooke, esto es, existe proporcionalidad entre las tensiones y las deformaciones. Determinación del Grado de Hiperestaticidad de la estructura (Ge) Analicemos una estructura sometida a un determinado estado de carga, y en ella planteamos el esquema de cuerpo libre: De acuerdo a si el cuerpo está en el plano o en el espacio (3 en el plano y 6 en el espacio) queda determinado un número de ecuaciones definidas por la Estática (E) y un número de incógnitas a calcular (I): •Si el número de incógnitas, (I), es menor que el número de ecuaciones, (E), la estructura es inestable, es un mecanismo o sistema hipostático. Constituye un sistema incompatible. •Si el número de incógnitas, (I), es igual al número de ecuaciones, (E), la estructura es estáticamente determinada, un mecanismo o sistema isostática. •Si el número de incógnitas, (I), es mayor que el número de ecuaciones, (E), la estructura es estáticamente indeterminada, es un mecanismo o sistema hiperestático. El número o cantidad de incógnitas (I), o vínculos que se deben eliminar para que el sistema “hiperestático” se convierta en isostático se denomina “Grado de Hiperestaticidad”o “Grado de Indeterminación Estática” de la estructura: I Ge E En un sistema donde se tiene mayor número de I que de E se pueden fijar arbitrariamente valores a las incógnitas y resolver el sistema de ecuaciones. En dicho caso existen infinitas soluciones, que satisfacen las ecuaciones de equilibrio de la Estática, pero existe un único juego de valores de todas las incógnitas, que satisface condiciones basadas en el comportamiento elástico de la estructura. Estabilidad IIB – 64.12 hoja 3 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Sistemas Hiperestáticos (Complemento Teórico) Determinación del Sistema Fundamental La idea fundamental es la siguiente: se hace desaparecer la causa de la indeterminación estática y se obtiene un sistema isostático fundamental o principal. El sistema fundamental no cumplirá las condiciones impuestas al sistema hiperestático, por esta razón, para hacer que dichas condiciones se cumplan, han de aplicársele fuerzas o momentos que constituyen las incógnitas hiperestáticas. Las condiciones suprimidas pueden pertenecer a la sustentación o ser condiciones internas del sistema. El sistema fundamental se obtiene a partir de la estructura hiperestática planteada, reemplazando Ge vínculos, por las acciones que los mismos introducen. Dichas acciones pasan a ser cargas externas sobre el fundamental. Para la misma estructura existen varios sistemas fundamentales posibles. El sistema fundamental más conveniente será aquel en el cual los diagramas debidos a las incógnitas y a las cargas exteriores resulten simples y donde haya la menor cantidad posible de coeficientes δij suplementarios, distintos de cero. Las solicitaciones y desplazamientos en el sistema fundamental bajo la acción de las cargas exteriores y de las incógnitas hiperestáticas actuando conjuntamente, son iguales a las solicitaciones y deformaciones en la estructura hiperestática planteada, bajo la acción de las cargas exteriores. Determinación de solicitaciones en el Sistema Fundamental Si se aplicaran al sistema fundamental las incógnitas hiperestáticas y el estado de cargas inicial, obtendríamos para una sección genérica C las solicitaciones correspondientes. Los momentos flectores en C son: ; ; ; M M M M 0 1 2 3 C C C C Luego, por el principio de superposición de efectos el momento flector total en la sección C de la estructura hiperestática original vale: Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 4 Estabilidad IIB – 64.12
Sistemas Hiperestáticos (Complemento Teórico) M M M M M 0 1 2 3 C C C C C Pero se desconocen los valores verdaderos de X1, X2 y X3; luego, no pueden obtenerse M1C, M2C ni M3C. Sin embargo, la forma del diagrama de solicitaciones es única para cualquier valor de la carga que lo produzca. Así por ejemplo los diagramas de momentos de un par de 1 tm y el de 5 tm son idénticos, sólo varía la escala de referencia de los mismos. Siguiendo el razonamiento, puede escribirse: C M X M 1 1 1 C en la cual: •X1 - valor (adimensional) de la incógnita hiperestática verdadera. •M’1C - valor del momento flector en C originado por una carga unitaria en el punto de actuación de la incógnita X1. La expresión del momento en C en la estructura hiperestática será: M M C 2 3 X M X M X M 0 1 1 2 3 C C C C y en general: n i i M M X M 0 C i 1 Por lo tanto, deben calcularse las solicitaciones en el sistema fundamental para las cargas exteriores y para cargas unitarias actuando en los puntos de aplicación de las incógnitas hiperestáticas. Estabilidad IIB – 64.12 hoja 5 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Sistemas Hiperestáticos (Complemento Teórico) Planteo de las ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones Hay que plantear tantas ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones como incógnitas hiperestáticas existan. Si en las secciones de la estructura hiperestática donde se consideraron las incógnitas hiperestáticas (X1, X2 y X3) los enlaces son rígidos, el desplazamiento relativo de dichas secciones es nulo. Por lo tanto, en el sistema fundamental la suma de los desplazamientos en las secciones en cuestión, originados por las cargas exteriores y las incógnitas hiperestáticas actuando conjuntamente, debe ser nula. 0 11 1 10 X A 0 X X 2 12 3 13 dónde: •δ’A - desplazamiento relativo entre las secciones en el punto de aplicación de la incógnita hiperestática X1, en la estructura fundamental. •δ10 - desplazamiento que sufre el punto de aplicación de la incógnita X1 en la estructura fundamental en la dirección y sentido de esta fuerza, originado por las cargas exteriores. •X1 - verdadero valor de la incógnita hiperestática 1 (adimensional). •δ11 - desplazamiento que sufre el punto de aplicación de la incógnita X1 en la estructura fundamental en la dirección y sentido de esta fuerza, originado por un valor unitario de X1 actuando en A. •X2 - verdadero valor de la incógnita hiperestática 2 (adimensional). •δ12 - desplazamiento que sufre el punto de aplicación de la incógnita X1 en la estructura fundamental en la dirección y sentido de esta fuerza, originado por un valor unitario de X2. Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 6 Estabilidad IIB – 64.12
