EL MÉTODO DE KUHN-TUCKER

1. EL MÉTODO DE KUHN-TUCKER Microeconomía Avanzada IPatricia Bervel – Manuel Torrente – Lucía Robles – Santiago Codina

2. ¿Qué Queremos hacer? • Queremos optimizar una función sujeta a una o más restricciones • El elemento más característico del método de Kuhn-Tucker es que utilizaremos restricciones con desigualdad • Analíticamente queremos: Opt f(xi) s.a. g(xi) ≤ ci

3. Opt f(xi) s.a. g(xi) ≤ ci para cualquier i =1, … n. Dependiendo de si queremos maximizar o minimizar la función objetivo elegiremos unos multiplicadores de Lagrange positivos o negativos Si queremos Max f(xi) SiMin f(xi) λ > 0 λ < 0 Teniendo en cuenta que Max f(xi) = - Min f(xi) Podremos construir la función lagranjiana de la forma: L (xi , λi)= f(xi) - ∑λi( g(xi) – ci )

4. Condiciones de Kuhn-Tucker I/II A b CONDICIONES DE PRIMER ORDEN ∂ L (xi , λi) ∂ xi CONDICIONES DE HOLGURA COMPLEMENTARIA λi( g(xi) – ci ) = 0 = 0

5. Condiciones de Kuhn-Tucker II/II c d En todos los casos debemos comprobar que se cumple: g(xi) ≤ ci Los multiplicadores de Lagrange deben coincidir con el problema de optimización: Si maximizamos, es λ > 0 ? Si minimizamos, es λ < 0 ?

6. Sobre el resultado • Un punto obtenido a partir de las condiciones de primer orden y que cumpla las 4 condiciones de Kuhn-Tucker es directamente un óptimo local (máximo o mínimo local) • Para verificar que el óptimo es global usaremos el teorema de Weierstrass • Debemos también comprobar la existencia de puntos irregulares (que no aparecen resolviendo con Kuhn-Tucker), mediante: • 1. Comprobar si la función objetivo es diferenciable 2. Que el rango de la matriz jacobiana construida con las restricciones sea máximo

7. El teorema de WEIERSTRASS Si una función f es contigua en un intervalo cerrado y acotado (compacto) [a,b] entonces, hay al menos dos puntos x1, x2 pertenecientes a [a,b] donde f alcanza valores extremos absolutos, es decir: f(x1)  f(x)  f(x2)  x  [a,b] D  Rn, compacto f: D R, continua  c, d  D t.q. c es un mínimo global de f y d es máximo global de f.

8. Un conjunto es compacto si es cerrado y acotado • CERRADO • Un conjunto es cerrado si su complementario es abierto y todos los puntos de la frontera le pertenecen. • C  cerrado • Cc abierto  • ACOTADO • Sea A un subconjunto de números reales y M un número real positivo. Se dice que A es acotado si  un M tal que  x  A se verifica que |x| es menor o igual que M. • A es acotado  M  R+ /  x  A, |x|  M

9. EJEMPLOS DE KUHN-TUCKER