Seconda Lezione

1. Seconda Lezione Dipolo, materiali, flusso, teorema di Gauss

2. Riassunto della lezione precedente • Struttura dell’atomo • Legge di Coulomb per cariche discrete (nel vuoto) • Legge di Coulomb per distribuzioni di cariche • Definizione di intensità del campo elettrico

3. Stiamo per fare un po’ di conti su una struttura composta da due cariche, il dipolo: perché? • Alcune strutture ed alcune molecole si comportano da dipolo • Vedremo nelle prossime lezioni che il campo irradiato da una antenna avrà anche un contributo di tipo “dipolo” • E’ un utile esercizio per la natura vettoriale delle grandezze • I passaggi che seguono sono un po’ “macchinosi”; vedrete in seguito come è possibile ottenere lo stesso risultato grazie a un potente strumento dovuto a Laplace, il potenziale

4. Useremo le coordinate sferiche P Campo Elettrico prodotto da un dipolo Il problema ha simmetria cilindrica: il campo non dipende da f

5. P Campo Elettrico prodotto da un dipolo ur uq

6. P Campo Elettrico prodotto da un dipolo ur Tuttavia vale uq Se P è molto lontano (d<<r):

7. ur uz P Infatti uq Campo Elettrico prodotto da un dipolo In coordinate sferiche ur uz uq Inoltre (ricordate?…siamo lontani)

8. Campo Elettrico prodotto da un dipolo Se definiamo Momento di dipolo elettrico E dipende solo da p: se per es. raddoppiamo q e dimezziamo d, il campo non cambia p si definisce anche come un vettore orientato lungo uz

9. Dipolo ancorato in un campo elettrico uniforme Momento di torsione t t fa ruotare il dipolo in senso orario fino ad allinearlo al campo Le molecole d’acqua sono dipoli

10. Il forno a microonde... Il campo esterno varia periodicamente

11. Esperienza di Millikan • Raggi X ionizzano dell’olio minerale • Una gocciolina può mantenersi sospesa quando forza gravitazionale e campo elettrico si compensano • Il raggio della goccia r si può determinare dalla velocità di caduta della goccia quando il campo è nullo: • E condizione iniziale v(0)=0

12. Esperienza di Millikan • Soluzione tipo • Sostituendo nella om. (eq caratt.) • Sostituendo nella complessiva • Imponendo condizione iniziale • Quindi: rgoccia=800 kg/m3 raria=1.29 kg/m3 h=1.29 Ns/m2

13. Materiali: prima classificazione • Conduttori : sostanze nelle quali alcune o tutte le cariche elettriche possono muoversi liberamente sotto l'azione di forze elettriche (elettroni di conduzione nei metalli, ioni nelle soluzioni acquose). • Isolanti(dielettrici): gli elettroni sono vincolati agli atomi (es.: vetro, ebanite). • Semiconduttori: classe di materiali intermedia tra i conduttori e gli isolanti per le loro proprietà di condurre elettricità (es. : silicio, germanio). In realtà in questi la conduzione avviene in modo piuttosto peculiare

14. Altri materiali • Superconduttori (scoperti nel 1911; recenti scoperte nel 1997) • Nanotubi e nanofili(scoperti nel 1991)

15. Modalità di conduzione nei solidi • Ciascun elettrone in un solido possiede una energia potenziale (livello energetico) • Risultato fondamentale della meccanica quantistica è che non tutte le energie sono possibili: esse sono raggruppate in bande • le bande sono separate da regioni che indicano energie che gli elettroni non possono avere: bande proibite • In un solido gli elettroni più esterni sono quelli che formano i legami: elettroni di valenza; banda di valenza • La conduzione avviene se possiamo mettere in moto elettroni (energeticamente: dobbiamo disporre di elettroni in banda di conduzione [energia cinetica]) Banda di conduzione Energia degli elettroni Banda di valenza

16. O Si O Si Si O O Si Modalità di conduzione nei solidi Si Si Si Si Si Energia degli elettroni Gap piccolo: salto termico (rottura legame) Isolanti (SiO2) Semiconduttori Conduttori: “mare” di elettroni liberi