Sistemas Hiperestáticos (Complemento Teórico) •(etc.) En general, •δij - desplazamiento del punto de aplicación de la incógnita hiperestática Xi en la estructura fundamental, en la dirección y sentido de esta fuerza, por acción de Xj = 1 [t o tm]. Los valores de las incógnitas hiperestáticas quedarán determinados por la condición de volver a llevar los puntos que se han liberado al encuentro de los enlaces preexistentes. La expresión de los desplazamientos δ’ij la obtenemos aplicando el Principio de los Trabajos Virtuales: M M i ij t dl ó t m E I dónde: •M - momentos finales en la estructura fundamental (iguales a los momentos verdaderos en la estructura hiperestática). •M’i - momentos en la estructura fundamental originados por X1 = 1 [t] ó [tm] Sustituyendo el valor de M e igualando a cero: I E I E 1 E 1 E 1 2 M M M M M M M 0 3 0 1 2 dl X dl X dl X dl 1 2 3 M E I E I I I 2 2 1 2 2 2 M M M M M M 0 3 E 0 dl X dl X dl X dl 1 2 3 M E I I 3 1 E 3 E 3 2 M M M M M M 0 2 3 0 dl X dl X dl X dl 1 2 3 E I I I E I que puede escribirse: 0 X X X 10 1 11 2 12 3 13 0 X X X 20 1 21 2 22 3 23 0 X X X 30 1 31 2 32 3 33 Sistema de n ecuaciones, no homogéneo, con n incógnitas, que puede representarse de la siguiente forma: 0 X F T dónde: •F representa la matriz de coeficientes del sistema, o matriz de flexibilidad, ya que sus términos miden deformaciones de la estructura bajo la acción de cargas unitarias. •X representa la matriz columna de las incógnitas hiperestáticas X •T representa la matriz columna de los términos independientes. Estabilidad IIB – 64.12 hoja 7 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Sistemas Hiperestáticos (Complemento Teórico) X 10 1 11 12 13 ; ; F X X T 21 22 23 2 20 X 31 32 33 3 30 Por el teorema de Maxwell se tiene δij= δji por lo que la matriz de coeficientes es simétrica respecto a la diagonal principal. Resolución del Sistema de Ecuaciones Resuelto el sistema obtenemos los valores de las incógnitas hiperestáticas (X1, X2 y X3). Cálculo de Solicitaciones El sistema fundamental se obtiene a partir de la estructura hiperestática planteada, reemplazando los Ge vínculos, por las acciones que los mismos introducen y resolviéndolo como un sistema isostático. Efecto de la Variación de Temperatura En el cálculo de pórticos con "n" grados de hiperestaticidad ante la acción de la temperatura, el esquema de cálculo no varía, solamente se reemplazan en las ecuaciones de compatibilidad, los miembros de carga iP por los miembros libres iT. ...... 23 3 22 2 21 1 2 T X X X ...... 0 X X X X 1 1 11 2 12 3 13 1 T n n .......... 0 X 2 n n .......... .......... X .......... .......... .......... X .......... .......... . ...... 0 X X 1 1 2 2 3 3 n T n n n n nn La magnitud iT viene a ser el desplazamiento de puntos del sistema principal, en los cuales se aplica la fuerza Xi en la dirección Xi, debido a la acción de la temperatura. Estos coeficientes iT se determinan por la fórmula 3.9. T L T i dónde L = longitud del elemento y T = variación de temperatura. Los diagramas finales de fuerzas internas se determinan por las siguientes expresiones, siendo MP = 0, QP = 0 y NP = 0. P Q X Q X Q X Q Q ...... 3 3 2 2 1 1 ...... M M X M X M X M X M 1 1 2 2 3 3 n n X Q P n n N ...... N N X N X N X N X 1 1 2 2 3 3 P n n Efecto de asentamiento o desplazamiento de apoyos En el cálculo de pórticos con "n" grados de hiperestaticidad ante el posible asentamiento o desplazamiento de los apoyos, su esquema de cálculo tampoco varía. En el sistema de ecuaciones canónicas 3.3, los miembros de carga iP se reemplazan por los miembros libres iC. La magnitud iC Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 8 Estabilidad IIB – 64.12
Sistemas Hiperestáticos (Complemento Teórico) viene a ser el desplazamiento de puntos del sistema principal, en los cuales se aplica la fuerza Xi en la dirección Xi, debido al asentamiento o desplazamiento de apoyos del sistema principal. Los diagramas finales de fuerzas internas se determinan por las siguientes expresiones, siendo MP = 0, QP = 0 y NP = 0. P Q X Q X Q X Q Q ...... 3 3 2 2 1 1 ...... M M X M X M X M X M 1 1 2 2 3 3 n n X Q P n n N ...... N N X N X N X N X 1 1 2 2 3 3 P n n Para calcular los desplazamientos iC del sistema principal, se dan tales desplazamientos del sistema inicial, que corresponden a las conexiones en los apoyos del sistema principal, conservando su dirección o sentido, dependiendo que sea fuerza o momento (figura b, c, d). Como ejemplo, mostramos la forma de las ecuaciones canónicas del método de las fuerzas para las variantes del sistema principal mostradas en la figura b, c, d. Sistema principal de la figura b: 1 1 X C C X X C 11 2 12 5 C X 2 1 21 2 22 4 Sistema principal de la figura c: 1 1 X C X X C 11 2 12 2 C X C 2 1 21 2 22 3 Sistema principal de la figura d: 1 1 X C 0 X X 11 2 12 C 0 X 2 1 21 2 22 Problemas de aplicación Ejercicio Nº II: Para el pórtico de la figura hallar los valores de las reacciones de vínculo por el método de las fuerzas. Trazar los diagramas de características. Estabilidad IIB – 64.12 hoja 9 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Sistemas Hiperestáticos (Complemento Teórico) Datos: Perfil 1 “doble T” (IPB 450 - DIN 1026); Perfil 2 “doble T” (IPB 550 - DIN 1026); H = 5,6 m; L = 8,4 m; q = 2,7 t/m; adm = 1400 Kg/cm2; E = 2,1x106 Kg/cm2; J1 = 79890 cm4; J2 = 136700 cm4 Resolución: Estamos en presencia de un sistema hiperestático de grado tres. a.1)Sistema Fundamental: El sistema fundamental se obtiene a partir de la estructura hiperestática planteada, reemplazando tres vínculos, por las acciones que los mismos introducen (X1, X2 y X3). a.2)Determinación de los diagramas de momentos flexores para las carga y de las incógnitas hiperestáticas: Plantearemos los diagramas de momentos flexores para las cargas exteriores y mas incógnitas hiperestáticas adoptando para esta un valor unitario. Así tendremos: Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 10 Estabilidad IIB – 64.12
Sistemas Hiperestáticos (Complemento Teórico) Por lo tanto, en el sistema fundamental la suma de los desplazamientos en las secciones en cuestión, originados por las cargas exteriores y las incógnitas hiperestáticas actuando conjuntamente, debe ser nula. X X X 1 10 1 11 2 12 3 13 Los valores de las incógnitas hiperestáticas quedarán determinados por la condición de volver a llevar los puntos que se han liberado al encuentro de los enlaces preexistentes. La expresión de los desplazamientos δ’ila obtenemos aplicando el Principio de los Trabajos Virtuales: M M i dónde: •M - momentos finales en la estructura fundamental (iguales a los momentos verdaderos en la estructura hiperestática). •M’i - momentos en la estructura fundamental originados por Xi = 1 [t] ó [tm] Sustituyendo el valor de M obtenido en la tercer etapa, e igualando a cero: J E J E t 1 dl ó t m E J 1 E 1 E 1 2 M M M M M M M 1 0 3 0 1 2 dl X dl X dl X dl 1 2 3 E J E J J J 2 E 2 1 2 2 2 M M M M M M M 2 0 3 0 dl X dl X dl X dl 1 2 3 E J J 3 1 E 3 E 3 3 2 M M M M M M M 3 0 2 0 dl X dl X dl X dl 1 2 3 E J J J E J que puede escribirse: 0 X X X 10 1 11 2 12 3 13 0 X X X 20 1 21 2 22 3 23 0 X X X 30 1 31 2 32 3 33 Estabilidad IIB – 64.12 hoja 11 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Sistemas Hiperestáticos (Complemento Teórico) a.3)Determinación de los coeficientes δij: Los coeficientes δij los obtendremos utilizando tablas de multiplicación de diagramas. Así tendremos: 1 1 1 1 0 10 J E J E 1 E 1 J M M 560 4233600 560 840 4233600 560 ds 4 1 2 1 E 1 J 1 1 E 1 J 1 4233600 280 2 560 280 4233600 280 280 10 , 235 6 6 1 1 2 1 E 1 J 1 M M 0 840 4233600 840 ds 20 2 E J 2 1 E 1 J 1 1 E 1 J 1 , 5 840 4233600 280 4233600 840 280 203 2 2 2 1 3 1 E 1 J 1 1 E 1 J M M 0 1 4233600 560 1 4233600 840 ds 30 3 E J 1 2 1 E 1 J 1 1 E 1 J 1 4233600 1 280 4233600 1 280 0171 , 0 2 2 1 1 1 E 1 1 E 1 J 1 1 E 1 J M M 560 560 560 560 560 840 ds 11 3 J 1 2 1 E 1 J 1 560 560 560 001615 , 0 3 1 E 2 1 E 1 J 1 1 E 1 J M M 00304 , 0 840 840 840 560 840 840 2 ds 22 3 J 2 1 E 3 1 E 1 J 1 E 1 J M M 9 3 2 1 1 560 1 1 840 , 9 602 10 ds 33 J 1 2 1 E E 2 1 E 1 J 1 1 E 1 J 1 M M 00147 , 0 560 840 840 840 560 560 ds 12 2 2 J 2 1 3 1 E 1 J 1 1 E 1 J M M 6 1 2 1 560 560 1 840 560 , 3 508 10 ds 13 2 J 1 2 E 3 1 E 1 J 1 1 E 1 J M M , 4 6 2 1 840 840 1 840 560 032 10 ds 23 2 J 2 1 a.4)Resolución del sistema: Remplazando valores obtendremos X1, X2 y X3 como sigue: Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 12 Estabilidad IIB – 64.12
Sistemas Hiperestáticos (Complemento Teórico) 6 10 , 235 001615 , 0 00147 , 0 , 3 508 10 0 X X X 1 2 3 6 , 5 203 00147 , 0 00304 , 0 0328 , 4 10 0 X X X 1 2 3 6 6 9 0171 , 0 , 3 508 10 0328 , 4 10 , 9 602 10 0 X X X 1 2 3 11 95 , X t 1 19 , 1 44 X t 2 79 , X t m 3 a.5)Diagramas de Características: Estabilidad IIB – 64.12 hoja 13 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Sistemas Hiperestáticos (Complemento Teórico) Ejercicio Nº III: Calcular las reacciones de vínculo del pórtico de la figura que sufre una variación de temperatura en la barra BC de 30 °C y un corrimiento vertical del apoyo D de 1 cm. Datos 1 : l m 10 P kN kN 3 q m 4 1000 I cm 10 5 1 . 2 E MPa 2 42 F A cm 1 acero 6 15 10 º C 30 º T C Cara inferior BC 1 cm D 1)Caso Hiperestático por Exceso de Ligaduras: Como los desplazamientos se deben esencialmente a flexión, se prescinde de evaluar tracción, luego se construyen los diagramas de Mpara causa “fuerzas distribuidas”, para causa “x1=+1” y para causa “x2=+1”. (Se grafican en el orden citado) Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 14 Estabilidad IIB – 64.12
Sistemas Hiperestáticos (Complemento Teórico) Para el sistema fundamental (SF): 4 q l 0 0 F H P q 2 H A H P q l 2 A 3 59 0 3 0 3 F V q l V l V A A 4 2 l q l 2 2 M q l P l A 0 3 4 2 0 M q l l P l M A A 6 2 2 3 kN 10 2 3 1 H kN m A m 4 H kN A kN 3 3 1 9 V m V kN 5 . 9 A A m M kN m 59 kN A 2 3 1 2 10 1 M m kN m A 6 m Con lo cual primero hay que obtener δ1P,δ11,δ12, δ2Pyδ22 (es decir: el desplazamiento virtual en la dirección de x1 debido a las cargas P, el desplazamiento virtual en la dirección de x1 debido a x1 y así sucesivamente). Para esto se deben multiplicar los diagramas correspondientes. Estabilidad IIB – 64.12 hoja 15 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Sistemas Hiperestáticos (Complemento Teórico) 1 1 1 1 M M 1 P dl M M L M M M L M M L M M M L 1 1 1 1 1 P P V P P V P H P P H 4 2 4 E I E I A A B A A C B B C B 1 1 M M 1 1 dl M M L M M L 11 1 1 1 1 V H 3 E I E I A A B B 1 1 1 M M 1 2 dl M M L M M L 12 21 1 2 1 2 V H 2 2 E I E I A B B B 1 1 1 M M 2 2 dl M M L M M L M M L 22 2 2 2 2 2 2 V H V 3 3 E I E I B B B B C C M 1 1 1 1 1 L 2 M M 2 2 2 V P dl M M L M M M L M M L M M M L M M C 2 2 2 2 2 2 P P V P P V P H P P H P 2 5 3 6 2 E I E I A B B A B C C B C B C C 1 1 1 1 1 5 , 9 3 4 33 5 , 5 . 9 3 4 20 3 3 33 5 , 20 3 3 306 375 , 1 P 4 2 4 E I E I 1 1 1 3 3 4 3 3 3 45 11 3 E I E I 1 1 1 1 1 3 4 4 3 4 3 42 12 2 2 E I E I 1 1 1 4 4 4 4 4 3 4 4 4 90 667 , 22 3 3 E I E I 1 1 1 1 4 4 1 1 5 , 9 4 4 33 5 , 5 . 9 4 4 20 4 3 33 5 , 20 4 3 2 4 20 475 , 4667 2 P 4 5 3 6 2 2 E I E I Luego la matriz de ecuaciones canónicas queda: 42 , 3 37 x kN 45 42 306 375 , x 1 1 90 667 , 475 , 4667 , 3 68 x x kN 2 2 Calculamos ahora las reacciones de vínculo: 4 q l 0 0 F H P x q 2 2 H H P q l x 2 2 A 59 0 3 0 3 F V q l x V l x 1 1 V A 3 4 2 l q l 2 2 3 M q l P l x l A 0 3 4 3 2 0 M q l l x l P l M 1 A 1 6 2 2 3 kN 10 2 3 1 , 3 68 H kN m kN m kN 3 3 1 , 3 37 V m kN m 59 kN 2 3 1 2 10 1 3 , 3 37 1 M m kN m kN m 6 m Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 16 Estabilidad IIB – 64.12