17. In presenza di materiale: conduttori Un qualunque campo elettrico interno o tangente alla superficie produrrebbe correnti Le cariche si spostano (correnti) e producono a loro volta un campo, fin quando all’equilibrio non c’è nessuna forza e nessun campo All’equilibrio il campo elettrico interno a un conduttore e quello tangente alla superficie DEVONO essere nulli

18. In presenza di materiale: Dielettrici In presenza di un oggetto carico, ovvero di un campo elettrico, la nuvola si distorce e l’atomo diviene polare Nuvola elettronica in un atomo in assenza di campo Elettrico: l’atomo è neutro Induzione elettrostatica

19. E E + - - + In presenza di materiale Il campo elettrico all’interno di un dielettrico sarà la sovrapposizione del campo esterno e di quello indotto dalle cariche di polarizzazione: il dielettrico agisce quindi riducendo l’intensità del campo. Il fattore di riduzione di tale intensità è la costante dielettrica relativa er

20. In presenza di materiale Definiamo una quantità che non dipende dal mezzo: il vettore Spostamento Elettrico o Densità di Flusso Elettrico [C/m2] Nota: questa espressione è vera se il materiale è “lineare”, cioè se la carica indotta e quindi il campo di polarizzazione è proporzionale al campo che induce la polarizzazione. Se non lineare, e dipende da E Per una carica puntiforme:

21. S’ E E q n n S S Campo Uniforme ma NON Ortogonale ad S Campo Uniforme e Ortogonale ad S Definizione di FLUSSO in elettromagnetismo

22. ni Ei Definizione di FLUSSO dsi Il flusso di un campo vettoriale così definito è una quantità scalare. Tale definizione è quella adottata da Maxwell: “In the case of fluxes, we have to take the integral, over a surface, of the flux through every element of the surface. The result of this operation is called the surface integral of the flux. It represents the quantity which passes through the surface"

23. Carica puntiforme: flusso attraverso una sfera

24. dW Carica puntiforme: flusso attraverso una superficie chiusa arbitraria • Nota che dAcos(q) è anche la proiezione di dA su una sfera di raggio r: poniamo dA’ (del resto per una sfera centrata sulla carica tutto il campo è ortogonale….) • l’elemento di angolo solido è per definizione (in steradianti) Poiché l’angolo solido sotteso da una sfera è 4p steradianti • Se nella regione vi sono diverse cariche, la procedura è analoga e i contributi di flusso si sommeranno linearmente:pertanto q può essere considerata la carica netta totale

25. Osservazioni • Legge di Gauss in forma Integrale • La carica netta totale racchiusa richiede sia le cariche libere che quelle indotte, nel caso ci sia un materiale nel volume racchiuso dalla superficie di Gauss • Non importa la posizione delle cariche (purché distinguiamo quelle interne da quelle esterne alla superficie) • Il campo che compare è quello totale, cioè anche dovuto ad eventuali cariche esterne • però una carica esterna non altera il flusso totale (tanto ne entra quanto ne esce) • La legge di Gauss è una forma alternativa della legge di Coulomb: consente di sfruttare le simmetrie, ed è valida anche per cariche in moto

26. Cariche indotte Dielettrico Legge di Gauss per D • Legge di Gauss in forma Integrale • Con D dobbiamo considerare solo la carica libera, visto che le cariche indotte in eventuali materiali sono contenute nella definizione di D: vediamo come • Applichiamo il Th. Di Gauss per il campo elettrico ad una carica +Q circondata da un guscio dielettrico

27. Dielettrico Legge di Gauss per D • Calcoliamo il campo elettrico applicando Gauss per r<=R1 Superficie di Gauss

28. Dielettrico Legge di Gauss per D • Calcoliamo il campo elettrico applicando Gauss per R1<r<=R2

29. Dielettrico Legge di Gauss per D • Calcoliamo il campo elettrico applicando Gauss per R3<=r

30. Si definisce Suscettività Elettrica Legge di Gauss per D • Utilizzando il Teorema di Gauss per D invece • Nel Dielettrico in particolare, confrontando le due espressioni: • Per mezzi lineari possiamo ipotizzare che la carica indotta Q’ sia proporzionale al campo

31. A cosa serve D • D legato alle sole cariche libere • D/e0 Campo elettrico in assenza di dielettrico • Per mezzo isotropo, lineare ed omogeneo • Si definisce anche vettore Polarizzazione P