Sistemas Hiperestáticos (Complemento Teórico) , 0 32 H kN , 5 63 V kN 61 , 0 M kN m 2)Caso Hiperestático por Diferencia de Temperaturas: δ2∆T(desplazamiento en la dirección de H2 debido a ∆T) T l T 3 2 δ22(desplazamiento en la dirección de H2 debido a H2) 1 1 1 4 3 4 M M l M M l M M l 22 2 2 2 2 2 2 B B B B C C 3 1 3 E I 1 1 4 4 4 4 4 3 4 4 4 l l l 22 3 3 E I 272 l 3 Luego la ecuación de compatibilidad es: 22 E I l 3 9 l T T E I 0 2 T H H 2 2 22 2 T 272 272 22 3 E I 1 C 1 . 2 6 5 4 9 15 10 30 º 10 1000 C MPa cm º H 2 272 Entonces: 2 1 31 27 . 31 27 . H N H N y 3)Caso Hiperestático por Corrimiento de Vinculo: ηD = 1cm (desplazamiento por corrimiento de vinculo) η11(desplazamiento en la dirección de x1debido a x1) 1 cm 1 x cm x 11 1 1 D 11 1 1 4 3 M M l M M l 11 1 1 1 1 A A A A 3 E I 1 1 3 3 4 3 3 3 l l 11 3 E I 3 45 l 11 E I Estabilidad IIB – 64.12 hoja 17 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Sistemas Hiperestáticos (Complemento Teórico) 1 . 2 5 4 1 1 10 1000 cm E I cm MPa cm x 3 1 3 45 l 45 1 m 1 466 Una vez conocido x1 se calculan las reacciones de vínculo: 7 . x N 0 0 F V x 466 7 , V x N 1400 1 V 1 A 3 M x l N m A 0 3 0 M M x l 1 A 1 4)Suma final: Por último se suman los efectos de las tres causas del problema para obtener todas las reacciones de vínculo: Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 18 Estabilidad IIB – 64.12
Sistemas Hiperestáticos (Complemento Teórico) Sistemas Hiperestáticos: MÉTODO DE LAS DEFORMACIONES Introducción El método de las deformaciones, de los desplazamientos o de la rigidez se caracteriza por tener como incógnitas los desplazamientos generados en las estructuras debido a las cargas aplicadas y en función de parámetros de rigidez de la estructura, tal como lo indica su nombre. El método propone fijar los nudos tanto angular como linealmente, analizando el efecto que tienen las cargas externas sobre la estructura; para luego imponer pequeños desplazamientos a las estructuras para cada una de las restricciones impuestas y calcular su efecto sobre los esfuerzos internos. Finalmente, aplicando el principio de superposición, se determina el efecto conjunto. Por cada componente de desplazamiento desconocida se establece una ecuación de equilibrio. Formando un sistema de ecuaciones que permite determinar dichas deformaciones y mediante las mismas obtener los esfuerzos internos en la estructura. Por ejemplo, para el pórtico de la figura, la aplicación del método implica impedir las rotaciones de los nodos B y C así como el desplazamiento de la barra BC. Por su parte, las ecuaciones de compatibilidad lo obtenemos planteando el equilibrio de los nodos, así, el sistema de ecuaciones que resuelve el sistema será: R R z 0 11 r 12 r 13 r 10 1 1 0 con R R K z K 21 r 22 r 23 r 2 20 2 0 31 r 32 r 33 r R z R 3 3 30 2 u dónde: serán los respectivos coeficientes de rigidez: r kj z z k j Estabilidad IIB – 64.12 hoja 19 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Sistemas Hiperestáticos (Complemento Teórico) La construcción de la matriz de rigidez K para la totalidad de la estructura de forma directa no es sencilla. La solución para formarla de manera simple consiste en realizar el análisis elemento a elemento, construyendo la matriz de rigidez de cada uno de ellos en su sistema de ejes local, para a continuación proyectarla sobre el sistema global de ejes, y finalmente ensamblar las matrices de todos los elementos. Así, por ejemplo, para una viga empotrada-empotrada, podemos adoptar un sistema de ejes local con su eje XL coincidente con la viga, y su origen en el nudo I del elemento. Los ejes Z general y local son coincidentes. Para cada nudo los 3 grados de libertad son: desplazamiento axial según XL, desplazamiento transversal según YL, y giro según el eje Z. Los esfuerzos correspondientes son: fuerza axial según XL, cortante según YL y momento flector según Z. El elemento tiene capacidad para absorber energía de flexión y de esfuerzo axial. La flexión se produce en el plano XY, y está controlada por el momento de inercia de la sección respecto al eje Z, que se denominará I. Como ya se sabe ambos efectos están desacoplados. La matriz de rigidez es de 6x6; sus términos se calculan aplicando sucesivamente desplazamientos unitarios a cada uno de los 6 grados de libertad, y calculando en cada caso las fuerzas de reacción que aparecen sobre la barra. La resolución de cada caso proporciona una columna de la matriz de rigidez. Agrupándolas se obtiene: Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 20 Estabilidad IIB – 64.12
Sistemas Hiperestáticos (Complemento Teórico) La no existencia de términos de rigidez entre los grados de libertad axiales y de flexión muestra el desacoplamiento entre ambos efectos. En base a ésta matriz calculemos, por ejemplo, los esfuerzos de extremo de barra para el caso de la rotación del empotramiento de la derecha un valor en sentido horario. En este caso serán: IX, IY, I, JX, JY, todos nulos, mientras que J = -. Reemplazando en la matriz de rigidez resulta: 0 P IX 2 6 EI P IY L 2 EI M I L 0 P JX 2 6 EI P JY L 4 EI M J L Por su parte, para para una viga empotrada-articulada al exister una articulación en el nudo J, se cumple que Mj = 0. Al imponer esta condición de momento nulo se debe de prescindir de un grado de libertad, que es el giro en el nudo J, y la matriz de rigidez de la viga será: Estabilidad IIB – 64.12 hoja 21 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Sistemas Hiperestáticos (Complemento Teórico) En ella se observa que la fila y la columna correspondientes al giro en J son nulas. Ello quiere decir que el momento en el nudo J es siempre 0, para cualquier valor de los otros 5 grados de libertad y que el grado de libertad al giro en el nudo J (J) no afecta a las fuerzas en los extremos del elemento. En base a ésta matriz calculemos, por ejemplo, los esfuerzos de extremo de barra para el caso del rotación descenso del apoyo de la derecha un valor . En este caso serán: IX, IY, I, JX, JY, J todos nulos, mientras que JY = -. Reemplazando en la matriz de rigidez resulta: 0 P IX 3 EI P IY 3 L 3 EI M I 2 L 0 P JX 3 EI P JY 3 L 0 M J Problemas de aplicación Ejercicio Nº IV:Calcular por el método de las incógnitas cinemáticas (método de las deformaciones) los momentos en los vínculo del pórtico de la figura que se producen cuando la estructura sufre un incremento de temperatura t, y el apoyo C sufre un descenso de valor en la dirección C’ además de una rotación de valor . Resolución: Apliquemos este método a la resolución del siguiente pórtico considerando que el mismo está cargado con una fuerza distribuida de valor q en la barra 1B y por una carga concentrada horizontal de valor P en la mitad de la altura h de la barra 1C tal como se muestra en la figura de la izquierda. Consideremos además, que la estructura sufre un incremento de temperatura t, y que el apoyo C sufre un descenso de valor en la dirección C’ y una rotación de valor . Procedemos a fijar angularmente el nudo 1 de forma tal que no pueda rotar. De esta forma la única restricción impuesta al sistema será 1. En consecuencia el sistema fundamental resultante será la que se muestra en la figura y estará conformado por una barra empotrada-articulada (A1), y dos barras empotrada-empotrada (B1 y C1). Una vez hecho esto, analizaremos el efecto que tienen las cargas externas (q y P) sobre este sistema fundamental; Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 22 Estabilidad IIB – 64.12
Sistemas Hiperestáticos (Complemento Teórico) para desplazamientos a las estructuras para cada una de las restricciones impuestas (en este caso la rotación del nodo 1) y calcular su efecto sobre los esfuerzos internos y aplicando el principio de superposición, se determina el efecto conjunto. luego imponer pequeños Calcularemos a continuación los efectos que sobre la estructura tienen el incremento de temperatura (t), el descenso del apoyo () y la rotación del mismo () y finalmente, aplicando el principio de superposición, se determinaremos el efecto conjunto (vínculos superabundantes, variación de temperatura, descenso y rotación del apoyo C). Deformaciones debidas al efecto de las cargas externas. Por cada componente de desplazamiento desconocida se deberá establece una ecuación de equilibrio, en este caso, al ser sólo una la restricción incorporana al sistema (rotación del nodo 1) será necesaria sólo una ecuación de compatibilidad. Procederemos a calcular el efecto de las cargas externas actuando sobre el sistema fundamental. Como puede observarse en la figura, las cargas exteriores deformarán las barras B1 y C1 de acuerdo con el siguiente esquema: Por lo tanto, el momento en el nodo 1 debido a la acción de las cargas exteriores será: 2 2 L H 0 1 0 1 0 1 M M M q P P B C 12 8 Imponemos ahora pequeños desplazamientos a las estructuras para cada una de las restricciones impuestas (en este caso la rotación del nodo 1) y calcular su efecto. El esquema sería el que se presenta en la figura de la derecha, y su efecto combinado será: 0 11 M 1 1 1 A B C Estabilidad IIB – 64.12 hoja 23 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Sistemas Hiperestáticos (Complemento Teórico) dónde: EI 3 1 A L 1 EI EI 4 2 m 1 1 B B L L 2 2 EI EI 4 2 m 1 1 C C H H Planteando ahora la ecuación de compatibilidad (equilibrio del nodo 1) resulta: 0 1 M 0 1 0 11 0 P M M 1 1 P 0 11 M Deformaciones debidas a los pequeños desplazamientos de las restricciones impuestas. y los momentos en los empotramientos C y B serán: 0 0 M M m M M m 1 P C 1 P B 1 1 1 1 C C B B En forma análoga podemos obtener las reacciones de vínculos horizontales y verticales. Calculemos ahora los efectos de un incremento de temperatura (de valor t). El efecto resultante será una variación de longitud (L) directamente proporcional al incremento de temperatura (t), a la longitud de la barra y al coeficiente de dilatación libre de un prisma () que mide el alargamiento o acortamiento por unidad de longitud, cuando la temperatura varía 1ºC. Así se tendrá: L t Lt El esquema de la dilatación será el que se muestra en la figura de la derecha en donde: 1 1 L t L A L t L 1 2 1 B L t H 1 1 C mientras que la posición final del punto A será: desplazarse horizontalmente y la deformación del pórtico será: donde m*1A. 1, m*1B. 1, m*B1. 1, m*1C. 1 y m*C1. 1 son los pares extremos de barra producto del desplazamiento en vertical (1) y horizontal (1) del nodo 1. , dado que no posee restricciones para a L L 1 1 A A B Los coeficientes m*1B y m*B1, los obtenemos, para la barra B1 de la matriz de rigidez de barras doblemente empotradas para IX = -1 y IY = 1, para la barra C1 los coeficientes m*1C y m*C1 los obtenemos de la matriz de rigidez de barras doblemente empotradas Deformaciones debidas un incremento de temperaturat. Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 24 Estabilidad IIB – 64.12
Sistemas Hiperestáticos (Complemento Teórico) para JX = 1 y JY = 1, y para la barra A1, el coeficiente m*1A, lo obtenemos de la matriz de rigidez de barras empotradas-articuladas para IY = 1 (como el vínculo A de la barra se desplaza libremente en forma horizontal no habrá deformaciones el la dirección de eje de la barra A1IX = 0). Así: 6 6 EI EI * 1 * 1 m m C B EI EI 2 2 2 H L L L 3 EI 1 C 1 B * 1 barra A1 , barra B1 , barra C1 m A 2 1 6 6 L L * * m m 1 A 1 1 B C 2 2 2 L L H L 1 1 B C Imponemos ahora pequeños desplazamientos a las estructuras para cada una de las restricciones impuestas (en este caso la rotación del nodo 1) y calculamos su efecto. Por lo tanto, si planteamos el equilibrio en el nodo 1 será: 0 1 M 0 1 * 1 * 1 * 1 0 1 0 11 0 t M m m m M M 1 1 1 1 1 t A C B t 0 11 M Así: * 1 M m 1 1 1 1 A A A t * 1 M m 1 1 1 1 B B B t * B M m 1 1 1 1 1 B B t * 1 M m 1 1 1 1 C C C t * C M m 1 1 1 1 1 C C Deformaciones debidas al giro del empotramiento C. t En forma análoga podemos obtener las reacciones de vínculos horizontales y verticales. Calculemos ahora los efectos de un giro del empotramiento C (de valor ). El esquema de la deformación se muestra en la figura. Los coeficientes m1C y mC1, los obtenemos, para la barra C1 de la matriz de rigidez de barras doblemente empotradas para I = -. Así: H 2 EI m 1 C barra C1 H 4 EI m 1 C Imponemos ahora pequeños desplazamientos a las estructuras para cada una de las restricciones impuestas (en este caso la rotación del nodo 1) y calculamos su efecto. Por lo tanto, si planteamos el equilibrio en el nodo 1 será: 0 1 2 M EI 0 0 11 0 0 11 0 donde M M M m 1 1 1 1 1 C M H Así: Estabilidad IIB – 64.12 hoja 25 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Sistemas Hiperestáticos (Complemento Teórico) M 1 1 1 A A M 1 1 1 B B M 1 1 1 B B M m 1 1 1 1 C C C M m 1 1 1 1 C C C Deformaciones debidas al cedimento del empotramiento C. En obtener las reacciones de vínculos horizontales y verticales. Calculemos ahora los efectos de un cedimento del empotramiento C (de valor ). El esquema de la deformación semuestra en la figura de la derecha. Los coeficientes m*1A los obtenemos, para la barra A1 de la matriz de rigidez de barras articuladas- empotradas para IY = -1, los coeficientes m*1B y m*B1, los obtenemos, para la barra B1 de la matriz de rigidez de barras doblemente empotradas para IY = -1, para la barra C1 los coeficientes m*1C y m*C1 los obtenemos de la matriz de rigidez de barras doblemente empotradas para JX = 1 y JY = C, forma análoga podemos Así: L 6 EI 6 EI * 1 m * 1 m B 2 2 EI L C 3 EI 2 H * 1 barra A1 , barra B1 , barra C1 m A L 2 1 6 6 EI * B * C m m 1 1 2 2 2 H Imponemos ahora pequeños desplazamientos a las estructuras para cada una de las restricciones impuestas (en este caso la rotación del nodo 1) y calculamos su efecto. Por lo tanto, si planteamos el equilibrio en el nodo 1 será: 0 1 M 0 11 ' ' ' 1 ' ' ' 1 0 0 11 0 0 donde M M M m m m 1 1 1 1 1 1 1 A B C C M Así: ' ' ' 1 * 1 M m 1 1 1 A A A ' ' ' 1 * 1 M m 1 1 1 B B B ' ' ' 1 * B M m 1 1 1 1 B B ' ' ' 1 * C M m 1 1 1 C C C ' ' ' 1 * 1 M m 1 1 C C C C En forma análoga podemos obtener las reacciones de vínculos horizontales y verticales. Ejercicio Nº V: Para el pórtico de la figura hallar los valores de las reacciones de vínculo por el método de las deformaciones. Trazar los diagramas de características. Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 26 Estabilidad IIB – 64.12
Sistemas Hiperestáticos (Complemento Teórico) Datos: Perfil 1 “doble T” (IPB 450 - DIN 1026); Perfil 2 “doble T” (IPB 550 - DIN 1026); H = 5,6 m; L = 8,4 m; q = 2,7 t/m; adm = 1400 Kg/cm2; E = 2,1x106 Kg/cm2; J1 = 79890 cm4; J2 = 136700 cm4 Resolución: b)Método de las Incógnitas Cinemáticas (Método de las Deformaciones): En este caso, el proceso utilizado, de superposición de efectos, puede idealizarse pensando de la siguiente manera: •Se parte de una estructura hiperestática, donde inicialmente se han colocado vínculos ficticios que bloquean los nudos impidiendo la rotación de las secciones extremas y el desplazamiento relativo entre los nudos. •En este estado hacemos actuar las cargas exteriores produciéndose momentos de empotramiento perfecto. •Luego relajamos las condiciones ficticias de vínculo, produciéndose rotaciones y desplazamientos relativos entre nudos, y momentos flexores. •Para calcular los momentos originados por las rotaciones y por los desplazamientos relativos utilizaremos tablas de fuerzas y momentos de extremos de barras prismáticas. b.1)Determinación del sistema fundamental: El pórtico posee tres grados de libertad, representados por las rotaciones de los nudos “C” y “D” y el desplazamiento horizontal de la barra “CD”. Agregando tres vínculos ficticios (restringimos las rotaciones de los nudos y el desplazamiento indicado) obtenemos el Sistema Fundamental de la figura. b.2)Planteo de las ecuaciones de superposición de efectos: En este caso (tres grados de libertad restringidos) tendremos: Estabilidad IIB – 64.12 hoja 27 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Sistemas Hiperestáticos (Complemento Teórico) 0 1 0 11 0 12 a 0 13 a 0 a a X a X a X 1 2 3 P 0 2 0 21 0 22 0 23 0 a a X X X 1 2 3 P 0 3 0 31 0 32 0 33 0 a a X a X a X 1 2 3 P o bien, en forma matricial: 0 1 a 0 11 0 12 0 13 X a a a P 1 K K 0 2 0 21 0 22 0 23 ; X a a a a 2 P 0 31 0 32 0 33 a a a X 0 3 a 3 P b.3)Cálculo de los coeficientes aij: •Fuerzas actuantes (coeficientes aip): En este caso sólo tendremos fuerzas exteriores actuando sobre la columna izquierda del pórtico, y reemplazando valores resulta: L q a P P ; 056 , 7 12 2 q L , 7 0 1 0 2 0 3 0 ; 56 t m a a t P 2 •Giro unitario en el nudo “C” (coeficientes ai1): En este caso sólo tendremos los siguientes pares extremos de pieza, y reemplazando valores resulta: 1 J E a 4 4 E J E J 0 11 25653 39 , 1 1 1 2 2 1 a L L 2 2 0 21 6832 , 266 2 2 1 L 2 J 6 E 0 31 3209 756 , 1 1 1 a L 1 Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 28 Estabilidad IIB – 64.12
Sistemas Hiperestáticos (Complemento Teórico) •Giro unitario en el nudo “D” (coeficientes ai2): En este caso sólo tendremos los siguientes pares extremos de pieza, y reemplazando valores resulta: 266 , 6832 2 J E L 2 E J 0 12 2 2 2 a L 4 4 E J 0 22 3 3 2 25653 39 , 2 2 2 a L 2 J 3 6 E 0 32 3 3 2 3209 756 , a L 3 •Desplazamiento unitario de la barra “CD” (coeficientes ai3): En este caso sólo tendremos los siguientes pares extremos de pieza, y reemplazando valores resulta: Estabilidad IIB – 64.12 hoja 29 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Sistemas Hiperestáticos (Complemento Teórico) 6 E J X 0 13 1 1 3 3209 756 , a 2 L 1 6 E J X 0 23 3 3 3 3209 756 , a 2 L 3 12 12 E J X E J X 0 33 1 1 3 3 L 3 3 2292 76 , a 3 3 L 1 3 b.4)Resolución del Sistema: Reemplazando valores tendremos: 4 , 1 128 10 X , 7 056 25653 39 , 6832 , 266 3209 756 , 0 X 25653 X X 1 1 2 3209 3 , 7 , , X 4 0 6832 , 266 39 , 756 , 0 , 4 877 10 X 756 X 756 X X 1 2 3 2 56 3209 3209 2292 76 , 0 X X 3 , 4 176 10 X m 1 2 3 3 b.5)Diagramas de Características: •Cálculo de las reacciones de vínculo: M A 12 2 2 6 q H 19 784 , E J X E J X t m 1 1 1 3 3 3 2 H H 2 6 12 q H 11 98 , A Q E J X E J X t 1 1 1 3 3 3 A 2 3 H H 6 6 1352 , 1 N E J X E J X t 2 2 1 2 2 2 A 2 2 L L 2 6 10 , 481 M E J X E J X t m 1 1 2 3 3 3 B 2 H H 6 12 , 3 2218 B Q E J X E J X t 1 1 2 3 3 3 B 2 3 H 6 H 6 2 1352 , 1 N E J X E J X t 2 2 1 2 2 2 B 2 L L •Gráficos: Ver Ejercicio II (páginas 16 y 17). Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 30 Estabilidad IIB – 64.12
Sistemas Hiperestáticos (Complemento Teórico) Ejercicio Nº VI: Para el pórtico de la figura hallar los valores de los esfuerzos que se producen cuando se produce un cedimiento vertical del vínculo C de valor. Trazar los diagramas de características. Datos: = 10-2 m , h = 4 m; l = 3 m; EJ = cte. Resolución: a)Método de las Incógnitas Cinemáticas (Método de las Deformaciones): En este caso, el proceso utilizado, de superposición de efectos, puede idealizarse pensando de la siguiente manera: •Se parte de una estructura hiperestática, donde inicialmente se han colocado vínculos ficticios que bloquean los nudos impidiendo la rotación de las secciones extremas y el desplazamiento relativo entre los nudos. •En este estado hacemos actuar las cargas exteriores produciéndose momentos de empotramiento perfecto. •Luego relajamos las condiciones ficticias de vínculo, produciéndose rotaciones y desplazamientos relativos entre nudos, y momentos flexores. •Para calcular los momentos originados por las rotaciones y por los desplazamientos relativos utilizaremos tablas de fuerzas y momentos de extremos de barras prismáticas. a.1)Determinación del sistema fundamental: El pórtico posee sólo un grado de libertad, representados por la rotación del nudo “B”. Agregando un vínculo ficticio (restringimos las rotaciones del nudo) obtenemos el Sistema Fundamental de la figura. a.2)Planteo de las ecuaciones de superposición de efectos: En este caso (un grado de libertad restringidos) tendremos una única incógnita y una única ecuación: 0 1 a 0 1 0 11 0 a a 0 11 a a.3)Cálculo de los coeficientes aij: i)Cedimiento de vínculo (coeficientes a1 ): En este caso consideraremos que el vínculo C desciende un valor = 10-2 m: Estabilidad IIB – 64.12 hoja 31 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Sistemas Hiperestáticos (Complemento Teórico) 2 1 E J E J 0 1 2 2 3 3 10 10 a E J 2 3 3 l ii)Giro unitario en el nudo “B” (coeficiente a11): En este caso sólo tendremos los siguientes pares extremos de pieza, y reemplazando valores resulta: E J E J 0 11 4 3 a h 4 l E J E J 0 11 4 3 2 a E J 3 a.4)Resolución del Sistema: Reemplazando valores tendremos: 1 a 2 10 E J 0 1 a 3 0 11 2 E J 1 2 10 6 Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 32 Estabilidad IIB – 64.12
Sistemas Hiperestáticos (Complemento Teórico) a.5)Cálculo de las reacciones de vínculo: J E h 6 2 1 2 10 M E J A 12 1 2 10 A Q E J E J A 2 16 h 3 3 1 2 10 N E J E J E J A 2 3 18 l l 0 M C 3 3 1 2 10 C Q E J E J E J C 2 3 18 l l 6 1 2 10 N E J E J C 2 16 h a.6)Gráficos: Estabilidad IIB – 64.12 hoja 33 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Sistemas Hiperestáticos (Complemento Teórico) Anexo A: Barra articulada-articulada con acciones en los nudos. a) Rotaciones wi ; wj Analicemos una barra i-j a la cual se le aplican por sus extremos o nudos un estado de desplazamientos w asociado a una solicitación M (momento flexor). Si aplicamos un momento Mi = 1 aparecerán rotaciones ii y ij y reacciones en los vínculos 1/lij y -1/lij. Con el mismo procedimiento, si aplicamos en j un Mj = 1 aparecerán rotaciones y reacciones jj; ijy 1/lij; -1/lij. Por superposición de efectos al aplicar momentos Mi; Mj aparecerán en los extremos rotaciones wi; wjyreacciones Ri; Rj, tal que: i ii i M w w M M ij j con M j ji i jj j y ij ji l M M i j R i ij l M M i j R j ij Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 34 Estabilidad IIB – 64.12
Sistemas Hiperestáticos (Complemento Teórico) De dos primeras ecuaciones podemos despejar Miy Mjen función de wiy wj , donde denominaremos ij al determinante de los coeficientes: 2 así obtendremos: i R ij ii jj ij ji ii jj ij w w jj ij jj ji ii ij j i M w w i i j l l ij ij ij ij ij ij w y w ji jj ji ii ij j ii i M w w R j i j j l l ij ij ij ij ij ij con los coeficientes: jj ij ji ; ; ; ii k k k k ii ij ji jj ij ij ij ij podremos obtener: w w j i R k k k k i ii ji ij jj M k w k w l l i ii i ij j ij ij y M k w k w w w j ji i jj j j i R k k k k j ii ji ij jj l l ij ij Los coeficientes podemos obtenerlos, por ejemplo aplicando el principio de los trabajos virtuales, así será: l l 1 M M ij ij i i dx ii 3 E J E J 0 l M M l 1 ij j j ij dx jj 3 E J E J 0 l M M l 1 ij i j ij dx ij ji 6 E J E J 0 2 l 1 ij ij 2 2 12 E J siendo entonces: E J E J 4 ; 2 k k k k ii jj ij ji l l ij ij llamaremos en lo sucesivo: Estabilidad IIB – 64.12 hoja 35 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Sistemas Hiperestáticos (Complemento Teórico) ; ; ; ; w w M M M M l L 1 2 1 2 i j i j ij Las ecuaciones de los momentos y reacciones, pueden expresarse en notación matricial de la siguiente manera: 2 1 6 6 L L R E J E J 4 2 L L M E J E J 1 2 4 M L L 2 1 E J E J R 2 E J E J 6 6 2 2 L L o también: E J E J E J E J 4 2 6 6 1 2 M R 1 1 2 1 L L L L L L y E J E J E J E J 2 4 6 6 1 2 M R 2 1 2 2 L L L L L L Así, por ejemplo, el coeficiente k11 pueden interpretarse como el momento que debe aplicarse en el extremo 1 de la barra para producir una rotación unitaria en dicho extremo (1 = 1), en tanto que en el opuesto se encuentra empotrado (2 = 0). El coeficiente k21, es el momento resultante en el extremo 2 de la barra para esta condición. La ecuación matricial consta de dos ecuaciones algebraicas que pueden resolverse simultáneamente para determinar las rotaciones 1y2en los extremos. Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 36 Estabilidad IIB – 64.12
Sistemas Hiperestáticos (Complemento Teórico) 1 4 2 E J E J M l l 1 1 2 4 E J E J M 2 2 l l b) Desplazamientos vi; vj según eje y Aplicamos desplazamientos vi ; vj tales que: v v v ij j i ; v v v ij j i ij l l ij ij 0 w w con i j por lo que aparecerán solicitaciones Mi ; Mj ; Ri ; Rj cuyos valores obtendremos de una viga similar a la anterior con rotaciones wi* ; wj* tales que: v v v ij j i * * w w i j ij l l ij ij Se cumplirá entonces: jj ij * i * j * i * j M w w k w k w i ii ij ij ij y por lo tanto: v v v ij j i M k k k k i ii ij ii ij l l ij ij y análogamente: v v v ij j i M k k k k j ji jj ji jj l l ij ij v v v ij j i 2 2 R k k k k k k i ii jj ij ii jj ij 2 ij 2 ij l l v v v ij j i 2 2 R k k k k k k j ii jj ij ii jj ij 2 ij 2 ij l l E J E J 4 2 k k y k k y siendo entonces: resulta llamando: ii jj ij ji l l ij ij Estabilidad IIB – 64.12 hoja 37 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Sistemas Hiperestáticos (Complemento Teórico) ; ; ; ; ; w w v M M M M l L 1 2 1 2 i j ij i j ij E J E J 6 12 M R 1 1 2 3 L L y E J E J 6 12 M R 2 2 2 3 L L Anexo B: Ecuaciones de rigidez para elementos con fuerza axial Consideremos el elemento simple mostrado en la figura, el cual sólo está sometido a cargas axial. Las fuerzas que actúan en los nudos reciben dos subíndices. El primero indica el nudo donde actúa la fuerza, en tanto que el segundo indica el otro extremo del elemento. Si el extremo “2” del puntal está fijo (b), existen las siguientes relaciones entre las fuerzas y los desplazamientos: Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 38 Estabilidad IIB – 64.12
Sistemas Hiperestáticos (Complemento Teórico) l A E l A E E I 2 , 1 F I 1 F 2 , 1 F 1 l l A E A 1 , 2 I F 1 , 2 1 Si ahora se impide que el nudo “1” del puntal se mueva ( c ), se tendrá: l A E l A E E II F II 1 , 2 2 F 1 , 2 2 l l 2 , 1 F A E A II 2 , 1 F 2 y con base en el principio de superposición de efectos se puede escribir: l l A E A E Total I II F F F 2 , 1 F 2 , 1 F 2 , 1 F 1 2 ;o bien: l l A E A E 1 , 2 1 , 2 1 , 2 l l A E A E Total F 2 , 1 F 1 l l A E A E 1 , 2 2 Ecuaciones que pueden escribirse simbólicamente como: K P ; en donde K vector de fuerzas en el nudo P vector de desplazamiento en el nudo matriz de rigidez Puede verse que cada columna de la matriz de rigidez representa el conjunto de fuerzas correspondientes a un valor unitario de un solo desplazamiento de nudo. La matriz K, en este caso resulta imposible de invertir por lo que resulta imposible resolver: 1 l l A E A E F 2 , 1 F 1 l l A E A E 2 1 , 2 La razón es que los movimientos del cuerpo rígido no se han eliminado. Si 1 fuese igual a 2, el puntal podría desplazarse cualquier distancia arbitraria sin la intervención de las fuerzas axiales F1,2 o F2,1. Sin Estabilidad IIB – 64.12 hoja 39 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Sistemas Hiperestáticos (Complemento Teórico) embargo, si uno de los extremos recibe un desplazamiento específico, digamos 2 = 0 existirá entonces una relación bien definida entre las fuerzas F1,2 y el desplazamiento resultante en el nudo “1”: l 2 , 1 F 1 A E Si el puntal tiene tres segmentos (4 nudos) el procedimiento puede repetirse en cada nudo. La superposición de todas estas relaciones origina la siguiente ecuación matricial: l l A E A E 0 0 1 1 X l l l l A E A E A E A E 1 1 E A 0 X 2 2 1 1 A 2 2 l l l l A E E A E X E 0 3 3 X 2 2 A 3 3 4 4 l l A E 0 0 3 3 K P y simbólicamente: La matriz de rigidez K es singular y no tiene inversa, por lo tanto, igual que antes, no puede despejarse los desplazamientos X1, X2, X3 yX4.Sin embargo, si el movimiento del cuerpo rígido es impedido, al especificar uno o más desplazamientos nodales, será posible hallar una solución. Bibliografía Recomendada •Estabilidad II - E. Fliess •Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez •Problemas de resistencia de materiales - M. Ferrer Ballester y otros •Curso superior de resistencia de materiales - F. Seely / J. Smith(Título original de la obra: "Advanced Mechanics of Materials") •El acero en la construcción (Título original de la obra: "Stahl im hochbau") •Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo •Mecánica de materiales - F. Beer y otros •Mecánica de materiales - R. C. Hibbeler •Problemas de resistencia de materiales - I. Miroliubov y otros Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 40 Estabilidad IIB – 64.12
Sistemas Hiperestáticos (Complemento Teórico) •Problemas de resistencia de materiales - A. Volmir •Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana •Resistencia de materiales - V. Feodosiev •Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer •Resistencia de materiales - S. Timoshenko Estabilidad IIB – 64.12 hoja 41 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Sistemas Hiperestáticos (Complemento Teórico) Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 42 Estabilidad IIB – 64.12
